Exercicis: Propietats dels determinants

Sabent que el determinant d'una matriu quadrada $A$ d'ordre 3 és $|A| = -4$, utilitza les propietats dels determinants per a calcular el valor dels següents determinants:

1. a) $|A^t|$, on $A^t$ és la matriu transposada de $A$.

1. b) El determinant de la matriu resultant d'intercanviar entre si les dues primeres files de $A$.

1. c) El determinant de la matriu que s'obté en multiplicar la tercera columna de $A$ per $-5$.

Sense necessitat de fer cap operació ni d'aplicar la regla de Sarrus, justifica raonadament per què els determinants següents són nuls:

1. a) $\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 6 \\ 1 & -1 & 5 \end{vmatrix}$

1. b) $\begin{vmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ -4 & 7 & 0 \end{vmatrix}$

1. c) $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 5 & 7 & 9 \end{vmatrix}$

Sigui $M$ una matriu d'ordre $3 \times 3$ tal que el seu determinant és $|M| = 2$. Calcula el valor del determinant de la matriu $3M$. Explica quina propietat has utilitzat i vigila amb l'ordre de la matriu.

Dades dues matrius quadrades $A$ i $B$ del mateix ordre, sabem que $|A| = 3$ i $|B| = -2$. Calcula, indicant les propietats aplicades:

1. a) $|A \cdot B|$

1. b) $|B^2|$

1. c) $|A \cdot B^t|$

En un videojoc d'estratègia, les coordenades dels recursos s'emmagatzemen en una matriu $3 \times 3$ anomenada $C$. Si sabem que $|C| = 10$, quin seria el valor del determinant si dupliquem totes les files de la matriu (és a dir, calculem $|2C|$)? Compara aquest resultat amb l'obtingut si només dupliquéssim la primera fila.

Demostra, utilitzant les propietats dels determinants, que si a una fila d'una matriu quadrada se li suma una combinació lineal de les altres files, el valor del determinant no varia. Per a fer-ho, comprova què passa amb el determinant:

$|A| = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$

si realitzem l'operació fila $F_2 = F_2 + k \cdot F_1$.

Si $A$ és una matriu d'ordre 3 tal que $|A| = \frac{1}{2}$, calcula el determinant de la seva matriu inversa $A^{-1}$ justificant la resposta mitjançant la propietat del determinant del producte de matrius.

Sabent que $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = 6$, calcula el valor del determinant següent sense desenvolupar-lo:

Indica pas a pas quines propietats has utilitzat (intercanvi de files i producte per un escalar).

La Lucía està preparant la prova d'accés a la universitat i es troba amb el següent enunciat: «Sigui $A$ una matriu quadrada d'ordre 3 amb $|A| = 4$. Calcula $|-2A|$ i $|A + A|$». En el seu quadern escriu la següent resolució:

1) $|-2A| = -2 \cdot |A| = -2 \cdot 4 = -8$.

2) $|A + A| = |A| + |A| = 4 + 4 = 8$.

Identifica de manera raonada els dos errors conceptuals comesos per la Lucía, explica quines propietats formals dels determinants ha ignorat o aplicat de manera incorrecta i redacta la correcció matemàtica rigorosa per obtenir els valors correctes d'ambdós determinants.

Donada una matriu quadrada $M$ d'ordre 3 amb determinant conegut $|M| = -2$, es vol transformar en una nova matriu $P$ el determinant de la qual sigui exactament $|P| = 12$.

Dissenya una seqüència d'exactament tres transformacions elementals successives (operacions per files o columnes) que permetin obtenir $P$ a partir de $M$. Has d'especificar amb claredat quina operació realitzes a cada pas, justificar com varia el determinant aplicant les propietats corresponents i verificar que el resultat final és efectivament 12.

Sigui $A$ una matriu quadrada d'ordre 3 tal que el seu determinant és $|A| = -2$. Utilitzant exclusivament les propietats dels determinants, calcula el valor dels següents determinants:

1. a) $|A^t \cdot A|$

1. b) $|3 \cdot A^{-1}|$

1. c) $|\text{det}(A) \cdot A|$

En el disseny d'un nou videojoc, la posició d'un objecte en l'espai 3D es defineix mitjançant un determinant d'una matriu $M$ que representa el seu volum. Es sap que:

$|M| = \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = 12$

Calcula, justificant la propietat aplicada, el valor del determinant de la matriu $N$ que representa una deformació de l'objecte:

$|N| = \begin{vmatrix} d & e & f \\ 2a-g & 2b-h & 2c-i \\ g & h & i \end{vmatrix}$

Sense desenvolupar el determinant ni utilitzar la regla de Sarrus, demostra que el següent determinant és nul per a qualsevol valor dels paràmetres $a, b, c \in \mathbb{R}$:

$\begin{vmatrix} 1 & a & b+c \\ 1 & b & a+c \\ 1 & c & a+b \end{vmatrix} = 0$

Indica en cada pas quina operació elemental o propietat estàs utilitzant.

