Exercicis: Límits laterals

Donada la funció $f(x) = x^2 - 3$, volem investigar què passa quan els valors de $x$ s'acosten molt a $2$. Completa la taula de valors següent i, a la vista dels resultats, indica quin creus que és el valor del $\lim_{x \to 2} f(x)$.

Observa la gràfica següent de la funció $g(x)$ i determina el valor dels límits laterals en el punt de ruptura $x = 1$. Indica també si existeix el límit global $\lim_{x \to 1} g(x)$.

1. a) $\lim_{x \to 1^-} g(x)$
2. b) $\lim_{x \to 1^+} g(x)$

Explica amb les teves pròpies paraules què significa l'expressió $\lim_{x \to a^-} f(x) = L$. Posa un exemple de la vida quotidiana on es produeixi una aproximació a un valor "per l'esquerra" (per exemple, el temps que falta perquè comenci un examen o els diners que et queden a la targeta de transport).

Calcula els límits senzills següents mitjançant substitució directa:

1. a) $\lim_{x \to 3} (2x^2 - 5x + 1)$
2. b) $\lim_{x \to -1} \frac{x + 5}{x + 2}$
3. c) $\lim_{x \to 0} \sqrt{x + 4}$

Donada la funció definida a trossos:

$f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{si } x < 3 \\ 7 - x & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

Calcula els límits laterals en el punt $x = 3$:

1. a) $\lim_{x \to 3^-} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 3^+} f(x)$

Què pots dir sobre l'existència del límit $\lim_{x \to 3} f(x)$?

El nivell de càrrega d'un patinet elèctric (en percentatge) després de $t$ hores d'ús es comporta segons la funció $C(t) = 100 - 15t$. Si un usuari vol saber quanta bateria li quedarà quan estigui a punt de complir-se la quarta hora de trajecte, calcula el límit:

$\lim_{t \to 4^-} (100 - 15t)$

Observa la gràfica d'aquesta funció $h(x)$, que presenta una asímptota vertical en $x = 2$ (la recta discontínua), i determina el valor dels límits laterals indicats.

1. a) $\lim_{x \to 2^-} h(x)$
2. b) $\lim_{x \to 2^+} h(x)$

Considera la funció $f(x)$ representada en el gràfic següent. El cercle buit indica un punt que no pertany al gràfic i el punt ple indica el valor que pren la funció en $x = 2$.

A partir del gràfic:

1. a) Identifica el valor de $f(2)$.

1. b) Identifica $\lim_{x \to 2^-} f(x)$.

1. c) Identifica $\lim_{x \to 2^+} f(x)$.

1. d) Existeix el límit de $f(x)$ quan $x \to 2$? Justifica la teva resposta.

Per determinar si existeix $\lim_{x \to 3} f(x)$ en la funció definida a trossos

En Marcos afirma a classe: «Com que per a $x = 3$ la funció val $8$, aleshores el límit global $\lim_{x \to 3} f(x)$ és igual a $8$ directament, sense necessitat de calcular límits laterals». Respon a les qüestions següents:

1. a) Identifica i explica raonadament l'error conceptual que comet en Marcos respecte al concepte de límit i la seva relació amb el valor puntual $f(3)$.
2. b) Calcula de manera rigorosa els límits laterals $\lim_{x \to 3^-} f(x)$ i $\lim_{x \to 3^+} f(x)$.
3. c) A partir dels teus resultats, determina si existeix $\lim_{x \to 3} f(x)$, indica el seu valor en cas afirmatiu i compara'l amb el valor de la funció en aquest punt.

Considera la funció $f(x) = \frac{2x - 4}{|x - 2|}$, definida per a tot $x \neq 2$.

