Exercicis: Producte mixt

Donats els vectors $\vec{u} = (2, -1, 3)$, $\vec{v} = (0, 4, 1)$ i $\vec{w} = (1, 1, -2)$, calcula el valor del producte mixt $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ utilitzant la definició basada en el determinant de les seves components.

Un estudiant d'enginyeria està dissenyant una peça mitjançant un programa de CAD. La base de la peça ve definida pels vectors $\vec{a} = (3, 0, 0)$ i $\vec{b} = (0, 5, 0)$, mentre que el tercer vector que defineix la profunditat és $\vec{c} = (1, 2, 4)$. Calcula el volum del paral·lelepíped que formen aquests tres vectors.

Comprova de forma raonada si els vectors $\vec{a} = (1, 2, -1)$, $\vec{b} = (3, 0, 2)$ i $\vec{c} = (4, 2, 1)$ són coplanaris. Per fer-ho, calcula el seu producte mixt i justifica la teva resposta basant-te en el resultat obtingut.

Donats els vectors $\vec{u} = (1, 0, 1)$ i $\vec{v} = (2, 1, -1)$, troba un tercer vector $\vec{w}$ de la forma $(0, 0, z)$ tal que el volum del paral·lelepíped definit per tots tres sigui exactament de 5 unitats cúbiques.

Dades les rectes $r$ i $s$ definides per les equacions següents:

$r: \begin{cases} x + y - z = 1 \\ 2x - z = 3 \end{cases}$

$s: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{-1}$

Es demana determinar l'equació de la recta $t$ que és la perpendicular comuna a $r$ i $s$. Per fer-ho, obtén primer els vectors directors de totes dues rectes i justifica raonadament que es creuen en l'espai.

Estudia, en funció del paràmetre real $a$, la posició relativa de les rectes $r$ i $s$:

$r: \frac{x-1}{a} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z}{2}$

$s: \begin{cases} x + 2y = 3 \\ ax + z = 1 \end{cases}$

En el cas particular que les rectes siguin secants, calcula les coordenades del punt d'intersecció $P$ i l'equació del pla que les conté.

Considerem el punt $P(1, 0, -1)$ i les rectes:

$r: x = y = z$

$s: \begin{cases} x = 3 + t \\ y = 3 + 2t \\ z = 1 + t \end{cases}$

Troba l'equació general del pla $\pi$ que passa pel punt $P$ i és paral·lel a totes dues rectes. A continuació, determina l'equació d'una tercera recta $k$ que passi pel punt $P$, estigui continguda en aquest pla $\pi$ i sigui perpendicular a la recta $r$.

Troba l'equació de la recta $t$ que passa pel punt $A(1, 2, 1)$ i talla les rectes $r$ i $s$:

$r: \frac{x}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z}{1}$

$s: \begin{cases} x + z = 3 \\ y = 2 \end{cases}$

Explica el mètode utilitzat basant-te en la intersecció de plans (feix de plans).

Es sap que la recta $r$ passa pel punt $A(1, m, 0)$ i té com a vector director $\vec{u} = (1, 1, a)$. D'altra banda, la recta $s$ és la intersecció dels plans:

$\pi_1: x - y + z = 0$

$\pi_2: 2x + y = 1$

Estudia si existeixen valors dels paràmetres $m$ i $a$ perquè les rectes $r$ i $s$ siguin la mateixa (rectes coincidents) i, en cas afirmatiu, determina'ls.

Dues aeronaus segueixen trajectòries rectilínies dades per:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$

$s: \frac{x-a}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{2}$

1. Calcula el valor de $a$ perquè les trajectòries de les aeronaus es tallin en un punt.

2. Per a aquest valor de $a$, troba l'equació de la recta $n$ que sigui perpendicular al pla format per les trajectòries $r$ i $s$ i que passi pel punt de col·lisió.

