Exercicis: Combinatòria

Un estudiant de 2n de Batxillerat vol configurar un codi d'accés de $4$ dígits diferents per a la seva taquilla del gimnàs. Decideix utilitzar únicament els dígits imparells $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ i no pot repetir cap xifra.

1. a) Quants codis diferents pot crear?

1. b) Si l'estudiant oblida el codi, però recorda que el primer dígit era un $7$, quants codis diferents hauria de provar com a màxim?

En un campionat de robòtica, un equip ha de seleccionar $3$ representants d'un grup de $8$ estudiants per explicar el projecte davant del jurat.

1. a) De quantes formes diferents es pot triar el grup de representants si l'ordre de selecció no importa?

1. b) Si entre els $8$ estudiants n'hi ha $2$ que són especialistes en programació i es decideix que almenys un d'ells ha d'estar en el grup, quantes seleccions diferents són possibles?

Siguin $A$ i $B$ dos successos associats a un experiment aleatori tals que $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,4$ i $P(A \cap B) = 0,2$. Calcula les probabilitats següents:

1. a) $P(A \cup B)$

1. b) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ (probabilitat que no passi ni $A$ ni $B$).

1. c) $P(A - B)$ (probabilitat que passi $A$ però no passi $B$).

El diagrama de Venn mostra els successos $A$ i $B$ dins de l'espai mostral $E$, amb la probabilitat de la intersecció.

En un estudi sobre l'ús de dispositius mòbils en una classe de $30$ alumnes, s'ha obtingut la taula de contingència següent que classifica els estudiants pel seu sistema operatiu preferit i si realitzen compres en línia habitualment:

Si es tria un alumne a l'atzar, calcula:

1. a) La probabilitat que utilitzi iOS.

1. b) La probabilitat que realitzi compres en línia sabent que utilitza Android.

1. c) Són els successos "Utilitzar Android" i "Realitzar compres en línia" independents? Justifica la teva resposta.

Un servidor de videojocs té dos nodes de connexió: el Node 1, que atén el $70\%$ dels usuaris, i el Node 2, que atén la resta. Se sap que el $5\%$ de les connexions al Node 1 pateixen lag, mentre que al Node 2 aquest problema es dona en el $10\%$ de les connexions.

1. a) Representa la situació mitjançant un diagrama d'arbre de probabilitats.

1. b) Si un jugador entra a l'atzar al servidor, quina és la probabilitat que la seva connexió pateixi lag?

En una fàbrica de components electrònics, la probabilitat que un microxip sigui defectuós és de $0,02$. Si els microxips s'empaqueten en caixes de $10$ unitats i la presència de defectes en un és independent dels altres:

1. a) Quina és la probabilitat que en una caixa no hi hagi cap microxip defectuós?

1. b) Quina és la probabilitat que hi hagi exactament un microxip defectuós a la caixa? (Expressa el resultat utilitzant nombres combinatoris).

Tres operadores de telefonia, $M_1$, $M_2$ i $M_3$, gestionen el $40\%$, $35\%$ i $25\%$ de les trucades d'un centre d'atenció al client, respectivament. El percentatge de trucades que es tallen de manera inesperada a cada operadora és del $2\%$, $3\%$ i $4\%$, respectivament.

Es tria una trucada a l'atzar i resulta haver-se tallat. Calcula la probabilitat que l'hagués gestionat l'operadora $M_1$.

Utilitza les propietats dels nombres combinatoris i el Binomi de Newton per resoldre:

1. a) Desenvolupa completament l'expressió $(x + 2)^4$.

1. b) Sense desenvolupar tot el binomi, calcula el valor del coeficient del terme que conté $x^3$ en el desenvolupament de $(x + 3)^5$.

La figura mostra les files del triangle de Pascal fins a $n = 5$. Els seus nombres són els nombres combinatoris $\binom{n}{k}$: recorda que el coeficient d'un terme del binomi, a més d'aquest nombre, inclou les potències del segon sumand.