1. a) Abans d'operar analíticament, estima el comportament de $f(x)$ a prop de $2$: calcula mentalment el signe i el valor que esperes obtenir si substitueixes valors molt propers a $2$ per l'esquerra (com ara $x = 1,99$) i per la dreta (com ara $x = 2,01$). Escriu la teva predicció per a $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ i $\lim_{x \to 2^+} f(x)$.
2. b) Reescriu la funció com una funció a trossos eliminant el valor absolut segons el signe de $x - 2$ i calcula formalment ambdós límits laterals.
3. c) Comprova si la teva estimació inicial coincidia amb els càlculs i conclou raonadament si existeix el límit global $\lim_{x \to 2} f(x)$.

Donada la gràfica de la funció $f(x)$ representada a continuació, analitza el comportament de la funció en les proximitats dels punts conflictius. Determina de forma raonada els límits laterals i el límit global (en cas que existeixi) per a:

1. a) $x \to -2$
2. b) $x \to 1$
3. c) $x \to 3$

Un gestor d'inversions observa que el rendiment d'un fons d'alt risc, $R(x)$, expressat en milers d'euros segons el capital invertit $x$ (en desenes de milers), segueix el model:

$R(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$

Investiga, completant una taula de valors amb l'ajuda de la calculadora, què passa amb el rendiment quan la inversió s'aproxima a $30.000$ € ($x \to 3$). Utilitza els valors $2,9; 2,99; 2,999$ per l'esquerra i $3,1; 3,01; 3,001$ per la dreta. Podria el gestor afirmar que el límit existeix encara que la funció no estigui definida a $x = 3$? Justifica la teva resposta.

Determina el valor del paràmetre $k$ perquè existeixi el límit de la funció següent en el seu punt de ruptura $x = 2$:

$f(x) = \begin{cases} kx - 3 & \text{si } x < 2 \\ x^2 + k & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$

Perquè el límit existeixi, recorda que els límits laterals han de ser iguals. Un cop trobat $k$, indica el valor del límit.

Una empresa de logística cobra els enviaments urgents mitjançant una tarifa per trams segons el pes $p$ en quilogrames. El cost $C(p)$ en euros ve donat per:

$C(p) = \begin{cases} 5 + 2p & \text{si } 0 < p \leq 5 \\ 10 + 1,5p & \text{si } p > 5 \end{cases}$

Calcula i interpreta en el context del problema:

1. a) $\lim_{p \to 5^-} C(p)$
2. b) $\lim_{p \to 5^+} C(p)$
3. c) Existeix un cost definit de forma contínua per a un paquet que pesi exactament $5$ kg?

Considera la funció $g(x) = \frac{2x + 1}{x - 4}$.

1. a) Estudia els límits laterals de $g(x)$ quan $x \to 4$.

1. b) Indica si la funció presenta una asímptota vertical en aquest punt.

1. c) Dibuixa un petit esquema gràfic (a mà, amb la recta $x = 4$ marcada) que mostri cap a on tendeixen les branques de la funció (si cap a $+\infty$ o cap a $-\infty$) segons t'acostis a $x = 4$ per l'esquerra o per la dreta.

Donada la funció amb valor absolut $h(x) = \frac{|x - 1|}{x - 1}$, es demana:

1. a) Redefineix la funció com una funció a trossos eliminant el valor absolut.
2. b) Calcula $\lim_{x \to 1^-} h(x)$ i $\lim_{x \to 1^+} h(x)$.
3. c) Existeix el límit global $\lim_{x \to 1} h(x)$? Argumenta la teva resposta basant-te en la teoria dels límits laterals.

En un estudi sociològic, el nivell d'alienació $A(t)$ d'una comunitat després de $t$ mesos d'un canvi normatiu es defineix mitjançant:

$A(t) = \begin{cases} \frac{t^2}{4} & \text{si } 0 \leq t < 6 \\ 12 - \frac{t}{2} & \text{si } t \geq 6 \end{cases}$

Estudia si el nivell d'alienació canvia de forma brusca o gradual en el sisè mes. Per a fer-ho, calcula els límits laterals a $t = 6$ i comprova si el límit existeix.

Donada la funció $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}$, calcula els límits laterals en el punt on s'anul·la el denominador.

