Exercicis: Estimació puntual: estimadors, biaix i quasivariància

Per estimar l'alçada mitjana dels estudiants de $2.º$ de Batxillerat d'una ciutat es pren una mostra aleatòria de $5$ estudiants, amb aquests resultats en centímetres: $165$, $170$, $172$, $168$, $175$.

• a) Calcula l'estimador puntual de la mitjana poblacional.

• b) Explica per què aquest valor és només una estimació i no la mitjana vertadera.

En una enquesta a $300$ estudiants triats a l'atzar, $87$ afirmen anar a l'institut en bicicleta.

• a) Quin és l'estimador puntual de la proporció poblacional d'estudiants que van en bicicleta? Calcula'l.

• b) Expressa el resultat com a percentatge i interpreta'l.

Una mostra aleatòria d'una població ha donat els valors $4$, $6$, $5$ i $9$.

• a) Calcula la mitjana mostral.

• b) Calcula la variància mostral (dividint entre $n$) i la quasivariància mostral (dividint entre $n - 1$).

• c) Quina de les dues s'utilitza com a estimador no esbiaixat de la variància poblacional? Què significa «no esbiaixat»?

Cert o fals, raonant la resposta: «La mitjana mostral és un estimador no esbiaixat de la mitjana poblacional, és a dir, si prenguéssim moltes mostres de la mateixa mida i en calculéssim les mitjanes, la mitjana de totes aquestes coincidiria amb la mitjana de la població».

En Marcos ha realitzat una petita enquesta a $5$ companys de classe sobre el nombre d'hores setmanals que dediquen a l'estudi de Matemàtiques, i ha obtingut els valors: $4$, $6$, $5$, $8$ i $7$. Per estimar la dispersió de tots els estudiants del seu centre educatiu, calcula la mitjana mostral $\bar{x} = 6$ hores i, a continuació, calcula $s^2 = \frac{(4-6)^2 + (6-6)^2 + (5-6)^2 + (8-6)^2 + (7-6)^2}{5} = \frac{4 + 0 + 1 + 4 + 1}{5} = 2$. En Marcos conclou en el seu treball: «L'estimador no esbiaixat de la variància poblacional de les hores d'estudi és exactament $2$ hores quadrades».

1. a) Identifica l'error conceptual que comet en Marcos en considerar $s^2$ com un estimador no esbiaixat de la variància poblacional $\sigma^2$.
2. b) Explica per què la variància mostral calculada per en Marcos tendeix a donar un valor que subestima la variància real de la població. Quin paper juguen en aquesta subestimació les desviacions respecte a la mitjana mostral enfront de les desviacions respecte a la mitjana poblacional $\mu$?
3. c) Corregeix el càlcul d'en Marcos obtenint el valor de l'estimador no esbiaixat corresponent (la quasivariància $\hat{s}^2$) i calcula la quasidesviació típica mostral $\hat{s}$.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) ha registrat les temperatures màximes següents (en ºC) durant $6$ dies consecutius d'hivern en una localitat de l'altiplà: $8$, $12$, $7$, $11$, $9$ i $7$. Es vol utilitzar aquesta mostra per fer una estimació puntual de la mitjana i la variabilitat tèrmica poblacional del període.

1. a) Abans de fer cap càlcul formal, fes una estimació prèvia raonada: indica un interval estret on creguis que caurà amb certesa la mitjana mostral $\bar{x}$ i argumenta si esperes que la quasidesviació típica $\hat{s}$ sigui més propera a $1$ ºC, a $2$ ºC o a $5$ ºC, fixant-te únicament en el rang (diferència entre el valor màxim i mínim) de les dades.
2. b) Calcula l'estimador puntual no esbiaixat de la temperatura mitjana poblacional ($\bar{x}$) i l'estimador puntual no esbiaixat de la variància poblacional ($\hat{s}^2$, quasivariància). Arrodoneix els resultats a dues xifres decimals.
3. c) Comprova si els valors obtinguts coincideixen amb la teva previsió inicial de l'apartat a). A partir de la quasivariància calculada, troba la quasidesviació típica $\hat{s}$ i explica per què, malgrat corregir el biaix en la variància, $\hat{s}$ no és en general un estimador estrictament no esbiaixat de $\sigma$.