Per triar la delegació d'estudiants que representarà un institut en el Consell Escolar municipal, s'han de seleccionar $3$ alumnes d'un grup de $24$ voluntaris de 2n de Batxillerat. En Marcos raona així en el seu examen: «Per al primer lloc tinc 24 opcions, per al segon 23 i per al tercer 22, per la qual cosa el nombre total de delegacions possibles és $V_{24,3} = 24 \cdot 23 \cdot 22 = 12\,144$».\n\na) Identifica l'error conceptual comès per en Marcos a partir de les dues preguntes clau de la combinatòria: importa l'ordre en aquest cas?, es poden repetir elements?\nb) Corregeix el càlcul i troba el nombre real de delegacions possibles justificant per quina operació s'ha de substituir la fórmula d'en Marcos.\nc) Si les tres places tinguessin càrrecs diferenciats (un portaveu, un secretari i un vocal), seria correcte el càlcul original d'en Marcos? Justifica la teva resposta.

Un servei municipal de lloguer de bicicletes elèctriques en una ciutat espanyola renova els seus cadenats intel·ligents. Cada usuari ha de configurar un codi PIN de $4$ dígits amb dues condicions: el primer dígit no pot ser $0$ i no poden aparèixer dos dígits consecutius iguals (per exemple, el codi $4727$ és vàlid, però el $4772$ no ho és).\n\na) Abans de fer qualsevol càlcul matemàtic, estima de manera intuïtiva si el nombre de codis vàlids estarà més a prop de $5\,000$, de $6\,500$ o de $9\,000$. Justifica breument en què bases la teva estimació.\nb) Aplica el principi fonamental del recompte per calcular amb exactitud quants codis diferents compleixen ambdues condicions.\nc) Comprova si el resultat exacte obtingut recolza la teva estimació inicial i calcula quin percentatge representa respecte al total de combinacions de quatre dígits que no comencen per zero (de l'$1\,000$ al $9\,999$).

Una plataforma de streaming està dissenyant una nova interfície personalitzada. Per al perfil d'usuari, es permet triar un avatar combinant els elements següents: 4 formes de cara diferents, 5 tipus de pentinat i 3 estils d'ulleres. A més, el nom d'usuari ha de ser una cadena de 5 caràcters formada per 3 lletres minúscules (d'un alfabet de 26) seguides de 2 dígits.

1. a) Quants avatars diferents es poden crear?
2. b) Quants noms d'usuari diferents es poden generar si no es permet repetir ni lletres ni dígits?
3. c) Si un usuari decideix triar el seu avatar i el seu nom a l'atzar (amb les condicions de l'apartat b), quina és la probabilitat que el seu nom comenci per la lletra "z" i acabi en el dígit "9"?

En una competició de robòtica, els equips han de superar dues proves independents. Es sap que la probabilitat que un robot superi la prova de velocitat és $P(V) = 0,75$ i la probabilitat que superi la prova de precisió és $P(P) = 0,60$. Calcula la probabilitat que un equip triat a l'atzar:

1. a) Superi almenys una de les dues proves.
2. b) Superi la prova de velocitat però no la de precisió.
3. c) Sabent que ha superat almenys una prova, quina és la probabilitat que hagi superat totes dues?

Un sistema de ciberseguretat utilitza dos filtres per detectar correus electrònics tipus phishing. El Filtre A detecta el $92\%$ d'aquests correus, mentre que el Filtre B en detecta el $88\%$. Per l'estructura del sistema, un correu és analitzat pel Filtre B només si no ha estat detectat pel Filtre A. Si un correu no és detectat per cap dels dos, arriba a la bústia d'entrada de l'usuari. S'estima que el $3\%$ dels correus rebuts a l'empresa són intents de phishing.

1. a) Quina és la probabilitat que un correu de phishing arribi a la bústia d'entrada?
2. b) Si un correu ha arribat a la bústia d'entrada, quina és la probabilitat que sigui realment un correu de phishing?

Una empresa de fabricació de components electrònics mitjançant impressió 3D ha observat que la probabilitat que una peça brilli algun defecte d'acabat és del $5\%$. Si s'imprimeix un lot de 12 peces:

1. a) Quina és la probabilitat que exactament 2 peces siguin defectuoses?
2. b) Quina és la probabilitat que hi hagi més d'una peça defectuosa?
3. c) Calcula la mitjana i la desviació típica del nombre de peces defectuoses en el lot.

L'autonomia d'una nova flota de patinets elèctrics per a ús urbà segueix una distribució normal de mitjana $35$ km i desviació típica $4$ km.

1. a) Calcula la probabilitat que un patinet triat a l'atzar tingui una autonomia superior a $40$ km.
2. b) Quin percentatge de patinets tindrà una autonomia compresa entre $30$ i $38$ km?
3. c) Si l'empresa vol garantir que el $90\%$ dels seus patinets superin una determinada autonomia mínima $d$, quin ha de ser el valor de $d$?