1. a) Què passa amb els valors de la funció quan ens acostem a $x = 1$ per l'esquerra?

1. b) I per la dreta?

1. c) Basant-te en els teus resultats, podem dir que existeix el límit global en $x = 1$?

Pista. Factoritza el numerador i el denominador i simplifica la fracció abans d'estudiar el signe de cada costat.

Una empresa de paqueteria urgent a Espanya aplica una tarifa que depèn del pes $p$ del paquet (en quilograms, amb $0 < p \le 5$). El cost en euros, $C(p)$, ve donat per:

on $k$ és un paràmetre que la direcció comercial ha de fixar.

1. a) Explica el significat econòmic dels límits laterals $\lim_{p \to 2^-} C(p)$ i $\lim_{p \to 2^+} C(p)$ per a un usuari que prepara un enviament que ronda els $2\text{ kg}$.
2. b) Calcula el valor que ha de prendre $k$ perquè no hi hagi una variació brusca (un salt) en la tarifa al voltant dels $2\text{ kg}$; és a dir, perquè existeixi $\lim_{p \to 2} C(p)$. Quin és el cost límit del paquet en aquest cas?
3. c) Si l'empresa fixés per error $k = 0,2$, calcula els nous límits laterals a $p = 2$ i interpreta quin problema comercial o paradoxa es produiria entre enviar un paquet d'$1,99\text{ kg}$ i un de $2,01\text{ kg}$.

Dissenya l'expressió analítica d'una funció a trossos $g(x)$, amb domini a tot $\mathbb{R}$, que compleixi simultàniament aquestes quatre condicions:

1. $\lim_{x \to -1^-} g(x) = 4$ i $\lim_{x \to -1^+} g(x) = 4$.

2. $g(-1) = 1$.

3. $\lim_{x \to 3^-} g(x) = 2$ i $\lim_{x \to 3^+} g(x) = -1$.

4. En cada interval obert $(-\infty, -1)$, $(-1, 3)$ i $(3, +\infty)$, la funció ha de ser una recta (polinomi de grau menor o igual a 1).

Un cop proposada la fórmula de la teva funció:

1. a) Demostra mitjançant el càlcul dels límits laterals que la teva funció satisfà exactament totes les condicions exigides.
2. b) Explica raonadament en quin dels dos punts ($x = -1$ o $x = 3$) existeix el límit global i per què en l'altre no és possible la seva existència.

S'està estudiant l'evolució dels beneficis d'una startup tecnològica (en milers d'euros) segons el temps $t$ en mesos. La funció que descriu el benefici ve donada per:

Determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ sabent que existeix el límit global de la funció quan $t \to 2$. Un cop trobats, calcula i interpreta els límits laterals a $t = 2$.

Calcula els límits laterals en els punts de ruptura de la funció següent que combina un valor absolut amb una funció racional:

A partir dels resultats obtinguts, raona si existeix el $\lim_{x \to 3} g(x)$ i descriu el comportament de la funció a les proximitats de $x=3$ i $x=1$.

Una empresa de missatgeria estableix el cost d'enviament $C(x)$ (en euros) per a paquets de pes $x$ (en kg) mitjançant la funció següent que utilitza la funció "part entera" $E[x]$ (el nombre enter més gran menor o igual a $x$):

Calcula els límits laterals de la funció de cost quan el pes s'aproxima a $2$ kg. És el cost una funció contínua en aquest punt? Justifica la teva resposta utilitzant la definició de límit.

Considera la funció $f(x)$ definida a trossos:

Sabent que $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 4$, determina raonadament el valor de la constant $k$. Posteriorment, troba el valor d'$a$ perquè existisca el límit de la funció a l'origen.

(Pista: Pots usar que $\lim_{h \to 0} \dfrac{e^h - 1}{h} = 1$).

Sigui la funció $h(x) = \frac{\sqrt{x^2 + k} - 3}{x-1}$.

