Exercicis: Producte vectorial

Donats els vectors $\vec{u} = (2, -1, 3)$ i $\vec{v} = (0, 4, 1)$, calcula el seu producte vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ utilitzant la regla del determinant amb els vectors de la base canònica $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$.

Calcula un vector que sigui perpendicular simultàniament a $\vec{a} = (1, 1, 1)$ i $\vec{b} = (3, 0, 2)$. Comprova el resultat realitzant el producte escalar del vector obtingut per $\vec{a}$.

Troba l'àrea del paral·lelogram que té per costats els vectors $\vec{u} = (5, 0, 0)$ i $\vec{v} = (2, 3, 0)$. Quina relació observes entre aquest resultat i l'àrea d'un rectangle de base 5 i altura 3 situat en el pla $XY$?

Determina l'àrea del triangle els vèrtexs del qual són els punts de l'espai $A(1, 0, 2)$, $B(3, 1, 2)$ i $C(1, 2, 5)$.

Comprova si els vectors $\vec{u} = (1, -2, 4)$ i $\vec{v} = (-2, 4, -8)$ són paral·lels calculant el seu producte vectorial. Explica quina condició ha de complir el resultat d'un producte vectorial per assegurar que dos vectors tenen la mateixa direcció.

Donats els vectors unitaris dels eixos de coordenades $\vec{i} = (1, 0, 0)$, $\vec{j} = (0, 1, 0)$ i $\vec{k} = (0, 0, 1)$, calcula els productes vectorials següents:

1. a) $\vec{i} \times \vec{j}$
2. b) $\vec{j} \times \vec{i}$

Raona, tenint en compte els resultats, si el producte vectorial compleix la propietat commutativa.

Troba un vector que sigui perpendicular al pla que passa pels punts $P(0, 0, 0)$, $Q(1, 2, 3)$ i $R(2, 0, 1)$.

En física, el moment d'una força $\vec{F}$ aplicada en un punt respecte a un origen ve donat pel producte vectorial $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$, on $\vec{r}$ és el vector de posició del punt d'aplicació. Calcula el moment d'una força $\vec{F} = (0, 10, 0)$ Newtons aplicada en el punt de coordenades $\vec{r} = (3, 0, 0)$ metres. La figura mostra un esquema (no està a escala) de $\vec{r}$ i $\vec{F}$.

La Lucía ha de trobar les coordenades d'un vector perpendicular simultàniament a $\vec{u} = (2, -1, 3)$ i $\vec{v} = (1, 4, -2)$. Per resoldre-ho, planteja el determinant amb els vectors de la base canònica i escriu al seu examen:

Després d'operar, conclou que el vector demanat és $\vec{w} = (-10, -7, 9)$.

1. a) Sense tornar a calcular el producte vectorial complet, utilitza el producte escalar per demostrar que el vector $\vec{w}$ obtingut per la Lucía no és perpendicular a $\vec{u}$.
2. b) Localitza i explica amb precisió l'error conceptual o algebraic que ha comès la Lucía en el desenvolupament del determinant.
3. c) Corregeix el càlcul i escriu les coordenades correctes del vector $\vec{u} \times \vec{v}$.

En l'espai tridimensional es consideren els vèrtexs d'un triangle: $A(0, 0, 0)$, $B(4, 0, 0)$ i $C(2, 5, 1)$ (amb coordenades mesurades en metres).

1. a) Abans de calcular cap determinant o producte vectorial, observa la posició geomètrica dels punts: el costat $AB$ descansa sobre l'eix $X$ i el vèrtex $C$ se situa a $y = 5$ amb una cota vertical petita ($z = 1$). A partir de l'àrea de la projecció del triangle sobre el pla horitzontal $XY$, fes una estimació raonada de l'àrea del triangle $ABC$ en l'espai i indica entre quins dos nombres enters consecutius s'ha de trobar el seu valor.
2. b) Calcula l'àrea exacta del triangle mitjançant el mòdul del producte vectorial $\frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}|$.
3. c) Compara el valor exacte obtingut amb la teva estimació prèvia i raona per què l'àrea real en l'espai és lleugerament superior a la del triangle projectat sobre el pla horitzontal.

