Ecuación de un plano en el espacio

Determina la ecuación del plano $\pi$ que contiene a la recta $r$ dada por:

y es paralelo a la recta $s$, que pasa por los puntos $P(0, 2, 1)$ y $Q(1, 2, 4)$. Justifica por qué el vector director de $s$ no puede ser proporcional al de $r$ para que el plano esté unívocamente determinado.

Halla el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que los puntos $A(1, 0, 1)$, $B(0, 2, 1)$, $C(2, 1, 0)$ y $D(k, k, 2)$ sean coplanarios. Una vez hallado $k$, escribe la ecuación del plano que los contiene en forma paramétrica.

Un ingeniero está diseñando la base de una pieza mediante un programa de CAD. La base debe ser un plano que pase por el punto $P(2, -1, 3)$ y cuyo vector normal sea $\vec{n} = (3, 2, -4)$. Calcula la ecuación general del plano que define dicha base.

Se desea instalar un foco de luz cuya trayectoria sea perpendicular a una placa metálica. Si la trayectoria del rayo de luz viene dada por la recta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z}{4}$, halla la ecuación del plano que contiene a la placa metálica sabiendo que pasa por el punto $M(0, 4, -2)$.

En un escenario de realidad virtual, tres sensores están situados en los puntos $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$ y $C(0, 0, 3)$. Determina la ecuación general del plano que contiene a estos tres sensores.

Un arquitecto está diseñando una cubierta plana para un pequeño pabellón. La cubierta debe apoyarse sobre tres pilares cuyos extremos superiores están situados en los puntos $A(2, 0, 3)$, $B(0, 4, 3)$ y $C(1, 1, 5)$, donde las unidades están en metros.

1. a) Obtén la ecuación general o implícita del plano que contiene a la cubierta.
2. b) Calcula los puntos de corte de dicho plano con los ejes de coordenadas para determinar dónde se situarían los anclajes si la cubierta se extendiera hasta tocar los muros principales (ejes).

Un arquitecto utiliza la "ecuación segmentaria" para definir un techo inclinado que corta a los ejes de coordenadas en los puntos $(4, 0, 0)$, $(0, 3, 0)$ y $(0, 0, 2)$. Escribe directamente su ecuación y transfórmala a la forma general $Ax + By + Cz + D = 0$.

Un plano $\pi$ corta a los ejes de coordenadas en los puntos $X(a, 0, 0)$, $Y(0, b, 0)$ y $Z(0, 0, c)$. Se sabe que el plano pasa por el punto $P(1, 2, 2)$ y que las distancias al origen desde los puntos de corte son iguales ($a = b = c$).

1. a) Escribe la ecuación general del plano.
2. b) Calcula el volumen del tetraedro formado por el origen de coordenadas y los tres puntos de corte con los ejes.

Se considera el haz de planos cuya arista es la recta de intersección de los planos $\pi_1 \equiv 2x - y + z - 3 = 0$ y $\pi_2 \equiv x + y - 2z + 1 = 0$. Halla el plano perteneciente a dicho haz que pasa por el punto medio del segmento de extremos $A(1, 2, -1)$ y $B(3, 0, 5)$.