Producto vectorial

Dados los vectores $\vec{u} = (2, -1, 3)$ y $\vec{v} = (0, 4, 1)$, calcula su producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ utilizando la regla del determinante con los vectores de la base canónica $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$.

Dados los vectores unitarios de los ejes de coordenadas $\vec{i} = (1, 0, 0)$, $\vec{j} = (0, 1, 0)$ y $\vec{k} = (0, 0, 1)$, calcula los siguientes productos vectoriales:

1. a) $\vec{i} \times \vec{j}$
2. b) $\vec{j} \times \vec{i}$

Razona, a la vista de los resultados, si el producto vectorial cumple la propiedad conmutativa.

Halla el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores $\vec{u} = (5, 0, 0)$ y $\vec{v} = (2, 3, 0)$. ¿Qué relación observas entre este resultado y el área de un rectángulo de base 5 y altura 3 situado en el plano $XY$?

Determina el área del triángulo cuyos vértices son los puntos del espacio $A(1, 0, 2)$, $B(3, 1, 2)$ y $C(1, 2, 5)$.

Pista: Utiliza los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$.

Calcula un vector que sea perpendicular simultáneamente a $\vec{a} = (1, 1, 1)$ y $\vec{b} = (3, 0, 2)$. Comprueba el resultado realizando el producto escalar del vector obtenido por $\vec{a}$.

Halla un vector que sea perpendicular al plano que pasa por los puntos $P(0, 0, 0)$, $Q(1, 2, 3)$ y $R(2, 0, 1)$.

En el diseño de una pieza industrial, se necesita conocer la dirección de la recta $r$ que resulta de la intersección de dos planos cuyas normales son $\vec{n}_1 = (2, -1, 5)$ y $\vec{n}_2 = (1, 3, -2)$. Sabiendo que el vector director de la recta es perpendicular a ambas normales, utiliza el producto vectorial para hallarlo.

Demuestra, utilizando las propiedades del producto vectorial, que para cualquier pareja de vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ del espacio, se cumple la siguiente igualdad:

A continuación, verifica el resultado para los vectores $\vec{u} = (1, 0, -1)$ y $\vec{v} = (2, 3, 1)$.

Dados los vectores $\vec{a} = (3, -1, 0)$ y $\vec{b} = (1, 2, -2)$, halla un tercer vector $\vec{c}$ de manera que el conjunto $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ forme una base ortogonal del espacio (es decir, que sean perpendiculares entre sí dos a dos).

Un equipo de topógrafos está midiendo una parcela triangular en un terreno accidentado. Han determinado que los vértices del triángulo, referidos a un sistema de coordenadas cartesianas en metros, son $A(1, 0, 2)$, $B(3, 4, 0)$ y $C(5, 1, -3)$. Calcula el área de dicha parcela utilizando el producto vectorial.

Un ingeniero ambiental está calculando la eficiencia de un panel solar plano. El panel está definido por los puntos $P(1, 1, 1)$, $Q(2, 3, 1)$ y $R(1, 2, 4)$. Para maximizar la captación de energía, necesita conocer el vector normal unitario a la superficie del panel. Halla dicho vector.