Producto mixto

Dados los vectores $\vec{u} = (2, -1, 3)$, $\vec{v} = (0, 4, 1)$ y $\vec{w} = (1, 1, -2)$, calcula el valor del producto mixto $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ utilizando la definición basada en el determinante de sus componentes.

Un estudiante de ingeniería está diseñando una pieza mediante un programa de CAD. La base de la pieza viene definida por los vectores $\vec{a} = (3, 0, 0)$ y $\vec{b} = (0, 5, 0)$, mientras que el tercer vector que define la profundidad es $\vec{c} = (1, 2, 4)$. Calcula el volumen del paralelepípedo que forman estos tres vectores.

Se considera un hangar de almacenamiento con forma de paralelepípedo donde tres de sus aristas concurrentes en un vértice son los vectores $\vec{u} = (3, 0, 0)$, $\vec{v} = (0, 4, 0)$ y $\vec{w} = (1, 2, 5)$.

1. a) Calcula el volumen total del hangar.
2. b) Si se divide el hangar mediante un plano inclinado que pase por los extremos de los tres vectores anteriores para crear un altillo triangular (tetraedro con el origen), ¿qué fracción del volumen total del hangar ocuparía dicho altillo?

Comprueba de forma razonada si los vectores $\vec{a} = (1, 2, -1)$, $\vec{b} = (3, 0, 2)$ y $\vec{c} = (4, 2, 1)$ son coplanarios. Para ello, calcula su producto mixto y justifica tu respuesta basándote en el resultado obtenido.

Comprueba si los puntos $P(1, 2, -1)$, $Q(3, 0, 2)$, $R(2, 1, 4)$ y $S(5, -2, 7)$ son coplanarios utilizando el producto mixto. En caso de que no lo sean, calcula el volumen del tetraedro que tiene a estos cuatro puntos como vértices.

Dados tres vectores linealmente independientes $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ tales que su producto mixto es $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 4$, calcula razonadamente, aplicando las propiedades de los determinantes, el valor del producto mixto de los vectores $\vec{x} = 2\vec{u}$, $\vec{y} = \vec{u} + \vec{v}$ y $\vec{z} = \vec{w} - \vec{v}$.

Dados los vectores $\vec{u} = (1, 0, 1)$ y $\vec{v} = (2, 1, -1)$, encuentra un tercer vector $\vec{w}$ de la forma $(0, 0, z)$ tal que el volumen del paralelepípedo definido por los tres sea exactamente de 5 unidades cúbicas.

Un estudio de arquitectura diseña una claraboya con forma de tetraedro cuyos vértices son los puntos $A(1, 1, 1)$, $B(3, 2, 0)$, $C(2, 4, -1)$ y $D(0, 0, z)$. Calcula el valor de la cota $z$ sabiendo que el volumen de la claraboya es de $5$ unidades cúbicas y que el vértice $D$ se encuentra en el semieje negativo de las $Z$.