S'ha realitzat una enquesta a 250 estudiants d'un centre tecnològic sobre el seu ús de sistemes operatius. Els resultats es mostren en la taula de contingència següent:

Si es tria un estudiant a l'atzar, calcula:

1. a) La probabilitat que sigui un alumne de Grau Superior i utilitzi principalment Linux.
2. b) Si sabem que l'alumne utilitza principalment Windows, quina és la probabilitat que sigui de Grau Mitjà?
3. c) Són independents els successos "ser alumne de Grau Superior" i "utilitzar principalment Linux"? Raona la resposta.

Es sap que el $15\%$ dels usuaris que visiten una pàgina web de venda de components informàtics acaben realitzant una compra. Si en un dia determinat la web rep 400 visites independents:

1. a) Indica quina distribució de probabilitat segueix la variable "nombre de compres realitzades" i justifica si es pot aproximar per una distribució normal.
2. b) Utilitzant l'aproximació adequada, calcula la probabilitat que es realitzin entre 50 i 70 compres (tots dos inclosos).

Un laboratori disposa de 8 sensors de temperatura de precisió i 6 sensors d'humitat. Per a un experiment de control ambiental s'han de seleccionar a l'atzar 4 sensors.

1. a) De quantes formes diferents es pot realitzar la selecció dels 4 sensors si no importa l'ordre?
2. b) Quina és la probabilitat que es seleccionin exactament 2 sensors de temperatura i 2 d'humitat?
3. c) Quina és la probabilitat que tots els sensors seleccionats siguin del mateix tipus?

La federació d'escacs d'una comunitat autònoma organitza una fase prèvia eliminatòria en què tots els participants inscrits han de jugar exactament una partida contra cadascun dels altres rivals («tots contra tots»). La sala contractada i el calendari disponible només permeten disputar un màxim de $100$ partides en total.\n\na) Planteja una inequació en funció del nombre de jugadors, $n$, que modeli el total de partides del torneig. Justifica quina estructura combinatòria representa aquest nombre de partides.\nb) Resol la inequació per determinar el nombre màxim de participants que es poden inscriure sense sobrepassar el límit de partides i calcula quantes partides es jugarien exactament amb aquest nombre màxim.\nc) Si finalment s'inscriuen $8$ participants i l'organització decideix lliurar un trofeu d'or, un de plata i un de bronze als tres primers classificats (sense empats), quantes assignacions possibles de podi hi ha?

Per corregir els exàmens de les PAU de Matemàtiques II en una seu universitària, s'ha de formar un tribunal avaluador de $6$ correctors. El claustre disponible consta de $10$ professors: $6$ procedeixen d'instituts públics i $4$ de centres concertats. La normativa de la comissió organitzadora exigeix que el tribunal compti amb almenys $2$ professors de centres públics i almenys $2$ de centres concertats.\n\na) Modela la situació identificant tots els casos vàlids de composició del tribunal segons la quantitat de professors de cada procedència.\nb) Calcula quants tribunals diferents es poden constituir complint la normativa establerta.\nc) Si es triés el tribunal de $6$ persones completament a l'atzar entre els $10$ professors (sense exigir cap quota de representativitat), quina seria la probabilitat que el tribunal compleixi la normativa legal? Interpreta si la restricció exclou moltes o poques de les possibles combinacions.

Un equip de ciberseguretat està analitzant la vulnerabilitat d'un sistema d'accés que utilitza contrasenyes de $8$ caràcters. Els caràcters permesos són les $26$ lletres de l'alfabet (sense distingir majúscules de minúscules) i els dígits del $0$ al $9$. Una contrasenya es considera "robusta" si compleix les condicions següents:

1. Conté exactament $2$ números diferents i $6$ lletres.

2. Les lletres no es poden repetir.

3. Els dos números han d'estar en posicions consecutives.

Calcula:

1. a) El nombre total de contrasenyes robustes que es poden generar.
2. b) Si un programari de força bruta genera una contrasenya aleatòria seguint únicament l'estructura de $8$ caràcters (lletres o números), quina és la probabilitat que encerti una contrasenya robusta específica en el primer intent?

En el desenvolupament d'un nou binomi, un estudiant d'enginyeria necessita determinar certs coeficients. Es considera el desenvolupament del binomi $Q(x) = \left( \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{k}{x} \right)^{12}$, on $k$ és un nombre real positiu.