1. a) Determina el valor de $k \in \mathbb{R}$ perquè la funció brilli una indeterminació del tipus $0/0$ quan $x \to 1$.
2. b) Per a aquest valor de $k$, calcula els límits laterals a $x=1$ i estudia si existeix el límit global.

En un mercat de valors, el preu d'una acció $P$ en funció del risc $x$ es modelitza com:

$P(x) = \frac{ax^2 + bx}{x^2 - 1}$

Es sap que quan el risc s'apropa a $1$ per la dreta, el preu tendeix a $+\infty$, però quan s'apropa a $1$ per l'esquerra, el preu tendeix a $-\infty$. A més, quan el risc tendeix a $+\infty$, el preu tendeix a $1$, i per a un risc $x = 2$, el preu és $2$. Calcula els valors d'$a$ i $b$ i comprova la consistència dels límits laterals a $x = 1$ i $x = -1$.

Donada la funció $f(x) = \frac{x^2 - |x|}{x}$, investiga l'existència de límit en $x=0$ calculant-ne els límits laterals. Representa gràficament la situació i explica què passa amb la imatge de la funció exactament a l'origen.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Estudia els límits laterals de la funció següent en els punts $x = -2$ i $x = 2$. En quin d'ells existeix un límit finit?

Posteriorment, proposa una modificació en el numerador perquè en el punt on el límit era infinit passi a ser un valor real concret.

Es vol estudiar l'existència de $\lim_{x \to 2} \frac{|x^2 - 4|}{2x - 4}$. Dos estudiants de 2n de Batxillerat plantegen estratègies diferents per resoldre'l:

• Mètode de l'Alba: Estudia primer el signe del polinomi quadràtic $x^2 - 4$ a tota la recta real, escriu la funció completa desglossada en tres trossos segons els intervals resultants i, a partir d'aquesta expressió general, calcula els límits laterals a $x = 2$.

• Mètode d'en Bruno: Raona de manera local únicament en un entorn de $x = 2$. Argumenta que si $x \to 2^+$, aleshores $x > 2$ i per tant $x^2 - 4 > 0$, cosa que permet substituir $|x^2 - 4|$ per $(x^2 - 4)$; anàlogament, si $x \to 2^-$, aleshores $x < 2$ (proper a $2$) i per tant $x^2 - 4 < 0$, substituint-lo per $-(x^2 - 4)$. Després resol cada límit lateral de manera independent factoritzant la indeterminació $\frac{0}{0}$.

1. a) Aplica amb detall ambdós mètodes per calcular $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ i $\lim_{x \to 2^+} f(x)$, deduint si existeix o no el límit global.
2. b) Valora críticament ambdós camins: quin és més eficient si només interessa el comportament a $x = 2$? En quin context matemàtic (per exemple, si es demanés la representació gràfica o l'estudi global de continuïtat a $\mathbb{R}$) resultaria imprescindible el mètode de l'Alba?

Considera la funció real $f(x)$ definida mitjançant:

1. a) Estudia analíticament el comportament de la funció a la dreta de $x = 5$. Justifica com s'elimina el valor absolut per a $x > 5$ i calcula $\lim_{x \to 5^+} f(x)$. Quin valor s'hauria obtingut si l'expressió $\frac{|x - 5|}{x^2 - 25}$ s'hagués utilitzat per calcular una aproximació per l'esquerra ($x \to 5^-$)?
2. b) Calcula el límit lateral $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ resolent la indeterminació corresponent.
3. c) Planteja i resol el sistema d'equacions que determina els valors dels paràmetres $m$ i $n$ perquè existeixin simultàniament els límits globals $\lim_{x \to 2} f(x)$ i $\lim_{x \to 5} f(x)$.
4. d) Suposa que s'imposa la condició addicional que el tram intermedi sigui horitzontal ($m = 0$). Demostra de manera raonada que és impossible trobar un valor de $n$ que permeti l'existència simultània d'ambdós límits globals, interpretant aquest fet a partir dels límits laterals obtinguts.