Estadística descriptiva unidimensional

En un estudio sobre el uso de redes sociales en un instituto, se han identificado las siguientes variables. Clasifica cada una de ellas como cualitativa, cuantitativa discreta o cuantitativa continua:

1. a) Red social favorita (TikTok, Instagram, Twitter, etc.).
2. b) Número de seguidores en la cuenta principal.
3. c) Tiempo diario (en minutos) de uso del teléfono móvil.
4. d) Marca del dispositivo móvil (Apple, Samsung, Xiaomi, etc.).
5. e) Calificación numérica obtenida en el último examen de Matemáticas.

Un ayuntamiento quiere conocer la opinión de los adolescentes sobre las nuevas pistas de skate de la ciudad. Para ello, selecciona al azar a $200$ jóvenes de entre $14$ y $18$ años que acuden a los centros juveniles de los distintos barrios.

Indica cuál es la población objeto de estudio y cuál es la muestra elegida. ¿Crees que la muestra es representativa si solo se pregunta en los centros juveniles?

Se ha preguntado a un grupo de $20$ estudiantes de 1º de Bachillerato cuántos libros han leído por placer durante el último año. Los datos obtenidos son los siguientes:

$2, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 4, 2, 0, 1, 2, 3, 1, 2, 0, 1, 2, 1, 5$

Organiza estos datos en una tabla de frecuencias que incluya la frecuencia absoluta ($n_i$), la frecuencia relativa ($f_i$) y la frecuencia absoluta acumulada ($N_i$).

Se ha realizado una encuesta sobre el número de hermanos que tienen los alumnos de una clase. La tabla de frecuencias absolutas acumuladas ($N_i$) es la siguiente:

Responde a las siguientes preguntas razonando tu respuesta:

1. a) ¿Cuántos alumnos son hijos únicos?
2. b) ¿Cuántos alumnos tienen exactamente $2$ hermanos?
3. c) ¿Cuál es el número total de alumnos en la clase?

Una cadena de tiendas quiere presumir de ventas y elabora dos gráficos con los mismos datos trimestrales: en el panel A el eje vertical empieza en $0$ y en el panel B está truncado.

1. a) Calcula la variación porcentual real de las ventas entre el primer y el tercer trimestre.

1. b) ¿Qué efecto visual produce el eje truncado del panel B? ¿En qué se diferencia de la impresión que da el panel A?

1. c) ¿Cuál de los dos gráficos usarías en un informe honesto para los accionistas? ¿Y qué versión podría usar un competidor para alarmar al mercado? Justifica ambas respuestas.

Las notas obtenidas por $7$ amigos en un trabajo de Economía son:

$6,5; \quad 8,0; \quad 4,5; \quad 7,0; \quad 9,5; \quad 6,5; \quad 5,0$

Calcula la media aritmética ($\bar{x}$) y la mediana ($Me$) de las calificaciones.

Una empresa de telefonía ha medido la duración (en minutos) de 50 llamadas realizadas durante la mañana. Al ser una variable continua, se han agrupado los datos en los siguientes intervalos:

1. a) Calcula la marca de clase de cada intervalo.
2. b) Calcula la media aritmética y la desviación típica de la duración de las llamadas.
3. c) ¿Qué porcentaje de llamadas duran 10 minutos o más?

Se ha realizado un estudio sobre el gasto semanal en ocio de los estudiantes de un instituto. Los datos se presentan agrupados en intervalos de la misma amplitud en la siguiente tabla, pero faltan las frecuencias absolutas de dos intervalos medios ($n_2$ y $n_3$):

Sabiendo que el tamaño de la muestra es $N = 60$ y que la media aritmética del gasto es $\bar{x} = 44$ €, calcula los valores de $n_2$ y $n_3$. Una vez completada la tabla, determina el valor exacto de la mediana mediante interpolación lineal.

A partir del siguiente diagrama de caja (box-plot) que representa el tiempo de reacción (en milisegundos) de un grupo de personas ante un estímulo visual:

1. a) Identifica los valores correspondientes al mínimo, máximo, $Q_1$, $Q_2$ (mediana) y $Q_3$, sabiendo que la escala es lineal y los extremos de la caja están en $210$ y $290$.
2. b) Calcula el rango intercuartílico e interprétalo.
3. c) ¿Se puede afirmar que el $50\%$ de la población tiene un tiempo de reacción superior a la mediana? Justifica la respuesta.