Donats els vectors $\vec{u} = (1, -2, 3)$ i $\vec{v} = (0, 1, 4)$, calcula les coordenades d'un vector $\vec{w}$ que sigui perpendicular simultàniament a $\vec{u}$ i a $\vec{v}$, i que tingui un mòdul igual a $\sqrt{130}$ unitats. Quantes solucions possibles hi ha per a aquest vector?

Un equip de topògrafs està mesurant una parcel·la triangular en un terreny accidentat. Han determinat que els vèrtexs del triangle, referits a un sistema de coordenades cartesianes en metres, són $A(1, 0, 2)$, $B(3, 4, 0)$ i $C(5, 1, -3)$. Calcula l'àrea d'aquesta parcel·la utilitzant el producte vectorial.

Determina el valor del paràmetre real $k$ perquè l'àrea del paral·lelogram definit pels vectors $\vec{a} = (k, 1, 2)$ i $\vec{b} = (1, k, 0)$ sigui exactament $\sqrt{21}$ unitats quadrades.

En el disseny d'una peça industrial, es necessita conèixer la direcció de la recta $r$ que resulta de la intersecció de dos plans les normals dels quals són $\vec{n}_1 = (2, -1, 5)$ i $\vec{n}_2 = (1, 3, -2)$. Sabent que el vector director de la recta és perpendicular a totes dues normals, utilitza el producte vectorial per trobar-lo.

Demostra, utilitzant les propietats del producte vectorial, que per a qualsevol parella de vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$ de l'espai, es compleix la igualtat següent:

A continuació, verifica el resultat per als vectors $\vec{u} = (1, 0, -1)$ i $\vec{v} = (2, 3, 1)$.

Un enginyer ambiental està calculant l'eficiència d'un panell solar pla. El panell està definit pels punts $P(1, 1, 1)$, $Q(2, 3, 1)$ i $R(1, 2, 4)$. Per maximitzar la captació d'energia, necessita conèixer el vector normal unitari a la superfície del panell. Troba aquest vector.

Donats els vectors $\vec{a} = (2, -1, 0)$ i $\vec{b} = (1, 2, -2)$, troba un tercer vector $\vec{c}$ de manera que el conjunt $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ formi una base ortogonal de l'espai (és a dir, que siguin perpendiculars entre si dos a dos).

En un experiment de física, una partícula carregada es mou en un camp magnètic. El moment de la força $\vec{M}$ respecte a l'origen ve donat pel producte vectorial $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$, on $\vec{r}$ és el vector de posició del punt d'aplicació i $\vec{F}$ és la força aplicada. Si $\vec{r} = (2, -3, 1)$ metres i la força és $\vec{F} = (4, 1, 2)$ Newtons (la figura és un esquema de la situació):

1. a) Calcula el vector moment $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$.

1. b) Calcula el seu mòdul $|\vec{M}|$ i indica la seva unitat física (N·m).

Al pati d'un institut de Sevilla s'instal·larà un tendal vela triangular per crear una zona d'ombra davant de les altes temperatures. La lona s'ancora en tres punts de suport fixats als murs circumdants, les coordenades espacials dels quals referides al terra horitzontal (pla $XY$, en metres) són $A(0, 0, 3)$, $B(4, 0, 4)$ i $C(0, 6, 5)$.

1. a) Modela la superfície tensada com el triangle de vèrtexs $A$, $B$ i $C$, i calcula la seva superfície exacta (àrea en $\text{m}^2$) utilitzant el producte vectorial.
2. b) Per evitar que s'acumuli aigua en episodis de pluja intensa, cal controlar la inclinació de la lona. Obtén un vector perpendicular a la superfície del tendal i calcula l'angle que forma amb la vertical $\vec{k} = (0, 0, 1)$, deduint a partir d'aquest el pendent del tendal respecte al pla horitzontal del terra.