En un examen de Geometria, la Laura ha de calcular el volum del tetraedre de vèrtexs $O(0, 0, 0)$, $A(2, 0, 0)$, $B(0, 3, 0)$ i $C(1, 2, -4)$. En la seva resolució escriu el següent:

«Calculo el producte mixt dels vectors $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ i $\vec{OC}$ mitjançant el determinant:

Com que el determinant dóna $-24$, el tetraedre no pot existir amb aquests vèrtexs perquè un volum físic no pot ser mai negatiu. Per tant, l'enunciat del problema conté una incoherència geomètrica.»

1. a) Localitza i explica raonadament els dos errors conceptuals que comet la Laura: un de relatiu a la interpretació del signe del producte mixt i la seva relació amb l'orientació de la base, i un altre de relatiu a la relació mètrica directa entre el producte mixt i el volum del tetraedre.
2. b) Corregeix el procediment i calcula el volum real i correcte d'aquest tetraedre.

Considera els vectors $\vec{u} = (4, 0, 0)$, $\vec{v} = (0, 5, 0)$ i $\vec{w} = (18, -25, 3)$, que defineixen les tres arestes concurrents d'un paral·lelepípede.

1. a) Estima: Sense plantejar determinants ni fer càlculs algebraics previs, observa la base del paral·lelepípede recolzada sobre el pla $xy$ (formada per $\vec{u}$ i $\vec{v}$) i la cota vertical que marca la tercera component de $\vec{w}$. Dedueix quin ha de ser el volum del cos raonant a partir del principi de Cavalieri i la fórmula bàsica $V = \text{àrea de la base} \cdot \text{altura}$. Afecten les components $18$ i $-25$ a l'altura del paral·lelepípede sobre aquesta base?
2. b) Comprova: Calcula formalment el volum mitjançant el valor absolut del producte mixt $|[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]|$. Compara el resultat amb la teva estimació i justifica per què la inclinació de l'aresta $\vec{w}$ no altera la capacitat interior del cos.

Es vol instal·lar un cable de fibra òptica que connecti el punt $A(1, 4, -2)$ amb el punt $B(3, -1, 0)$. Troba l'equació de la recta que passa per tots dos punts en la seva forma contínua.

Donada la recta $r$ expressada mitjançant les seves equacions paramètriques:

Comprova de forma raonada si els punts $A(3, -3, 3)$ i $B(1, 0, 5)$ pertanyen a aquesta recta.

Expressa en forma paramètrica la recta $s$ definida com la intersecció dels plans següents (equacions implícites):

Obtén un punt i un vector director de la recta $r$ la seva equació contínua és:

Un estudi d'arquitectura dissenya una claraboia amb forma de tetraedre els vèrtexs del qual són els punts $A(1, 1, 1)$, $B(3, 2, 0)$, $C(2, 4, -1)$ i $D(0, 0, z)$. Calcula el valor de la cota $z$ sabent que el volum de la claraboia és de $5$ unitats cúbiques i que el vèrtex $D$ es troba en el semieix negatiu de les $Z$.

Comprova si els punts $P(1, 2, -1)$, $Q(3, 0, 2)$, $R(2, 1, 4)$ i $S(5, -2, 7)$ són coplanaris utilitzant el producte mixt. En cas que no ho siguin, calcula el volum del tetraedre que té aquests quatre punts com a vèrtexs.

Donats tres vectors linealment independents $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$ tals que el seu producte mixt és $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 4$, calcula raonadament, aplicant les propietats dels determinants, el valor del producte mixt dels vectors $\vec{x} = 2\vec{u}$, $\vec{y} = \vec{u} + \vec{v}$ i $\vec{z} = \vec{w} - \vec{v}$.

Es considera un hangar d'emmagatzematge amb forma de paral·lelepíped on tres de les seves arestes concurrents en un vèrtex són els vectors $\vec{u} = (3, 0, 0)$, $\vec{v} = (0, 4, 0)$ i $\vec{w} = (1, 2, 5)$.