La figura muestra el diagrama de caja y bigotes de los tiempos de reacción de un grupo de pilotos de simulador.

1. a) Lee en el gráfico el mínimo, el máximo, los cuartiles y la mediana, y calcula el rango y el rango intercuartílico.

1. b) ¿Entre qué dos valores se concentra el $50 \%$ central de los datos? ¿Qué porcentaje de datos hay por debajo de $Q_1$?

1. c) A la vista de la posición de la mediana dentro de la caja y de la longitud de los bigotes, ¿la distribución parece simétrica o asimétrica? ¿Hacia dónde?

En una pequeña empresa, el sueldo medio de los 10 empleados es de $1450$ € mensuales con una desviación típica de $120$ €. Debido a los buenos resultados del año, la dirección decide aplicar un aumento lineal a todos los trabajadores consistente en una parte fija de $50$ € y una parte variable del $3\%$ sobre el sueldo base actual ($y_i = 1,03 \cdot x_i + 50$).

1. a) Calcula cuál será el nuevo sueldo medio de la plantilla.
2. b) Calcula la nueva desviación típica.
3. c) ¿Ha variado el coeficiente de variación? Justifica matemáticamente cómo afectan estas transformaciones a la dispersión relativa.

Se quiere comparar la homogeneidad de los precios de los menús diarios en dos zonas distintas de una ciudad. Los datos obtenidos (en euros) son:

• Zona A: $12, 13, 12, 15, 14, 12, 16, 11$

• Zona B: $9, 10, 18, 15, 11, 14, 10, 21$

1. a) Calcula la media y la desviación típica de los precios en cada zona.
2. b) ¿En qué zona los precios están más dispersos en términos absolutos (desviación típica)?
3. c) ¿En qué zona son los precios más heterogéneos en términos relativos? Utiliza el coeficiente de variación para comparar ambas distribuciones.

Un nutricionista analiza el contenido de azúcar (en gramos por cada 100 ml) de dos marcas de refrescos "zero", A y B. Los resultados se resumen en los siguientes diagramas de caja (Box-plot). Observando los gráficos:

1. a) ¿Cuál de las dos marcas presenta una distribución más dispersa en el $50\%$ central de sus datos? Justifica tu respuesta calculando el rango intercuartílico visualmente.
2. b) Si la marca A presenta una media de $0,5$ g y la marca B una media de $0,8$ g, y ambas tienen desviaciones típicas idénticas, ¿cuál de las dos es más "fiable" o constante en su producción? Utiliza el parámetro estadístico adecuado para comparar ambas marcas.

En una prestigiosa academia de e-sports, el equipo de analistas estudia el tiempo de reacción (en milisegundos) de 50 jugadores profesionales. Al revisar el informe final, se dan cuenta de que una mancha de café ha borrado parte de los registros de la tabla de frecuencias. Solo se conservan los siguientes datos: la media aritmética de la distribución es $\bar{x} = 182$ ms, la desviación típica es $\sigma = 12$ ms y se sabe que el tiempo de reacción sigue una distribución aproximadamente simétrica. Si se decide añadir un nuevo jugador cuyo tiempo de reacción es de $160$ ms, razona matemáticamente cómo variará el coeficiente de variación de la muestra original y determina el valor exacto de la nueva varianza tras la incorporación de este dato.

Se dispone de una serie de 10 datos numéricos cuya media es $\bar{x} = 15$ y cuya varianza es $s^2 = 20$. Por un error de transcripción, uno de los datos que era un $12$ se anotó como un $22$.

1. a) Calcula la media real del conjunto de datos tras corregir el error.
2. b) Calcula el valor exacto de la varianza real del conjunto. (Pista: Utiliza la relación entre la varianza y la suma de los cuadrados de los datos, $\sum x_i^2$).

Los tiempos de espera (en minutos) de $15$ pacientes en un centro de salud han sido: $5, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 42$.

1. a) Calcula la mediana y los cuartiles primero y tercero.

1. b) Dibuja el diagrama de caja y bigotes correspondiente, indicando los valores usados.

1. c) Aplica la regla de los $1,5$ veces el rango intercuartílico para decidir si hay datos atípicos, e interpreta qué puede representar ese dato en la realidad del centro de salud.