S'han mesurat els temps de càrrega completa (en minuts) de $8$ mòbils d'una mateixa marca: $74$, $81$, $69$, $78$, $85$, $72$, $77$, $80$.

• a) Estima la mitjana del temps de càrrega d'aquest model amb un estimador no biaixat.

• b) Estima la seva variància amb un estimador no biaixat (quasivariància).

• c) Calcula també la quasidesviació típica i interpreta tots dos resultats.

En una mostra aleatòria de $500$ clients d'una cadena de supermercats, $210$ declaren utilitzar l'aplicació de la cadena per fer la compra.

• a) Estima la proporció poblacional de clients que utilitzen l'aplicació.

• b) Calcula l'error màxim de l'estimació amb una confiança del $95\ \%$, utilitzant $E = 1,96 \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot (1 - \hat{p})}{n}}$.

• c) Interpreta el resultat: entre quins valors es troba, amb aquesta confiança, la proporció vertadera?

Una empresa vol estimar la mitjana d'una població i un analista proposa com a «estimador» prendre el valor màxim de la mostra.

• a) Considera la població formada pels valors $\{2, 4, 6\}$ i totes les mostres de mida $2$ amb reemplaçament. Calcula la mitjana poblacional i la mitjana dels màxims de totes les mostres possibles.

• b) A la vista del resultat, és aquest estimador no biaixat? Explica què és el biaix d'un estimador a partir dels teus càlculs.

Sigui la població formada pels cinc valors $\{1, 2, 3, 4, 5\}$.

• a) Calcula la mitjana poblacional $\mu$.

• b) Escriu totes les mostres de mida $2$ sense reemplaçament i sense importar l'ordre, i calcula la mitjana de cadascuna.

• c) Calcula la mitjana d'aquestes mitjanes mostrals i comprova que coincideix amb $\mu$. Quina propietat de l'estimador «mitjana mostral» il·lustra aquest resultat?

En un estudi sobre el cost del menú del dia en una zona d'oficines de València, un estudiant recull els preus d'una mostra aleatòria de $n$ restaurants. Després d'introduir les dades en un full de càlcul, obté que la suma dels quadrats de les diferències respecte a la mitjana mostral és $\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 = 36$. No obstant això, una errada informàtica esborra el llistat de dades originals i només deixa registrat que la quasivariància $\hat{s}^2$ supera la variància mostral $s^2$ en exactament $0{,}5$ €$^2$.

1. a) Escriu l'equació que relaciona la variància mostral $s^2$, la quasivariància $\hat{s}^2$ i la mida mostral $n$ a partir de la suma de quadrats disponible, igualant la seva diferència a $0{,}5$.
2. b) Resol l'equació per reconstruir la mida original de la mostra ($n$) i determina els valors numèrics exactes de $s^2$ i $\hat{s}^2$.
3. c) Si la mida mostral hagués estat deu vegades més gran mantenint idèntica la mitjana de dispersió per dada, què passaria amb la diferència $\hat{s}^2 - s^2$? Raona quina implicació pràctica té això en treballar amb mostres grans en sociologia o economia.

Segons dades de l'Institut Nacional d'Estadística (INE), s'investiga el nombre de viatges interurbans mensuals que fa la població activa jove. S'extreu una primera mostra pilot de $4$ joves, amb les dades següents: $1$, $3$, $5$ i $7$ viatges. Més endavant, per comprovar l'estabilitat dels estimadors, es recullen $4$ observacions addicionals que presenten una dispersió relativa idèntica, formant una mostra ampliada de $8$ joves: $1$, $3$, $5$, $7$, $1$, $3$, $5$ i $7$.

