Límites laterales
Muchas magnitudes reales cambian de fórmula en un punto: una tarifa que sube a partir de ciertos minutos, un impuesto que cambia de tramo, una velocidad que se frena de golpe. Para estudiar el límite en ese punto de cambio hay que mirar cada lado por separado, y solo después decidir si existe un límite global.
Límites laterales: definición
Un límite lateral solo tiene en cuenta los valores de $x$ que se acercan a $a$ desde un único lado.
Dada la función $f(x) = x^2 - 3$, queremos investigar qué ocurre cuando los valores de $x$ se acercan mucho a $2$. Completa la siguiente tabla de valores y, a la vista…
Dada la función $f(x) = x^2 - 3$, queremos investigar qué ocurre cuando los valores de $x$ se acercan mucho a $2$. Completa la siguiente tabla de valores y, a la vista de los resultados, indica cuál crees que es el valor del $\lim_{x \to 2} f(x)$.
| $x$ | $1,9$ | $1,99$ | $1,999$ | $2,001$ | $2,01$ | $2,1$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ |
El criterio de existencia: cuándo hay límite global
Los dos laterales por separado no garantizan nada sobre el límite global: hay que compararlos.
Observa la siguiente gráfica de la función $g(x)$ y determina el valor de los límites laterales en el punto de ruptura $x = 1$. Indica también si existe el límite global…
Observa la siguiente gráfica de la función $g(x)$ y determina el valor de los límites laterales en el punto de ruptura $x = 1$. Indica también si existe el límite global $\lim_{x \to 1} g(x)$.
- a) $\lim_{x \to 1^-} g(x)$
- b) $\lim_{x \to 1^+} g(x)$
Dada la función $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}$, calcula los límites laterales en el punto donde se anula el denominador. a) ¿Qué ocurre con los valores de la…
Dada la función $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}$, calcula los límites laterales en el punto donde se anula el denominador.
- a) ¿Qué ocurre con los valores de la función cuando nos acercamos a $x = 1$ por la izquierda?
- b) ¿Y por la derecha?
- c) Basándote en tus resultados, ¿podemos decir que existe el límite global?
Funciones a trozos: hallar parámetros para que exista el límite
El ejercicio más habitual de EvAU en este bloque: dado un parámetro en una función a trozos, hallar su valor para que el límite exista en el punto de empalme.
Determina el valor del parámetro $k$ para que exista el límite de la siguiente función en su punto de ruptura $x = 2$:…
Determina el valor del parámetro $k$ para que exista el límite de la siguiente función en su punto de ruptura $x = 2$:
$f(x) = \begin{cases} kx - 3 & \text{si } x < 2 \\ x^2 + k & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$
Para que el límite exista, recuerda que los límites laterales deben ser iguales. Una vez hallado $k$, indica el valor del límite.
Sea la función $h(x) = \frac{\sqrt{x^2 + k} - 3}{x-1}$. a) Determina el valor de $k \in \mathbb{R}$ para que la función presente una indeterminación del tipo $0/0$…
Sea la función $h(x) = \frac{\sqrt{x^2 + k} - 3}{x-1}$.
- a) Determina el valor de $k \in \mathbb{R}$ para que la función presente una indeterminación del tipo $0/0$ cuando $x \to 1$.
- b) Para dicho valor de $k$, calcula los límites laterales en $x=1$ y estudia si existe el límite global.
El valor absoluto como función a trozos
Una función con valor absoluto siempre se puede reescribir sin él, separando en los tramos donde el argumento es positivo o negativo. Hecho esto, el estudio de los límites laterales es exactamente el mismo.
Calcula los límites laterales en los puntos de ruptura de la siguiente función que combina un valor absoluto con una función racional: $$g(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{|x-3|…
Calcula los límites laterales en los puntos de ruptura de la siguiente función que combina un valor absoluto con una función racional:
$$g(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{|x-3| \cdot (x-1)}$$A partir de los resultados obtenidos, razona si existe el $\lim_{x \to 3} g(x)$ y describe el comportamiento de la función en las proximidades de $x=3$ y $x=1$.