1. a) Calcula el volum total de l'hangar.
2. b) Si es divideix l'hangar mitjançant un pla inclinat que passi pels extrems dels tres vectors anteriors per crear un altell triangular (tetraedre amb l'origen), quina fracció del volum total de l'hangar ocuparia aquest altell?

Es vol dissenyar un contenidor amb forma de tetraedre els tres vèrtexs del qual a la base són fixos: $A(1, 1, 0)$, $B(3, 1, 0)$ i $C(1, 4, 0)$. El vèrtex superior $D(x, y, z)$ s'ha de triar a l'espai complint dues condicions tècniques:

1. El volum del tetraedre ha de ser exactament de $4\text{ u}^3$.

2. El vèrtex $D$ ha de pertànyer a la recta directriu $r$ donada per les equacions paramètriques:

1. a) Expressa el producte mixt $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]$ en funció del paràmetre $t$ i descriu geomètricament quin lloc geomètric formarien tots els punts $D$ de l'espai que proporcionen aquest volum si no tinguessin la restricció de pertànyer a la recta $r$.
2. b) Troba les coordenades exactes de tots els possibles punts $D$ sobre la recta $r$ que satisfan el volum sol·licitat.

En una estació d'esquí de Sierra Nevada (Granada), els tècnics del servei de meteorologia instal·len una coberta tensada de lona per protegir l'instrumental de les ventades. L'estructura té forma de tetraedre irregular els quatre vèrtexs del qual se situen en l'ancoratge a terra $O(0, 0, 0)$ i en els extrems de tres pals a $A(2, 1, 0)$, $B(0, 3, 1)$ i $C(1, 1, 3)$ (mesures en metres).

1. a) Modela l'estructura mitjançant vectors i calcula la capacitat d'aire útil (volum interior) que queda protegida sota la carpa utilitzant el producte mixt.
2. b) Per evitar que la neu acumulada bloquegi els sensors, els tècnics decideixen substituir el pal $C$ per un altre de vertical $C'(1, 1, z_0)$ alineat sobre la mateixa vertical, amb l'objectiu d'augmentar el volum protegit exactament en un $50\,\%$ respecte al disseny inicial. Determina la cota $z_0$ necessària i interpreta físicament si existeix alguna solució vàlida que situï l'ancoratge $C'$ a menor alçària que l'original ($z_0 < 3$).

La trajectòria d'un raig làser en una sala d'espectacles ve dada per la intersecció dels plans $\pi_1: x + y - z = 3$ i $\pi_2: 2x - y + z = 0$.

1. a) Expressa l'equació de la trajectòria del làser en forma contínua.
2. b) Un sensor de seguretat està situat en el punt $S(1, 2, 0)$. Determina si el raig làser passarà exactament per la posició del sensor.

En el disseny d'una estructura arquitectònica, una biga metàl·lica segueix la direcció de la recta $r$ que passa pel punt $A(1, 0, -1)$ i és paral·lela a la recta $s: \begin{cases} 3x - y + z = 0 \\ x + y = 2 \end{cases}$.

Obtén l'equació de la recta $r$ en forma implícita (com a intersecció de dos plans) i calcula un punt d'aquesta la coordenada $z$ del qual sigui igual a $5$.

Dada la recta $r: \frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{2}$, es demana:

1. a) Trobar l'equació d'una recta $s$ que passi per l'origen de coordenades i sigui paral·lela a $r$.
2. b) Determinar la distància que separa el punt $Q(1, 1, 1)$ de la recta $s$ mitjançant l'ús d'un punt genèric d'aquesta.

Es considera un triangle a l'espai els vèrtexs del qual són $A(1, 1, 0)$, $B(0, 2, 1)$ i $C(2, 0, 1)$.

1. a) Troba l'equació de la recta que conté la mitjana que parteix del vèrtex $A$.
2. b) Obtén un punt $D$ sobre aquesta recta tal que el vector $\vec{AD}$ tingui mòdul $\sqrt{6}$.