Es coneixen els vectors $\vec{u} = (1, 2, 2)$ i $\vec{w} = (-6, 6, -3)$, i es busca determinar un vector desconegut $\vec{v}$ tal que $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{w}$.

1. a) Explica per què és una condició geomètrica obligatòria que $\vec{u} \cdot \vec{w} = 0$ perquè existeixi alguna solució, i comprova numèricament si es compleix aquesta condició en aquest cas.
2. b) Demostra formalment que la solució d'aquesta equació vectorial no és mai única: si $\vec{v}_0$ és una solució particular, demostra que qualsevol vector de la forma $\vec{v} = \vec{v}_0 + \lambda\vec{u}$ (amb $\lambda \in \mathbb{R}$) també satisfà la igualtat $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{w}$.
3. c) Si imposem la condició addicional que $\vec{v}$ sigui estrictament perpendicular a $\vec{u}$, planteja les equacions corresponents i determina les coordenades de l'únic vector $\vec{v}$ que compleix simultàniament $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{w}$ i $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Donats els vectors $\vec{u} = (1, -1, 2)$ i $\vec{v} = (3, 1, -1)$, es demana trobar un vector $\vec{w}$ que compleixi simultàniament les següents tres condicions:

1. És perpendicular als vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$.

2. La seva norma o mòdul és exactament igual a $\sqrt{750}$.

3. La seva component en l'eix $Z$ (cota) és un nombre negatiu.

Considera un triangle els vèrtexs del qual són els punts $A(k, 0, 1)$, $B(1, 2, 1)$ i $C(0, -1, k)$, on $k$ és un paràmetre real.

1. a) Determina l'expressió de l'àrea del triangle en funció de $k$.
2. b) Troba els valors de $k$ per als quals l'àrea del triangle és exactament $\frac{3\sqrt{6}}{2}$ unitats quadrades.

Es vol dissenyar una peça estructural metàl·lica en forma de paral·lelogram. Els costats estan definits pels vectors $\vec{a} = (2, m, 1)$ i $\vec{b} = (1, 2, 2)$.

1. a) Calcula el valor del paràmetre $m$ sabent que l'àrea d'aquesta peça és de $\sqrt{26}$ unitats quadrades.
2. b) Per als valors de $m$ trobats, són els vectors $\vec{a}$ i $\vec{b}$ perpendiculars? Justifica la teva resposta sense fer el producte escalar.

En un estudi de robòtica, el braç d'un robot exerceix una força $\vec{F} = (2, -3, 1)$ Newtons sobre un pern situat en el punt $P(1, 1, 4)$. El moment d'una força respecte a un punt $O$ es defineix com el producte vectorial $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$, on $\vec{r}$ és el vector posició del punt d'aplicació de la força respecte al centre de gir.

Si el centre de gir es troba a l'origen de coordenades $O(0, 0, 0)$, calcula:

1. a) El vector moment $\vec{M}$.
2. b) L'àrea del triangle que té per costats els vectors $\vec{r}$ i $\vec{F}$.

Donats els vectors $\vec{u} = (2, 1, -1)$ i $\vec{v} = (1, 0, 3)$, troba tots els vectors $\vec{x}$ que satisfacin simultàniament les equacions següents:

1. $\vec{x} \times \vec{u} = \vec{u} \times \vec{v}$

2. $\vec{x} \cdot \vec{v} = 0$

(Pista: Utilitza les propietats distributives del producte vectorial i la condició de linealitat).

Sigui $V$ el volum del paral·lelepíped definit pels vectors $\vec{a}$, $\vec{b}$ i $\vec{c}$.

