Exercicis: Mètode de Laplace

Donada la matriu $A$ d'ordre $3 \times 3$ següent, identifica i calcula exclusivament el menor complementari de l'element $a_{21}$ (el número $4$) i el seu corresponent adjunt $A_{21}$, prestant especial atenció al signe.

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 4 & 0 & 5 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$

A la figura es ressalten la fila i la columna a les quals pertany l'element $a_{21}$.

Calcula el valor del determinant de la matriu $B$ desenvolupant per la segona fila. Explica per què triar aquesta línia facilita el càlcul en comparació amb la primera fila.

$$|B| = \begin{vmatrix} 5 & 7 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \end{vmatrix}$$

Per entendre el Mètode de Laplace, és vital conèixer la "Regla del tauler d'escacs" per als signes dels adjunts. Completa la matriu de signes per a una matriu d'ordre $4 \times 4$ i determina quin signe correspon a l'adjunt de l'element $a_{32}$.

Un analista de màrqueting estudia la interacció entre tres xarxes socials en una campanya publicitària. La matriu d'impacte és la següent:

$$M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 2 \end{pmatrix}$$

Calcula el determinant de $M$ desenvolupant per la primera columna.

Calcula el determinant de la matriu d'ordre 4 següent. Encara que sembli complexa per la seva mida, utilitza el Mètode de Laplace seleccionant la fila o columna que contingui més zeros per simplificar el procés.

$$|D| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & -1 & 1 \\ 4 & 3 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$

Troba el valor del paràmetre $k$ perquè el determinant de la matriu següent sigui igual a zero, utilitzant el desenvolupament pels elements de la tercera fila.

$$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 5 \\ 1 & k & 0 \end{pmatrix}$$

Donada la matriu $C$, calcula el seu determinant mitjançant el desenvolupament per la segona columna. Comprova després el resultat aplicant la Regla de Sarrus per verificar que tots dos mètodes coincideixen.

$$C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 4 & -2 & 1 \\ 2 & 0 & 5 \end{pmatrix}$$

En un videojoc d'estratègia, els recursos de tres llogarets es distribueixen segons la matriu $R$. Si el determinant d'aquesta matriu representa el "Factor d'Equilibri", calcula'l desenvolupant per la primera fila.

$$R = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Per calcular el determinant de la matriu $B = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 4 & 0 & -2 \\ 1 & 5 & 3 \end{pmatrix}$, la Lucía decideix desenvolupar pel mètode de Laplace al llarg de la segona fila per aprofitar el zero. Escriu al seu examen:

$$|B| = 4 \cdot \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} + 0 \cdot A_{22} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 5 \end{vmatrix}$$

Com que $\begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} = -9 - 5 = -14$ i $\begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = 10 - (-3) = 13$, conclou que $|B| = 4 \cdot (-14) - 2 \cdot 13 = -56 - 26 = -82$.

1. a) Localitza l'error conceptual que ha comès la Lucía en aplicar la definició d'adjunt ($A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$) en el seu desenvolupament.
2. b) Explica com determina la posició $(i, j)$ el signe que acompanya cada menor complementari segons la regla del tauler d'escacs.
3. c) Corregeix el plantejament i calcula el valor correcte de $|B|$.

Es considera la matriu quadrada d'ordre 4 següent:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 5 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 4 & 0 \\ 3 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$

Per calcular el seu determinant, s'han proposat tres camins diferents:

• Camí 1: Aplicar directament la regla de Sarrus multiplicant les diagonals de quatre elements.

• Camí 2: Aplicar el mètode de Laplace desenvolupant pels elements de la primera fila.

• Camí 3: Aplicar el mètode de Laplace desenvolupant pels elements de la segona fila.

1. a) Raona per què el Camí 1 és conceptualment incorrecte i no es pot aplicar a aquesta matriu.
2. b) Compara els Camins 2 i 3: calcula quants determinants d'ordre 3 obligaria a resoldre cadascun i justifica quin dels dos és el més eficient.
3. c) Seguint el camí més eficient que has triat, calcula el valor de $|A|$ mostrant amb claredat l'adjunt utilitzat.