1. a) Calcula per a cadascuna de les dues mostres ($n=4$ i $n=8$): la mitjana mostral ($\bar{x}$), la variància mostral ($s^2$) i la quasivariància ($\hat{s}^2$).
2. b) Modela matemàticament el biaix de la variància mostral analitzant el quocient $\frac{\hat{s}^2}{s^2}$ en ambdós casos. En quina de les dues mostres és més acusat el biaix de $s^2$? Quin percentatge d'infravaloració suposa $s^2$ respecte a $\hat{s}^2$ quan $n=4$ i quan $n=8$?
3. c) Interpreta el resultat en el context del disseny d'enquestes oficials: per què els organismes estadístics poden permetre's utilitzar fórmules no corregides de variància quan treballen amb milers d'enquestats, però han de ser molt rigorosos amb la quasivariància en estudis de grups reduïts?

Per estimar la mitjana $\mu$ d'una distribució normal es proposen tres estimadors basats en una mostra aleatòria: la mitjana mostral, la mediana mostral i el punt mitjà entre el mínim i el màxim de la mostra.

• a) Explica què significa que un estimador sigui no biaixat i discuteix si cal esperar que tots tres ho siguin en una distribució simètrica com la normal.

• b) Explica què és l'eficiència d'un estimador i raona quin dels tres serà, en general, menys eficient. Per què se sol preferir la mitjana mostral?

Un portal immobiliari pren una mostra de $6$ anuncis d'habitacions en lloguer en un barri, amb aquests preus mensuals en euros: $450$, $520$, $480$, $510$, $465$, $495$.

• a) Estima el preu mitjà del barri amb un estimador no biaixat.

• b) Estima la variabilitat dels preus calculant la quasivariància i la quasidesviació típica.

• c) Explica, amb els números d'aquest exercici, quina diferència hi ha entre dividir entre $n$ i entre $n - 1$, i per què l'estimació no biaixada utilitza $n - 1$.

D'una urna amb una proporció desconeguda $p$ de boletes vermelles s'extrauen $40$ boletes amb reemplaçament, i $14$ són vermelles.

• a) Dona l'estimador puntual de $p$ i el seu valor.

• b) Raona per què, si en lloc de $40$ extraccions es fessin $400$, l'error típic de l'estimació quedaria dividit aproximadament per $\sqrt{10}$. Utilitza l'expressió de l'error $E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot (1 - \hat{p})}{n}}$.

• c) Quina relació hi ha entre aquesta propietat i la llei dels grans nombres?

Sigui $(x_1, x_2)$ una mostra aleatòria simple de mida $2$ d'una població amb mitjana $\mu$.

• a) Demostra que l'estimador $T = \frac{x_1 + x_2}{2}$ és no biaixat per a $\mu$, és a dir, que el seu valor esperat és $\mu$.

• b) Demostra que l'estimador $S = \frac{x_1 + x_2}{3}$ està biaixat i calcula el seu biaix en funció de $\mu$.

• c) Proposa com corregiries $S$ per fer-ho no biaixat.

Per estimar el temps mitjà $\mu$ (en minuts) d'espera a les parades de la xarxa d'autobusos urbans, es planifica un mostreig aleatori simple de mida $n=5$, del qual s'obtindran els temps independents $X_1, X_2, X_3, X_4, X_5$, tots amb la mateixa mitjana $\mu$ i variància finita $\sigma^2$. La comissió tècnica debat entre tres mètodes (estimadors) per estimar $\mu$:

• Mètode 1: La mitjana mostral estàndard, $\bar{X} = \frac{1}{5}(X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5)$.

• Mètode 2: Un estimador ponderat que dona més pes a les observacions intermèdies per considerar que els primers i últims registres pateixen despistaments de l'aforador: $\hat{\mu}_B = \frac{1}{8}(X_1 + 2X_2 + 2X_3 + 2X_4 + X_5)$.

• Mètode 3: Un estimador ràpid que ignora les observacions intermèdies i fa la mitjana només del primer i últim registre: $\hat{\mu}_C = \frac{1}{2}(X_1 + X_5)$.

