Exercicis: Contrast d'hipòtesis

En el control de qualitat d'una fàbrica de patates fregides, es vol comprovar si el pes mitjà de les bosses és realment de $150$ grams, com indica l'envàs. Es sap que la desviació típica poblacional és $\sigma = 5$ grams. Si es sospita que les bosses poden pesar tant més com menys del que s'indica:

1. a) Planteja les hipòtesis $H_0$ i $H_1$.

1. b) Si fixem un nivell de significació de $\alpha = 0,05$, calcula els valors crítics $z_{\alpha/2}$ que delimiten la zona d'acceptació.

Estem fent un contrast d'hipòtesis bilateral per a la mitjana d'una població normal amb $\sigma$ coneguda. Després de calcular l'estadístic de contrast amb les dades d'una mostra, obtenim un valor de $z_{exp} = 2,15$.

Si els valors crítics per a un nivell de significació $\alpha = 0,05$ són $-1,96$ i $1,96$, raona si hem d'acceptar o rebutjar la hipòtesi nul·la.

Explica amb les teves pròpies paraules què significa cometre un Error de Tipus I en el context d'un estudi que intenta provar si un nou mètode d'estudi millora les notes de matemàtiques (on $H_0$ és que el mètode no produeix millores).

La Sara vol comprovar si la proporció d'usuaris satisfets amb el servei municipal de bicicletes compartides de la seva ciutat ha disminuït respecte a la dada històrica oficial, que era del $70\,\%$ ($p_0 = 0,70$). Per a fer-ho, enquesta $n = 100$ usuaris triats a l'atzar i observa que $62$ d'ells es declaren satisfets (és a dir, $\hat{p} = 0,62$). En el seu quadern de treball, la Sara escriu el següent:

1. Plantejament: $H_0: \hat{p} = 0,62$ enfront de $H_1: \hat{p} < 0,62$.

2. Estadístic de contrast: $z = \dfrac{0,62 - 0,70}{\sqrt{\dfrac{0,62 \cdot 0,38}{100}}} = \dfrac{-0,08}{0,0485} \approx -1,65$.

1. a) La Sara ha comès dos errors conceptuals greus en el seu plantejament. Identifica tots dos errors i explica per què contradiuen els fonaments teòrics del contrast d'hipòtesis.
2. b) Corregeix el procediment de la Sara: formula amb precisió les hipòtesis nul·la i alternativa amb els paràmetres poblacionals adequats i calcula el valor correcte de l'estadístic experimental $z_{\text{exp}}$.

La Dirección General de Tráfico (DGT) sosté que la velocitat mitjana en un tram periurbà regulat amb radar pedagògic és de $\mu = 80\text{ km/h}$, amb una desviació típica poblacional coneguda de $\sigma = 10\text{ km/h}$. Una associació de veïns afirma que els vehicles circulen a una velocitat mitjana superior. Per contrastar-ho, registren la velocitat d'una mostra aleatòria de $n = 100$ vehicles i obtenen una mitjana mostral de $\bar{x} = 81,8\text{ km/h}$.

1. a) Abans de realitzar cap càlcul formal, observa que la diferència observada és de només $1,8\text{ km/h}$ sobre $80\text{ km/h}$. Estima mentalment o a ull l'error estàndard de la mitjana ($\sigma/\sqrt{n}$) i raona si una desviació d'$1,8\text{ km/h}$ et sembla suficient per ser estadísticament significativa o atribuïble al mer atzar del mostreig.
2. b) Planteja formalment el contrast unilateral amb $H_0: \mu = 80$ enfront d'$H_1: \mu > 80$. Calcula l'estadístic experimental $z_{\text{exp}}$ i el seu p-valor corresponent.
3. c) Amb un nivell de significació d'$\alpha = 5\,\%$ ($z_{0,05} = 1,645$), es rebutja l'afirmació de la DGT? Compara la conclusió obtinguda amb la teva estimació inicial i raona quin paper ha tingut la mida mostral ($n = 100$) en el veredicte final.

S'està provant un nou model de sabatilles de running dissenyat per augmentar el rendiment. El fabricant estableix la hipòtesi nul·la $H_0$: "El rendiment mitjà amb el nou model és igual al del model anterior" enfront de l'alternativa $H_1$: "El rendiment mitjà és superior".

Explica raonadament què significaria cometre un error de tipus I i un error de tipus II en aquest context pràctic. Quin dels dos errors creus que seria més perjudicial per a la imatge de marca de l'empresa si es descobreix posteriorment?

En un estudi sobre sostenibilitat, es sap que fa dos anys el $30\ \%$ dels joves d'una localitat utilitzava el transport públic per anar a l'institut. Després d'una campanya de conscienciació ambiental, es vol comprovar si aquest percentatge ha augmentat. Es pren una mostra aleatòria de $150$ joves i s'observa que $54$ d'ells utilitzen ara el transport públic.