Es considera el tetraedre de vèrtexs $A(1, 0, 1)$, $B(k, 1, 1)$, $C(1, k, 0)$ i $D(1, 1, k)$.

1. a) Determina els valors del paràmetre real $k$ per als quals el volum del tetraedre és de $2$ unitats cúbiques.
2. b) Per a $k = 2$, troba l'altura del tetraedre que parteix del vèrtex $D$ sobre la cara formada pels vèrtexs $A$, $B$ i $C$.

Un equip d'enginyers està dissenyant una peça de suport per a un satèl·lit amb forma de paral·lelepíped. La base està definida pels vectors $\vec{u} = (2, -1, 0)$ i $\vec{v} = (1, 2, 1)$. El tercer vector que defineix la peça és $\vec{w} = (k, 1, k+1)$.

1. a) Si es sap que la projecció del vector $\vec{w}$ sobre el producte vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ té una longitud de $3$ unitats, determina el valor de $k$.
2. b) Raona si existeix algun valor de $k$ que faci que la peça sigui plana (volum nul).

Demostra vectorialment, utilitzant les propietats del producte mixt, que per a tres vectors qualssevol $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in \mathbb{R}^3$, es compleix que:

Interpreta el resultat geomètricament comparant el volum d'un paral·lelepíped original amb el format per les sumes dels seus vectors directors.

Es tenen quatre punts en l'espai: $P(1, 1, 1)$, $Q(2, 3, a)$, $R(k, 1, 2)$ i $S(0, 0, 3)$.

1. a) Determina la relació que han de complir $a$ i $k$ perquè els quatre punts siguin coplanaris.
2. b) Si fixem $k = 2$, quant ha de valer $a$ perquè el volum del tetraedre $PQRS$ sigui mínim? Justifica la teva resposta basant-te en la dependència lineal dels vectors.

En una estructura arquitectònica moderna, una columna segueix la direcció de la perpendicular comuna a les rectes $r$ i $s$. La recta $r$ passa per l'origen i té direcció $\vec{d_r} = (1, 0, 1)$. La recta $s$ passa per $P(0, 1, 0)$ i té direcció $\vec{d_s} = (0, 1, 1)$.

Calcula el volum del paral·lelepíped definit pels vectors directors $\vec{d_r}$, $\vec{d_s}$ i un tercer vector $\vec{v}$ que uneixi un punt qualsevol de $r$ amb un punt qualsevol de $s$. Depèn aquest volum dels punts triats a les rectes?

Sigui $\vec{u}$ un vector unitari i $\vec{v}, \vec{w}$ dos vectors tals que l'àrea del paral·lelogram que formen és igual a $10$. Si es sap que el producte mixt $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 5$, calcula l'angle que forma el vector $\vec{u}$ amb el pla que conté els vectors $\vec{v}$ i $\vec{w}$.

Siguin $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$ tres vectors linealment independents de l'espai tals que el seu producte mixt és $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 5$. Es construeixen tres nous vectors mitjançant combinacions lineals: $\vec{a} = 2\vec{u} - \vec{v}$, $\vec{b} = \vec{u} + \vec{w}$ i $\vec{c} = 3\vec{v} - 2\vec{w}$. Per calcular el producte mixt $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$, dos estudiants plantegen camins diferents:

• Estratègia 1 (Base fictícia): Assignar components numèriques còmodes als vectors originals com si formessin un triedre ortogonal canònic modificat, per exemple $\vec{u} = (1, 0, 0)$, $\vec{v} = (0, 1, 0)$ i $\vec{w} = (0, 0, 5)$, calcular les coordenades resultants de $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ i avaluar el seu determinant $3 \times 3$.

• Estratègia 2 (Àlgebra de determinants): Expressar la matriu de pas $M$ tal que $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \cdot M$ i utilitzar les propietats operacionals del determinant d'un producte de matrius: $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \det(M) \cdot [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$.