Resol la següent equació per a $x \in \mathbb{R}$ aplicant les propietats dels determinants per a simplificar l'expressió abans de calcular el seu valor:

$\begin{vmatrix} x+1 & x & x \\ x & x+1 & x \\ x & x & x+1 \end{vmatrix} = 0$

Dada la matriu $B$ d'ordre 3, es sap que el determinant de la seva matriu adjunta és $|\text{Adj}(B)| = 64$. Calcula raonadament els possibles valors del determinant de la matriu $B$. Posteriorment, calcula el determinant de la matriu $2B^t$.

Un sistema d'encriptació utilitza una matriu $A$ d'ordre 3 per a codificar missatges. Si el determinant de la matriu és $|A| = k$, justifica com varia el determinant si es realitzen les següents modificacions de seguretat:

1. S'intercanvien la primera i la tercera fila per a augmentar l'entropia.

2. Es multiplica la segona columna per $-1$ per a canviar la polaritat dels bits.

3. Es suma a la primera fila el triple de la segona.

Quin seria el valor final del determinant en funció de $k$?

Donada la matriu $A = (a_{ij})$ d'ordre 3, els elements de la qual vénen donats per l'expressió $a_{ij} = i + j$, és a dir,

Demostra, utilitzant propietats de línies (files o columnes) dels determinants i sense desenvolupar-lo per la regla de Sarrus, que el seu determinant és $|A| = 0$.

Si $A$ i $B$ són dues matrius quadrades d'ordre 2 tals que $|A| = 3$ i $|B| = -1$, calcula el valor del determinant de la matriu $X$ obtinguda a partir de la següent equació matricial:

$X = (A \cdot B)^t \cdot (2A)^{-1}$

Aplica les propietats de la transposició, la inversió i el producte per a simplificar l'expressió abans de substituir els valors numèrics.

Es vol calcular l'expressió completament factoritzada del determinant de la següent matriu d'ordre 3:

Per abordar-ho es proposen dos procediments:

• Mètode 1 (Regla de Sarrus i factorització algebraica posterior): Desenvolupar directament els sis productes改造 diagonals i després agrupar termes en el polinomi resultant per extreure factors comuns per tempteig.

• Mètode 2 (Propietats de les files i desenvolupament per adjunts): Realitzar les transformacions elementals $F_2 \to F_2 - F_1$ i $F_3 \to F_3 - F_1$, aplicar les propietats d'extracció d'escalars per files i desenvolupar per la primera columna.

Compara críticament ambdós mètodes analitzant el seu cost operatiu i el risc d'error algebraic. Justifica quin dels dos és més adequat i aplica'l pas a pas, enunciant cada propietat dels determinants que utilitzis fins a obtenir el polinomi totalment factoritzat.

L'Institut Nacional d'Estadística (INE) estudia les transicions laborals anuals entre tres sectors econòmics a Espanya (Agricultura, Indústria i Serveis) mitjançant una matriu estocàstica per columnes $P$, de dimensió $3 \times 3$, on cada coeficient $p_{ij}$ representa la proporció d'ocupats que passen del sector $j$ al sector $i$. Com que la suma de les proporcions de cada columna és sempre 1, a la matriu $P - I$ (on $I$ és la matriu identitat d'ordre 3) la suma dels elements de cada columna és igual a 0.

1. a) Utilitzant les propietats del determinant de la matriu transposada i l'anul·lació de determinants quan hi ha una combinació lineal entre files o columnes, demostra formalment que $|P - I| = 0$.
2. b) Si els registres de l'enquesta indiquen que $|P| = 0,25$, calcula raonadament el determinant de la matriu $Q = 3 \cdot P^2 \cdot (P^t)^{-1}$ indicant cada propietat emprada, i interpreta si la matriu de transició $P$ admet matriu inversa en aquest model demogràfic.

Sigui $A$ una matriu quadrada d'ordre $n=4$ el determinant de la qual és $|A| = \frac{1}{2}$. Utilitzant exclusivament les propietats dels determinants, calcula de forma raonada el valor del determinant de la matriu $B$, definida com:

$B = (2A)^{-1} \cdot A^t \cdot Adj(A)$

On $A^t$ és la transposada de $A$ i $Adj(A)$ és la seva matriu adjunta.

Demostra, sense desenvolupar el determinant per la regla de Sarrus ni pels elements d'una línia, que el següent determinant és nul per a qualsevol valor dels paràmetres $x, y, z$ tals que $x+y+z=0$:

Ajuda: Intenta realitzar operacions elementals entre columnes i files per obtenir factors comuns o línies proporcionals.