A partir d'aquestes dades, i amb un nivell de significació del $5\ \%$, es pot concloure que la campanya ha estat efectiva i la proporció d'usuaris ha augmentat? Planteja el contrast corresponent.

Un centre de salut afirmen que la proporció de fumadors en la població de joves d'entre 16 i 18 anys és del $15\ \%$. Per verificar-ho, es fa un estudi sobre una mostra de $400$ joves d'aquest rang d'edat, i resulta que $72$ d'ells fumen.

Calcula el p-valor (probabilitat d'obtenir un resultat tan extrem o més que l'observat sota la hipòtesi nul·la) per a un contrast bilateral. A la vista del resultat, rebutjaries l'afirmació del centre de salut per a un nivell de significació estàndard de $\alpha = 0,05$?

S'ha realitzat un estudi sobre la despesa mensual en oci dels estudiants universitaris d'una ciutat, assumint que segueix una distribució normal amb $\sigma = 20$ euros. S'ha obtingut per a la mitjana un interval de confiança al $95\ \%$ de $(75,1; 84,9)$.

Sense fer nous càlculs de tipificació, utilitza la relació entre intervals de confiança i contrasts d'hipòtesis per respondre: Es rebutjaria la hipòtesi nul·la $H_0: \mu = 70$ euros enfront de $H_1: \mu \neq 70$ euros amb un nivell de significació de $\alpha = 0,05$? I si la hipòtesi nul·la fos $H_0: \mu = 80$ euros? Justifica la teva resposta.

Segons l'Enquesta de Característiques Essencials de la Població i Habitatges de l'INE, el percentatge de llars espanyoles unipersonals (on resideix una única persona) se situava històricament en el $26\,\%$ ($p_0 = 0,26$). Un sociòleg sosté que a les grans capitals aquest percentatge ha augmentat de manera significativa en els darrers anys. Per verificar-ho, selecciona una mostra aleatòria simple de $n = 400$ llars d'una gran àrea metropolitana i comprova que $124$ d'elles són unipersonals.

1. a) Justifica matemàticament si és aplicable l'aproximació de la proporció mostral mitjançant una distribució normal, comprovant les condicions teòriques sobre el nombre esperat d'èxits i fracassos sota el supòsit que la hipòtesi nul·la sigui certa.
2. b) Modela la situació mitjançant un contrast d'hipòtesis: planteja la hipòtesi nul·la i l'alternativa corresponent a la sospita del sociòleg, i calcula l'estadístic experimental tipificat $z_{\text{exp}}$.
3. c) Per a un nivell de significació de l'$1\,\%$ ($z_{0,01} = 2,33$), determina la regió de rebuig i conclou de manera raonada en el context del problema si hi ha prou proves per donar per vàlida la hipòtesi del sociòleg.

En una planta conservera de Navarra, el pes net nominal dels pots d'espàrrecs ha de ser de $\mu = 250\text{ g}$. Per controls històrics se sap que la desviació típica poblacional del procés d'envasament és $\sigma = 8\text{ g}$. Per verificar que l'omplidora automàtica no s'ha descalibrat (ni per excés ni per defecte), l'equip de qualitat pren una mostra aleatòria de $n = 64$ pots i obté un pes mitjà de $\bar{x} = 252,2\text{ g}$. Amb un nivell de significació $\alpha = 0,05$, tres enginyers proposen tres vies diferents per prendre la decisió:

• La Lucía proposa construir l'interval de confiança al $95\,\%$ per a la mitjana poblacional i comprovar si $\mu_0 = 250\text{ g}$ pertany a aquest interval.

• En Carlos proposa calcular l'estadístic tipificat $z_{\text{exp}}$ i comparar-lo amb els valors crítics bilaterals $\pm 1,96$.

• L'Elena proposa calcular directament el p-valor exacte de l'estadístic i comparar-lo amb $\alpha = 0,05$.

1. a) Aplica els procediments de la Lucía i d'en Carlos. Mostra els teus càlculs i explica per què tots dos condueixen necessàriament a la mateixa decisió estadística en un contrast bilateral.
2. b) Suposa que el director d'operacions necessita respondre a la pregunta següent: «Quina era exactament la probabilitat d'haver obtingut una desviació respecte al pes nominal tan gran o més gran que l'observada si la màquina estigués perfectament calibrada?». Justifica quin dels tres mètodes respon directament a aquesta qüestió, calcula'l i interpreta el resultat en termes d'evidència contra la hipòtesi nul·la.

Un estudi sobre salut mental juvenil indica que el temps mitjà diari que els estudiants de 2n de Batxillerat passen a TikTok és de $120$ minuts, amb una desviació típica de $30$ minuts. Un orientador d'un institut creu que al seu centre, a causa de la pressió de les PAU, el temps mitjà és significativament menor. Pren una mostra aleatòria de $50$ alumnes i obté una mitjana de $112$ minuts.