1. a) Analitza amb rigor la validesa matemàtica de l'Estratègia 1: per què funciona numèricament en el càlcul del producte mixt tot i assumir injustificadament que els vectors són perpendiculars? Què passaria si s'utilitzés aquesta mateixa base fictícia per calcular el mòdul de $\vec{a}$ o l'angle entre $\vec{a}$ i $\vec{b}$?
2. b) Aplica l'Estratègia 2 per determinar el valor exacte de $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$ deduint detalladament el determinant de la matriu de coeficients.
3. c) Justifica raonadament quina de les dues estratègies demostra competència matemàtica formal a 2n de Batxillerat.

En el projecte d'estabilització d'un talús per al traçat d'una via ferroviària a Astúries, es planifica un sistema de tres tirants d'ancoratge d'acer que parteixen d'un mateix punt de fonamentació $O(0, 0, 0)$ al vessant i es fixen en els punts $A(2, 0, 1)$, $B(1, 3, 2)$ i un tercer punt $C$ (coordenades en metres).

Les especificacions geotècniques exigeixen el compliment de tres condicions:

1. El punt $C$ s'ha de recolzar sobre la biga de coronament del mur, la directriu de la qual és la recta $r: \frac{x - 4}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 1}{1}$.

2. Els tres tirants no poden ser coplanaris, ja que un volum nul implicaria la pèrdua d'estabilitat tridimensional enfront d'empenyiments laterals.

3. El tetraedre virtual delimitat pels tirants $OABC$ ha de tenir un volum d'exactament $3\text{ m}^3$ per deixar prou espai a les canalitzacions de drenatge.

1. a) Modela la condició de coplanaritat mitjançant el producte mixt en funció del paràmetre de la recta $r$ i determina si existeix algun punt crític en aquesta recta on l'estructura col·lapsaria per coplanaritat.
2. b) Troba les coordenades de tots els possibles punts de fixació $C$ situats a la recta $r$ que satisfan el volum de drenatge requerit de $3\text{ m}^3$.
3. c) Si la normativa tècnica imposa que la cota d'ancoratge d'aquest tirant ha d'estar obligatòriament a una alçària $z \ge 3\text{ m}$ sobre el pla base per evitar inundacions, raona quina de les solucions trobades és l'única viable.

Repte del tema. Optimització solar de la teva teulada.

Imagina que vols instal·lar un panell solar al teu edifici. Dissenya una proposta tècnica seguint aquestes fases:

1. Obtenció de dades: Entra a Google Earth o a la seu electrònica del Cadastre i obtén les coordenades $(x, y, z)$ en metres de tres vèrtexs de la teva teulada ($A$, $B$ i $C$). Defineix els vectors directors $\vec{u} = \vec{AB}$ i $\vec{v} = \vec{AC}$.

2. Vector normal i base: A GeoGebra 3D, calcula el vector normal $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ per determinar l'orientació i l'àrea de la superfície. Consulta al web d'AEMET la inclinació solar a la teva localitat per definir un vector unitari de rajos solars $\vec{s}$, i justifica analíticament si $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{s}\}$ formen una base de $\mathbb{R}^3$.

3. Anàlisi mètrica: Calcula l'angle d'incidència solar mitjançant el producte escalar entre $\vec{n}$ i $\vec{s}$. Utilitza el producte mixt $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{s}]$ per calcular el volum del prisma de radiació interceptat.

4. Informe final: Elabora un informe breu amb les captures del model a GeoGebra, els càlculs algebraics desenvolupats pas a pas i la teva valoració sobre si l'orientació actual aprofita bé la llum.

Es valorarà:

• Rigor en l'obtenció de dades reals i la seva modelització vectorial tridimensional.

• Aplicació correcta i justificada d'independència lineal, bases, producte escalar, vectorial i mixt.

• Interpretació geomètrica coherent dels resultats en el context plantejat.