1. a) Determina el valor de $k$ sabent que el terme independent de $x$ en el desenvolupament de $Q(x)$ és igual a $7920$.
2. b) Una vegada trobat $k$, calcula el coeficient del terme que conté $x^9$.

Una plataforma de streaming utilitza un algoritme de recomanació per predir si a un usuari li agradarà una sèrie nova. L'algoritme de vegades falla: el $10\%$ de les sèries que a un usuari li encantarien no són recomanades ($FN$: fals negatiu), i el $20\%$ de les sèries que a un usuari li desagradarien són recomanades erròniament ($FP$: fals positiu).

Si el $60\%$ de totes les sèries del catàleg són del gust potencial d'un usuari específic, calcula:

1. a) La probabilitat que l'algoritme recomani una sèrie triada a l'atzar.
2. b) Si l'algoritme acaba de recomanar una sèrie a aquest usuari, quina és la probabilitat que realment sigui una sèrie que li agradi?

Una empresa de missatgeria utilitza drons per repartir paquets en una ciutat. La probabilitat que un dron pateixi una avaria tècnica durant un vol d'entrega és de $0,02$. L'empresa realitza $250$ entregues diàries de forma independent.

1. a) Justifica si es pot aproximar la variable "nombre d'avaries diàries" per una distribució normal. En cas afirmatiu, indica els seus paràmetres.
2. b) Utilitzant l'aproximació adequada, calcula la probabilitat que en un dia determinat es produeixin exactament $5$ avaries.
3. c) Calcula la probabilitat que es produeixin entre $3$ i $8$ avaries (tots dos inclosos).

En un laboratori de genètica s'estudia la resistència d'una planta a una plaga. Es sap que la probabilitat que una planta sigui resistent és $p$. Es trien $8$ plantes a l'atzar i s'observa que la probabilitat que exactament $2$ siguin resistents és la mateixa que la probabilitat que exactament $3$ siguin resistents.

1. a) Calcula el valor de la probabilitat $p$.
2. b) Amb el valor de $p$ trobat, calcula la probabilitat que almenys una planta sigui resistent.
3. c) Determina l'esperança matemàtica i la desviació típica del nombre de plantes resistents en una mostra de $100$ plantes.

El pes dels envasos de cafè produïts per una factoria segueix una distribució normal $N(\mu, \sigma)$. S'ha observat que el $15,87\%$ dels envasos pesen més de $510$ grams, i que el $2,28\%$ dels envasos pesen menys de $480$ grams.

1. a) Calcula la mitjana $\mu$ i la desviació típica $\sigma$ de la distribució. (Recorda que per a una $Z \sim N(0,1)$, $P(Z < 1) \approx 0,8413$ i $P(Z < 2) \approx 0,9772$).
2. b) Si el pes net indicat a l'etiqueta és de $500$ grams, quin percentatge dels envasos està per sota del pes legal?

Un examen d'oposició consta de $80$ temes. L'opositor estudia $55$ temes a l'atzar. El tribunal extreu $3$ temes per sorteig i l'opositor n'ha de triar un per desenvolupar.

1. a) Quina és la probabilitat que l'opositor no sàpiga cap dels tres temes extrets?
2. b) Quina és la probabilitat que se sàpiga exactament dos dels temes?
3. c) Si l'opositor ha aprovat l'examen (la qual cosa implica que sabia almenys un dels temes), quina és la probabilitat que sabés els tres temes extrets?

Una fàbrica de components electrònics té tres línies de producció: $L_1$, $L_2$ i $L_3$. La línia $L_1$ produeix el doble que la $L_2$, i la $L_3$ produeix el mateix que la $L_1$ i la $L_2$ juntes. El percentatge de components defectuosos és del $1\%$ a $L_1$, del $3\%$ a $L_2$ i del $2\%$ a $L_3$.

1. a) Calcula la probabilitat que un component triat a l'atzar de la producció total sigui defectuós.
2. b) Si seleccionem un component i resulta ser defectuós, quina és la probabilitat que procedeixi de la línia $L_3$?
3. c) Si s'analitzen $10$ components de la línia $L_1$ de forma independent, quina és la probabilitat que almenys un d'ells sigui defectuós?