En el disseny de filtres per a senyals d'àudio, s'utilitza una matriu de transferència $M$ que depèn d'una freqüència angular $\omega$. La matriu ve donada per:

$M(\omega) = \begin{pmatrix} 1 & \cos(\omega) & \cos(2\omega) \\ \cos(\omega) & \cos(2\omega) & \cos(3\omega) \\ \cos(2\omega) & \cos(3\omega) & \cos(4\omega) \end{pmatrix}$

Calcula el determinant de $M(\omega)$ simplificant el resultat al màxim mitjançant identitats trigonomètriques i propietats dels determinants.

Dades dues matrius $A$ i $B$ d'ordre 3 tals que $|A| = 3$ i $|B| = -2$, calcula el valor del determinant de la matriu $X$ que satisfà la següent equació matricial:

$A \cdot X \cdot B^{-1} = (A^t \cdot Adj(A))^{-1}$

Justifica cada propietat utilitzada en el procés (determinant del producte, de la inversa, de la transposada i relació entre una matriu i la seva adjunta).

Sigui la matriu $A$ d'ordre $n \times n$:

$A = \begin{pmatrix} 1+x & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 1+x & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 1 & 1+x & \dots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1+x \end{pmatrix}$

Obtén l'expressió general del seu determinant $|A|$ en funció de $n$ i $x$. Aplica el resultat per a trobar el determinant d'una matriu d'ordre 10 on $x=2$.

Un algoritme de visió artificial per a reconèixer gestos utilitza una matriu de transformació $T$ d'ordre 3. Es sap que aquesta matriu és antisimètrica ($T^t = -T$).

1. a) Demostra raonadament, usant les propietats dels determinants, que el determinant de qualsevol matriu antisimètrica d'ordre senar és sempre 0.

1. b) Si es modifica la matriu perquè sigui $M = I + T$ (on $I$ és la matriu identitat), què podries afirmar sobre la invertibilitat de $M$ si sabem que tots els valors propis de $T$ són imaginaris purs?

(Nota per a l'alumne: Centra't en la part a) com a nucli del problema de determinants).

Resol la següent equació per a $x \in \mathbb{R}$ sense realitzar el desenvolupament complet del polinomi, utilitzant les propietats de les línies per a simplificar:

Suggeriment: Observa la suma dels elements de cada fila o columna.

Sigui $A$ una matriu d'ordre 3 tal que els seus elements són $a_{ij} = i + j$. Sigui $B$ una altra matriu d'ordre 3 tal que els seus elements són $b_{ij} = (-1)^{i+j}$.

1. a) Calcula $|A|$ i $|B|$ aplicant propietats de combinació lineal de files o columnes.

1. b) Calcula el determinant de la matriu $C = 2A^2 \cdot B^t$.

1. c) És possible trobar una matriu $D$ tal que $A \cdot D = I$? Raona la resposta basant-te en el valor del determinant de $A$.

Considera una matriu quadrada $A$ d'ordre $n = 4$ el determinant de la qual és $|A| = -2$. A partir d'aquesta es defineix la matriu $B = -A^3 \cdot (2A^t)^{-1}$.

1. a) Estima: Sense efectuar operacions numèriques detallades, anticipa de manera qualitativa:

1. El signe de $|B|$ serà positiu o negatiu? Justifica la teva hipòtesi considerant el signe de $|A|$, l'efecte de la potència cúbica, el signe negatiu global i la inversió matricial.

2. El valor absolut de $|B|$ serà estrictament més gran, igual o més petit que 1? Argumenta la teva conjectura comparant mentalment la magnitud de les potències de base 2 que intervindran al numerador i al denominador.

1. b) Calcula: Obtén el valor numèric exacte de $|B|$ deduint cada pas a partir de les propietats del determinant del producte, de la potència de matrius, del producte per un escalar en ordre 4, de la transposada i de la inversa.
2. c) Comprova i reflexiona: Contrasta el resultat amb les teves estimacions inicials i analitza quines són les dues errades conceptuals més freqüents que se solen cometre amb el signe $(-1)$ i amb la constant 2 en matrius de dimensió parella.

Una matriu quadrada $A$ de dimensió $n$ es diu que és antisimètrica si coincideix amb l'oposada de la seva transposada, és a dir, si verifica la igualtat matricial $A^t = -A$.

1. a) Recolzant-te de manera rigorosa en les propietats $|A^t| = |A|$ i $|k \cdot M| = k^n \cdot |M|$, demostra formalment que el determinant de qualsevol matriu antisimètrica d'ordre senar $n$ és obligatòriament nul.
2. b) Problema invers: Es busca determinar si és possible trobar una matriu antisimètrica $A$ d'ordre $n \in \{2, 3, 4, 5\}$ el determinant de la qual sigui exactament $|A| = 16$.

1. Dedueix quines dimensions del conjunt donat queden automàticament descartades i per què.

2. Per al menor ordre admisible, planteja l'estructura algebraica general amb coeficients reals d'aquesta matriu antisimètrica, calcula simbòlicament el seu determinant i troba un exemple numèric concret els elements del qual compleixin la condició $|A| = 16$.