Si $\vec{a} = (1, 1, 0)$, $\vec{b} = (0, 2, 1)$ i $\vec{c} = (m, 0, 1)$:

1. a) Troba els valors de $m$ perquè el volum sigui de 4 unitats cúbiques.
2. b) Per a cadascun d'aquests valors de $m$, calcula l'àrea de la cara del paral·lelepíped definida pels vectors $\vec{a}$ i $\vec{b}$, i utilitza aquesta dada per trobar l'altura del paral·lelepíped respecte a aquesta base.

Demostra de manera analítica la Identitat de Lagrange per als vectors $\vec{u} = (x, 1, 0)$ i $\vec{v} = (0, y, 1)$, verificant que:

A continuació, utilitza aquesta identitat per trobar l'àrea del paral·lelogram format per $\vec{u}$ i $\vec{v}$ si sabem que $|\vec{u}| = 2$, $|\vec{v}| = 3$ i el seu producte escalar és $\vec{u} \cdot \vec{v} = \sqrt{8}$.

Un panell solar quadrangular té els seus vèrtexs en els punts $P(1, 0, 0)$, $Q(3, 2, 1)$, $R(2, 5, 3)$ i $S(0, 3, 2)$.

1. a) Comprova si els quatre punts són coplanaris (estan en el mateix pla).
2. b) Si són coplanaris, calcula l'àrea total del panell solar descomponent-lo en dos triangles i utilitzant el producte vectorial.

Es vol calcular la distància des del punt $P(3, 1, -2)$ fins a la recta $r$ que passa pel punt $A(1, 0, 1)$ i té vector director $\vec{d} = (1, 2, -1)$. Dos estudiants proposen estratègies diferents:

• Mètode d'Alba (vectorial): Interpreta que el vector $\vec{AP}$ i el vector director $\vec{d}$ determinen un paral·lelogram a l'espai la base del qual és $|\vec{d}|$ i l'altura del qual és la distància buscada, per la qual cosa aplica la fórmula $d(P, r) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{d}|}{|\vec{d}|}$.

• Mètode de Bruno (analític): Troba l'equació general del pla $\pi$ perpendicular a la recta $r$ que passa per $P$, calcula el punt $M$ de tall entre la recta $r$ i el pla $\pi$ (projecció ortogonal de $P$ sobre $r$), i obté la distància calculant el mòdul $|\vec{PM}|$.

1. a) Justifica detalladament, amb arguments geomètrics, per què la fórmula emprada en el mètode d'Alba proporciona amb rigor la distància mínima de $P$ a la recta $r$.
2. b) Desenvolupa tots dos mètodes pas a pas i comprova que condueixen exactament al mateix resultat numèric.
3. c) Compara críticament tots dos camins: quin resulta més directe i amb menys risc d'error algebraic si únicament et demanen el valor numèric de la distància? En quin problema geomètric posterior resultaria imprescindible haver obtingut el punt $M$ mitjançant el mètode de Bruno en lloc de limitar-se al càlcul d'Alba?

Tres vectors no nuls $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in \mathbb{R}^3$ satisfan simultàniament les dues igualtats vectorials següents:

1. a) Demostra rigorosament, recorrent a la definició i propietats geomètriques del producte vectorial, que els tres vectors $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$ són perpendiculars dos a dos.
2. b) A partir de la fórmula del mòdul $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin\theta$, demostra que el mòdul del vector $\vec{v}$ està unívocament determinat per aquestes dues condicions i calcula el seu valor exacte.
3. c) Dedueix la relació matemàtica existent entre els mòduls $|\vec{u}|$ i $|\vec{w}|$.
4. d) Construeix un exemple numèric concret proposant unes coordenades senzilles per a $\vec{u}$ i $\vec{v}$ que compleixin les condicions de l'enunciat, calcula el vector $\vec{w}$ resultant i comprova que es verifiquen de manera exacta totes dues igualtats vectorials.