A la gala de graduació de 2n de Batxillerat, s'atorguen $8$ mencions d'honor. A l'escenari s'han col·locat $8$ butaques alineades i numerades de l'$1$ al $8$. Entre els $8$ alumnes guardonats es troben la Clara i el Sergio, els quals han tingut un desacord recent i l'organització vol asseure'ls de manera que no quedin en butaques contigües. Dos membres de la comissió organitzadora discuteixen com calcular el nombre de col·locacions vàlides:\n- Mètode A (mètode dels buits o directe): S'asseuen primer els altres $6$ alumnes en ordre i després es trien dos dels $7$ buits possibles (extrems o entre companys) per ubicar la Clara i el Sergio.\n- Mètode B (mètode del complementari): Es calcula el total de maneres d'asseure els $8$ alumnes sense cap restricció i se'n resten els casos desfavorables, en què la Clara i el Sergio s'asseuen junts formant un únic bloc.\n\na) Desenvolupa detalladament el plantejament combinatori i el resultat numèric aplicant el Mètode A.\nb) Desenvolupa detalladament el plantejament combinatori i el resultat numèric aplicant el Mètode B.\nc) Verifica que tots dos camins condueixen a la mateixa solució i justifica de manera raonada quin dels dos mètodes seria clarament preferible i menys propens a errors si la restricció exigís que tres alumnes determinats (la Clara, el Sergio i el Pablo) no puguin asseure's en posicions contigües cap amb cap.

El sistema ordinari de matriculació de vehicles a Espanya assigna a cada vehicle una placa formada per un bloc de $4$ xifres (des del $0000$ fins al $9999$) seguit d'un bloc de $3$ lletres consonants triades entre $20$ lletres possibles (es descarten les vocals A, E, I, O, U, i les lletres Ñ i Q per evitar confusions i combinacions malsonants).\n\na) Calcula el nombre total de matrícules teòriques que permet emetre aquest sistema i expressa el resultat utilitzant potències de base deu.\nb) Un aficionat a la combinatòria cerca «matrícules simètriques»: aquelles el bloc numèric de $4$ xifres de les quals és capicua (per exemple, $4884$ o $0330$) i el bloc de $3$ lletres de les quals és un palíndrom (la primera i la tercera lletra coincideixen, com a $TRT$). Determina quantes matrícules simètriques hi ha i troba la probabilitat que un vehicle matriculat a l'atzar presenti aquesta propietat.\nc) La Direcció General de Trànsit investiga un algorisme de lectura de matrícules i detecta errors en les matrícules que anomena «heterogènies mixtes»: aquelles que tenen les seves $4$ xifres estrictament diferents entre si i, simultàniament, en el bloc de lletres contenen exactament dues lletres iguals i una de diferent (en qualsevol ordre, com a $LBL$ o $DDH$). Modela i calcula quantes matrícules «heterogènies mixtes» hi ha al parc automobilístic potencial espanyol.

Repte del tema. Auditoria del mercat laboral juvenil amb dades de l'INE.

La teva missió és assessorar un comitè d'ocupació analitzant la relació entre nivell formatiu i desocupació juvenil mitjançant dades reals.

1. Recollida de dades: Accedeix al portal de l'INE (EPA més recent) i extreu les freqüències de joves (16-29 anys) de la teva comunitat segons el nivell d'estudis (bàsics, mitjans, superiors) i la situació laboral (ocupat, desocupat).

2. Estructuració i recompte: En un full de càlcul, construeix la taula de contingència i el seu diagrama d'arbre amb freqüències relatives. Aplica combinatòria per calcular de quantes formes diferents podries triar una mostra de $5$ joves on almenys $3$ tinguin estudis superiors.

3. Modelització bayesiana: Calcula la probabilitat total de desocupació $P(D)$ i aplica el teorema de Bayes per trobar la probabilitat a posteriori $P(\text{Superiors} \mid D)$. Compara el resultat amb la probabilitat a priori $P(\text{Superiors})$ i determina si ambdós successos són independents.

4. Informe de conclusions: Redacta un informe raonat (una pàgina) amb gràfics explicatius, justificant, basant-te en els teus càlculs, si un nivell formatiu més alt s'associa a un risc de desocupació menor i explicant per què aquesta associació no basta per si sola per demostrar causalitat.

Es valorarà:

• Rigor en l'ús de propietats de la probabilitat, probabilitat total i teorema de Bayes.

• Correcció en l'aplicació de tècniques de recompte i estructuració en full de càlcul.

• Qualitat de l'informe i coherència en la interpretació crítica de les dades de l'INE.