1. a) Defineix el contrast d'hipòtesis adequat per a la creença de l'orientador.
2. b) Calcula el p-valor de la mostra obtinguda.
3. c) Si s'utilitza un nivell de significació del $1\%$, quina conclusió hauria d'extreure l'orientador? I si el nivell de significació fos del $5\%$?

En un debat sobre sostenibilitat, s'afirma que el $75\%$ dels joves d'una ciutat separen els envasos de plàstic de la resta de les escombraries. Per verificar-ho, es selecciona una mostra de $150$ joves i s'observa que $105$ d'ells reciclen correctament.

1. a) Planteja el test d'hipòtesis per comprovar si la proporció real és inferior a l'afirmada.
2. b) És acceptable l'afirmació inicial per a un nivell de significació del $10\%$?
3. c) Suposem que la proporció real fos del $65\%$. Quina decisió es prendria més probablement amb aquest test si la mostra fos de només $20$ persones? Raona sobre la importància de la mida de la mostra en la potència del test.

Es vol investigar si un nou mètode d'estudi millora el rendiment en Matemàtiques. La nota mitjana històrica en una comunitat és de $6,4$ amb una desviació típica $\sigma = 1,2$. S'aplica el nou mètode a un grup experimental de $36$ alumnes i s'obté una nota mitjana de $6,9$.

1. a) Fes un contrast d'hipòtesis unilateral per a un nivell de significació $\alpha = 0,05$ (planteja $H_0$ i $H_1$, calcula el valor crític i la regió de rebuig, i conclou).

1. b) Si l'interval de confiança al $95\%$ per a la mitjana d'aquest grup fos $(6,508 ; 7,292)$, hauries pogut respondre l'apartat anterior sense calcular l'estadístic de contrast? Explica la relació entre intervals de confiança i contrast d'hipòtesis.

Una empresa de missatgeria urgent a Espanya garanteix un temps mitjà de lliurament entre províncies de $\mu_0 = 24\text{ hores}$, amb una dispersió coneguda de $\sigma = 3\text{ hores}$. La direcció sotmet a auditoria el servei amb el contrast $H_0: \mu = 24$ enfront d'$H_1: \mu > 24$ (sospita de retards) a un nivell de significació $\alpha = 0,05$ ($z_{0,05} = 1,645$).

1. a) Si els auditors examinen una mostra de $n = 36$ enviaments independents, determina el valor llindar de la mitjana mostral, $\bar{x}_c$, a partir del qual es rebutjaria $H_0$. És a dir, quin és el temps mitjà mínim observat que encendria les alarmes de la direcció?
2. b) La direcció considera inacceptable que una mitjana mostral de $\bar{x} = 24,6\text{ hores}$ no sigui suficient per rebutjar $H_0$ al nivell $\alpha = 0,05$. Resol el problema invers: quina és la mida mostral mínima $n$ que haurien d'haver recollit els auditors perquè un registre de $\bar{x} = 24,6\text{ hores}$ hagués bastat per rebutjar $H_0$ a aquest mateix nivell de significació?
3. c) Analitza l'expressió teòrica del valor crític $\bar{x}_c = \mu_0 + z_\alpha \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Justifica què passa amb la capacitat del contrast per detectar desviacions mínimes de la mitjana real respecte a la hipòtesi nul·la quan $n$ tendeix a infinit, mantenint $\alpha$ constant.

La Confederació Hidrogràfica de l'Ebre (CHE) realitza controls periòdics sobre l'abocament d'una paperera en un curs fluvial. Per exigència ambiental, la concentració mitjana de nitrats no ha de superar $\mu_0 = 15\text{ mg/l}$. S'assumeix que les mesurades es distribueixen segons una normal amb desviació típica coneguda $\sigma = 2\text{ mg/l}$. L'administració pren una mostra de $n = 16$ preses d'aigua independents i planteja el contrast $H_0: \mu \le 15$ enfront d'$H_1: \mu > 15$.

1. a) Defineix amb precisió què significa cometre un error de tipus I i un error de tipus II en aquest escenari específic. Explica detalladament les conseqüències pràctiques i reals que comportaria cadascun d'ells per a l'empresa paperera i per a l'ecosistema del riu.
2. b) A la taula tècnica sorgeix una discrepància sobre el nivell de significació: l'assessoria legal de l'empresa demana fixar $\alpha = 0,01$, mentre que els tècnics de protecció ambiental prefereixen $\alpha = 0,10$. Raona quin tipus d'error busca minimitzar cadascuna de les parts i quin dels dos nivells ofereix més garantia d'intervenció immediata en cas de contaminació real.
3. c) Després de realitzar les anàlisis de laboratori de les $n = 16$ mostres, s'obté una concentració mitjana de $\bar{x} = 16,1\text{ mg/l}$. Calcula el p-valor de la prova i determina raonadament quina sanció o resolució administrativa s'adoptaria sota el criteri de l'empresa ($\alpha = 0,01$) i sota el criteri ambiental ($\alpha = 0,10$). Com il·lustra aquest resultat que el llindar de significació triat condiciona la presa de decisions?