Calcula el valor del determinant següent d'ordre 4 utilitzant el desenvolupament pels elements de la fila o columna que consideris més adequada (mètode de Laplace):

$|A| = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & 4 & 0 \\ 3 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 0 & -2 \end{vmatrix}$

Dada la matriu $M$, calcula el seu determinant desenvolupant per la segona fila. Posteriorment, comprova si el resultat coincideix desenvolupant per la tercera columna:

$M = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ -2 & 4 & 1 \end{pmatrix}$

Utilitza aquest exercici per verificar que el valor del determinant és independent de la línia triada per al desenvolupament per adjunts.

En el càlcul de determinants per Laplace, el signe de cada terme depèn de la posició de l'element. Per a la matriu de "llums" següent d'un panell publicitari (on cada nombre representa la intensitat), calcula el determinant desenvolupant per la columna que conté més valors nuls:

$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 3 & 2 & 0 \\ 5 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

Troba els valors del paràmetre $k$ per als quals el determinant de la matriu següent és nul, utilitzant el desenvolupament per adjunts de la primera fila:

$A = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 0 & 2 & k \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

Un analista de dades processa una matriu d'adjacència d'una xarxa social. Per verificar l'estabilitat de la xarxa, necessita calcular el determinant de la matriu $B$. Aplica primer propietats dels determinants per fer el màxim nombre de zeros a la primera columna i després desenvolupa per Laplace:

$|B| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 9 & 16 \\ 1 & 1 & 5 & 2 \end{vmatrix}$

Resol l'equació següent sabent que el determinant s'ha calculat mitjançant el desenvolupament per la tercera fila:

$\begin{vmatrix} x & 2 & 3 \\ 1 & x & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 5$

Dada la matriu $A$, calcula la seva matriu d'adjunts $Adj(A)$ i utilitza aquests valors per calcular el determinant de $A$ mitjançant el mètode de Laplace, triant la fila que prefereixis:

$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

Nota: Recorda que $|A| = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + a_{i3}A_{i3}$ per a qualsevol fila $i$.

En un model econòmic d'intercanvi, es presenta la matriu de coeficients següent. Calcula el seu determinant emprant de manera combinada la regla de Sarrus per als menors resultants i el desenvolupament de Laplace per la columna que contingui més zeros:

$|C| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \end{vmatrix}$

Abans de llançar-te a fer càlculs detallats, analitza l'estructura de la matriu $M$:

$$M = \begin{pmatrix} 20 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

1. a) Estima: Si prescindíssim de l'element $a_{41} = 1$, la matriu resultant seria triangular superior. Calcula mentalment el producte dels elements de la seva diagonal principal i, a partir d'aquest valor, estima raonadament el signe i la centena aproximada en la qual s'hauria de situar el determinant real $|M|$.
2. b) Calcula: Desenvolupa el determinant de $M$ aplicant el mètode de Laplace per la primera columna (aprofitant els seus dos zeros) i obtén el seu valor exacte.
3. c) Comprova: Compara el resultat exacte obtingut amb la teva estimació prèvia, troba la diferència numèrica absoluta entre tots dos i explica conceptualment per què la presència d'aquest element $a_{41} = 1$ fora de la diagonal pertorba tan poc el resultat final.

Dissenya una matriu quadrada $A$ d'ordre $4 \times 4$ que compleixi simultàniament les quatre condicions següents:

1. Conté exactament 6 zeros en total entre les seves 16 posicions.

2. En desenvolupar el determinant $|A|$ pel mètode de Laplace al llarg de la tercera columna, el desenvolupament queda reduït a un únic sumand no nul (és a dir, només requereix calcular un adjunt d'ordre 3).

3. La submatriu $3 \times 3$ resultant d'eliminar la fila i la columna corresponents a aquest element no nul és triangular superior, amb tots els elements de la seva diagonal principal no nuls.

