Propiedades de los determinantes

Sabiendo que el determinante de una matriz cuadrada $A$ de orden 3 es $|A| = -4$, utiliza las propiedades de los determinantes para calcular el valor de los siguientes determinantes:

1. a) $|A^t|$, donde $A^t$ es la matriz traspuesta de $A$.

1. b) El determinante de la matriz resultante de intercambiar entre sí las dos primeras filas de $A$.

1. c) El determinante de la matriz que se obtiene al multiplicar la tercera columna de $A$ por $-5$.

Sin necesidad de realizar ninguna operación ni aplicar la regla de Sarrus, justifica razonadamente por qué los siguientes determinantes son nulos:

1. a) $\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 6 \\ 1 & -1 & 5 \end{vmatrix}$

1. b) $\begin{vmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ -4 & 7 & 0 \end{vmatrix}$

1. c) $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 5 & 7 & 9 \end{vmatrix}$

Demuestra, utilizando las propiedades de los determinantes, que si a una fila de una matriz cuadrada se le suma una combinación lineal de las otras filas, el valor del determinante no varía. Para ello, comprueba qué sucede con el determinante:

$|A| = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$

si realizamos la operación fila $F_2 = F_2 + k \cdot F_1$.

Sea $M$ una matriz de orden $3 \times 3$ tal que su determinante es $|M| = 2$. Calcula el valor del determinante de la matriz $3M$. Explica qué propiedad has utilizado y ten cuidado con el orden de la matriz.

En un videojuego de estrategia, las coordenadas de los recursos se almacenan en una matriz $3 \times 3$ llamada $C$. Si sabemos que $|C| = 10$, ¿cuál sería el valor del determinante si duplicamos todas las filas de la matriz (es decir, calculamos $|2C|$)? Compara este resultado con el obtenido si solo duplicáramos la primera fila.

Dadas dos matrices cuadradas $A$ y $B$ del mismo orden, sabemos que $|A| = 3$ y $|B| = -2$. Calcula, indicando las propiedades aplicadas:

1. a) $|A \cdot B|$

1. b) $|B^2|$

1. c) $|A \cdot B^t|$

Si $A$ es una matriz de orden 3 tal que $|A| = \frac{1}{2}$, calcula el determinante de su matriz inversa $A^{-1}$ justificando la respuesta mediante la propiedad del determinante del producto de matrices.

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden 3 tal que su determinante es $|A| = -2$. Utilizando exclusivamente las propiedades de los determinantes, calcula el valor de los siguientes determinantes:

1. a) $|A^t \cdot A|$

1. b) $|3 \cdot A^{-1}|$

1. c) $|\text{det}(A) \cdot A|$