1. a) Comprova analíticament si els tres mètodes proporcionen estimadors no esbiaixats de la mitjana poblacional $\mu$.
2. b) Sabent que per a variables independents $\text{Var}(aX + bY) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$, calcula la variància de cadascun dels tres estimadors en funció de $\sigma^2$.
3. c) A partir del concepte d'eficiència estadística, compara els tres mètodes i justifica de manera concloent quin d'ells és el millor estimador per a aquest estudi i quin és el pitjor. Quin cost té triar el Mètode 3 enfront del Mètode 1 en termes de precisió de l'estimació?

En la presentació d'un estudi comarcal sobre l'impacte del teletreball en una província espanyola, una consultora júnior (Valeria) exposa davant l'administració pública les tres conclusions següents:

1. «Per estimar la proporció $p$ de teletreballadors a la província, vam enquestar una mostra de $n=100$ persones i vam obtenir $\hat{p} = 0{,}22$. Com que les dades del cens autonòmic marquen que el teletreball real és del $18\,\%$, el nostre estimador $\hat{p}$ té un biaix de $+0{,}04$.»

2. «Si quadrupliquem la mostra enquestant $n=400$ persones, el marge d'error màxim admisible $E = z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ es dividirà entre $4$, augmentant quatre vegades la nostra precisió.»

3. «En calcular la dispersió de les hores setmanals teletreballades, he utilitzat la quasivariància $\hat{s}^2$ dividint per $n-1 = 99$. Per tant, en calcular la seva arrel quadrada $\hat{s} = \sqrt{\hat{s}^2}$, hem obtingut un estimador estrictament no esbiaixat de la desviació típica poblacional $\sigma$.»

Com a especialista en estadística que revisa l'informe:

1. a) Rebat la conclusió 1 distingint de manera rigorosa entre l'error d'estimació en una mostra concreta i el concepte de biaix d'un estimador.
2. b) Corregeix la conclusió 2 demostrant analíticament mitjançant la fórmula del marge d'error en quin factor exacte es redueix $E$ quan la mida mostral passa de $n$ a $4n$.
3. c) Justifica per què la conclusió 3 és falsa a la llum de les propietats dels estimadors, explicant per què l'arrel d'un estimador no esbiaixat de la variància no hereta en general la propietat de manca de biaix per a la desviació típica.
4. d) Redacta una versió corregida i tècnicament irreprotxable per a cadascuna de les tres conclusions de Valeria.

Repte del tema. Com estimar la realitat socioeconòmica sense fer un cens complet? Investigaràs la renda mitjana municipal de la teva província utilitzant dades obertes de l'INE.

Fases del repte:

1. Recollida i mostratge: Descarrega de l'INE una taula amb almenys $40$ municipis de la teva província i les seves rendes mitjanes. En un full de càlcul, extreu dues mostres de mida $n = 10$: una mitjançant mostratge aleatori simple i una altra d'estratificada (per exemple, segons municipis de més o menys de $10\,000$ habitants).

2. Estimació puntual: Calcula en cada mostra la mitjana mostral $\bar{x}$, la variància mostral i la quasivariància $s^2$. Compara els resultats obtinguts amb els paràmetres reals de la població ($\mu$ i $\sigma^2$) del conjunt dels $40$ municipis.

3. Informe analític: Elabora un informe breu amb una taula comparativa on justifiquis teòricament per què la quasivariància és un estimador no esbiaixat de $\sigma^2$, i avalua quin dels dos dissenys mostrals ha proporcionat una estimació de $\mu$ amb menor error percentual (per exemple, inferior al $3,5\,\%$).

Es valorarà:

• Rigor i representativitat en el disseny dels dos procediments de mostratge.

• Precisió matemàtica en el càlcul d'estimadors i quasivariància mitjançant full de càlcul.

• Claredat conceptual en justificar el biaix i contrastar les estimacions enfront dels paràmetres reals.