4. El determinant final de la matriu és exactament $|A| = -24$.

Per resoldre-ho:

1. a) Dedueix justificadament en quines posicions de la tercera columna i de la resta de la matriu s'han de situar obligatòriament els 6 zeros per complir les condicions 2 i 3.
2. b) Assigna valors numèrics coherents als elements no nuls tenint en compte el signe de l'adjunt $(-1)^{i+j}$ i la propietat del determinant d'una matriu triangular, de manera que el resultat sigui $-24$.
3. c) Escriu la teva matriu $A$ completa i comprova detalladament que el desenvolupament de Laplace per la tercera columna produeix el valor exigit.

En un estudi de mercat sobre la competència entre quatre plataformes de reproducció en línia (Netflix, HBO, Disney+ i Amazon Prime), s'ha modelitzat la transferència d'usuaris mensuals mitjançant la matriu $M$. Perquè el sistema sigui estable i no col·lapsi financerament, el determinant de la matriu de transició ha de ser nul.

Donada la matriu:

$$M = \begin{pmatrix} 1 & x & 0 & 1 \\ x & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & x & 1 \\ 1 & 0 & 1 & x \end{pmatrix}$$

Calcula, utilitzant el Mètode de Laplace, els valors de $x$ que fan que $|M| = 0$. Suggeriment: Tria estratègicament la fila o columna per desenvolupar el determinant o aplica propietats prèvies per generar zeros addicionals.

Una empresa de logística organitza les seves rutes entre quatre nodes principals. La matriu $A$ representa les connexions de flux de mercaderies. Se sap que l'eficiència de la xarxa està relacionada amb el valor del determinant d'aquesta matriu.

Calcula el determinant de la matriu $A$ desenvolupant pels adjunts de la segona columna, després d'haver realitzat almenys una operació elemental per simplificar el càlcul:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 4 \\ 0 & 3 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 5 & -3 \\ -2 & 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}$$

Sigui $A$ una matriu quadrada d'ordre 3 el determinant de la qual és $|A| = 5$. Considera la matriu $B$ d'ordre 4 definida de la forma següent:

$$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 0 & a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$$

On els elements $a_{ij}$ corresponen als elements de la matriu original $A$.

1. Justifica raonadament, aplicant el desenvolupament de Laplace per la línia més adient, quin és el valor del determinant de $B$.

2. Si multipliquem la primera fila de $B$ per $3$ i li sumem la segona fila multiplicada per $2$, com afecta això al valor del determinant calculat anteriorment?

En l'anàlisi d'una cartera d'inversió indexada, s'utilitza una matriu de coeficients de correlació parcial. Per determinar si la matriu és invertible (i per tant la cartera és diversificable), se n'ha de calcular el determinant.

Troba el valor del determinant de la matriu següent utilitzant el desenvolupament pels elements d'una fila o columna (mètode de Laplace), buscant prèviament la combinació lineal de files o columnes que generi el màxim nombre de zeros a la tercera fila:

$$C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 9 & 16 & 25 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \end{pmatrix}$$

Considera la matriu paramètrica $P$ associada a un model de costos de producció:

$$P = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$$

Calcula el determinant de la matriu $M$ d'ordre 4 mitjançant Laplace, on $M$ es construeix bloquejant la matriu $P$ de la forma següent:

$$M = \begin{pmatrix} k & 0 & 0 & 0 \\ 1 & k & 1 & 1 \\ 2 & 1 & k & 1 \\ 3 & 1 & 1 & k \end{pmatrix}$$

Determina per a quins valors del paràmetre $k$ el determinant de $M$ és igual a $k^2$.

Dada la matriu $A = (a_{ij})$ d'ordre $3 \times 3$ tal que el seu determinant és $|A| = k$. Es construeix una nova matriu $H$ d'ordre 4 introduint una fila de "control" a la part superior i una columna d' "identitat" a l'esquerra:

$$H = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 0 & a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$$

1. Demostra, desenvolupant per la primera columna mitjançant Laplace, que $|H| = |A|$.

2. Si els elements de la matriu $A$ són tals que $a_{ij} = i + j$, calcula el valor exacte de $|H|$ aplicant Laplace sobre la fila o columna que consideris més avantatjosa.

