Combinatoria

Un estudiante de 2º de Bachillerato quiere configurar un código de acceso de $4$ dígitos distintos para su taquilla del gimnasio. Si decide utilizar únicamente los dígitos impares $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ y no puede repetir ninguna cifra:

1. a) ¿Cuántos códigos diferentes puede crear?

1. b) Si el estudiante olvida el código, pero recuerda que el primer número era un $7$, ¿cuántas opciones le quedan por probar?

En un campeonato de robótica, un equipo debe seleccionar a $3$ representantes de un grupo de $8$ estudiantes para explicar el proyecto ante el jurado.

1. a) ¿De cuántas formas distintas se puede elegir al grupo de representantes si el orden de selección no importa?

1. b) Si entre los $8$ estudiantes hay $2$ que son especialistas en programación y se decide que al menos uno de ellos debe estar en el grupo, ¿cuántas selecciones diferentes son posibles?

Una plataforma de streaming está diseñando una nueva interfaz personalizada. Para el perfil de usuario, se permite elegir un avatar combinando los siguientes elementos: 4 formas de cara distintas, 5 tipos de peinado y 3 estilos de gafas. Además, el nombre de usuario debe ser una cadena de 5 caracteres formada por 3 letras minúsculas (de un alfabeto de 26) seguidas de 2 dígitos.

1. a) ¿Cuántos avatares diferentes se pueden crear?
2. b) ¿Cuántos nombres de usuario distintos se pueden generar si no se permite repetir ni letras ni dígitos?
3. c) Si un usuario decide elegir su avatar y su nombre al azar (con las condiciones del apartado b), ¿cuál es la probabilidad de que su nombre empiece por la letra "z" y termine en el dígito "9"?

Tres operadoras de telefonía, $M_1$, $M_2$ y $M_3$, gestionan el $40\%$, $35\%$ y $25\%$ de las llamadas de un centro de atención al cliente, respectivamente. El porcentaje de llamadas que se cortan de forma inesperada en cada operadora es del $2\%$, $3\%$ y $4\%$, respectivamente.

Se elige una llamada al azar y resulta haberse cortado. Calcula la probabilidad de que la hubiera gestionado la operadora $M_1$.

Un sistema de ciberseguridad utiliza dos filtros para detectar correos electrónicos tipo phishing. El Filtro A detecta el $92\%$ de estos correos, mientras que el Filtro B detecta el $88\%$. Por la estructura del sistema, un correo es analizado por el Filtro B solo si no ha sido detectado por el Filtro A. Si un correo no es detectado por ninguno de los dos, llega a la bandeja de entrada del usuario. Se estima que el $3\%$ de los correos recibidos en la empresa son intentos de phishing.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un correo de phishing llegue a la bandeja de entrada?
2. b) Si un correo ha llegado a la bandeja de entrada, ¿cuál es la probabilidad de que sea realmente un correo de phishing?

Un equipo de ciberseguridad está analizando la vulnerabilidad de un sistema de acceso que utiliza contraseñas de $8$ caracteres. Los caracteres permitidos son las $26$ letras del alfabeto (sin distinguir mayúsculas de minúsculas) y los dígitos del $0$ al $9$. Una contraseña se considera "robusta" si cumple las siguientes condiciones:

1. Contiene exactamente $2$ números distintos y $6$ letras.

2. Las letras no pueden repetirse.

3. Los dos números deben estar en posiciones consecutivas.

Calcula:

1. a) El número total de contraseñas robustas que se pueden generar.
2. b) Si un software de fuerza bruta genera una contraseña aleatoria siguiendo únicamente la estructura de $8$ caracteres (letras o números), ¿cuál es la probabilidad de que acierte una contraseña robusta específica en el primer intento?

Una empresa de mensajería utiliza drones para repartir paquetes en una ciudad. La probabilidad de que un dron sufra una avería técnica durante un vuelo de entrega es de $0,02$. La empresa realiza $250$ entregas diarias de forma independiente.

1. a) Justifica si se puede aproximar la variable "número de averías diarias" por una distribución normal. En caso afirmativo, indica sus parámetros.
2. b) Utilizando la aproximación adecuada, calcula la probabilidad de que en un día determinado se produzcan exactamente $5$ averías.
3. c) Calcula la probabilidad de que se produzcan entre $3$ y $8$ averías (ambos inclusive).

Se ha realizado una encuesta a 250 estudiantes de un centro tecnológico sobre su uso de sistemas operativos. Los resultados se muestran en la siguiente tabla de contingencia:

Si se elige un estudiante al azar, calcula:

1. a) La probabilidad de que sea un alumno de Grado Superior y use principalmente Linux.
2. b) Si sabemos que el alumno usa principalmente Windows, ¿cuál es la probabilidad de que sea de Grado Medio?
3. c) ¿Son independientes los sucesos "ser alumno de Grado Superior" y "usar principalmente Linux"? Razona la respuesta.