Un algorisme d'encriptació utilitza matrius quadrades d'ordre 4. Per desencriptar un missatge, és vital que el determinant de la matriu clau $K$ no sigui nul.

Utilitza el mètode de Laplace per calcular el determinant de $K$. Nota: Abans de desenvolupar per adjunts, utilitza les propietats dels determinants per aconseguir que tots els elements de la quarta columna, excepte un, siguin zero.

$$K = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$

Sigui la matriu $A$ d'ordre 4 definida per:

$A = \begin{pmatrix} x & 1 & 0 & 0 \ 1 & x & 1 & 0 \ 0 & 1 & x & 1 \ 0 & 0 & 1 & x \end{pmatrix}$

Determina els valors de $x$ per als quals la matriu $A$ té inversa.

Una empresa de logística amb seu a Saragossa modelitza la transferència de mercaderies entre quatre nodes autonòmics clau: Madrid ($N_1$), Saragossa ($N_2$), Barcelona ($N_3$) i València ($N_4$). La matriu de fluxos dinàmics $T(k)$ depèn d'un índex de congestió hivernal $k \in \mathbb{R}$:

$$T(k) = \begin{pmatrix} 1 & k & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & k & 2 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$

La teoria de xarxes estableix que el sistema pateix un «bloqueig funcional» (pèrdua d'independència lineal en les seves rutes) si el determinant de la matriu s'anul·la, és a dir, quan $|T(k)| = 0$.

1. a) Aplica el mètode de Laplace desenvolupant per la fila o columna que contingui més quantitat de zeros per obtenir l'expressió polinòmica simplificada de $P(k) = |T(k)|$, detallant el càlcul de cada menor complementari d'ordre 3 utilitzat.
2. b) Determina algebraicament tots els valors reals de l'índex de congestió $k$ per als quals el sistema de transport entra en bloqueig funcional.
3. c) Un informe de viabilitat de la Direcció General de Trànsit adverteix que durant una onada de fred l'índex real $k$ oscil·la sempre en l'interval $[1{,}5 \,;\, 2{,}0]$. Conclou de manera raonada si és previsible que la xarxa col·lapsi per bloqueig funcional sota aquestes condicions meteorològiques.

Per calcular el determinant de la matriu paramètrica d'ordre 4 ($a, b, c \in \mathbb{R}$, amb $a \cdot b \cdot c \neq 0$):

$$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+b & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1+c \end{pmatrix}$$

tres estudiants de 2n de Batxillerat proposen vies diferents:

• En Marcos suggereix desenvolupar directament pel mètode de Laplace per la primera fila.

• La Sara proposa transformar prèviament la matriu restaurant la primera fila a les altres ($F_2 \to F_2 - F_1$, $F_3 \to F_3 - F_1$, $F_4 \to F_4 - F_1$) i després aplicar Laplace.

• L'Iván afirma que és més ràpid fer alhora dues operacions encreuades: $F_1 \to F_1 - F_2$ i $F_2 \to F_2 - F_1$.

1. a) Avalua la proposta de l'Iván: explica quina propietat matemàtica de les transformacions elementals es vulnera en realitzar operacions circulars simultànies i quin error provocaria en el determinant.
2. b) Compara la càrrega de càlcul de l'opció d'en Marcos enfront de la de la Sara: especifica quants determinants $3 \times 3$ amb paràmetres hauria de calcular en Marcos i quina estructura adquireix la matriu amb la proposta de la Sara.
3. c) Justifica per què les operacions de fila proposades per la Sara no alteren el valor de $|M|$, executa-les i desenvolupa per Laplace per la línia més adequada per obtenir la fórmula factoritzada final del determinant en funció de $a$, $b$ i $c$.