Exercicis: Equació d'un pla a l'espai

Un enginyer està dissenyant la base d'una peça mitjançant un programa de CAD. La base ha de ser un pla que passi pel punt $P(2, -1, 3)$ i el vector normal del qual sigui $\vec{n} = (3, 2, -4)$. Calcula l'equació general del pla que defineix aquesta base.

La superfície d'un panell solar en un satèl·lit es pot representar mitjançant les equacions paramètriques següents:

$\begin{cases} x = 1 + \lambda + 2\mu \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3\mu \end{cases}$

Obtén l'equació general o implícita d'aquest pla.

En un escenari de realitat virtual, tres sensors estan situats en els punts $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$ i $C(0, 0, 3)$. Determina l'equació general del pla que conté aquests tres sensors.

Donada l'equació del pla que representa una de les parets d'una habitació, $\pi \equiv 2x - 3y + z - 6 = 0$, indica raonadament si els punts següents pertanyen a aquesta paret:

1. a) $Q(3, 0, 0)$
2. b) $R(1, 1, 1)$

Troba l'equació del pla que passa pel punt $A(5, -2, 4)$ i és paral·lel al pla d'equació $\pi \equiv 3x - y + 2z + 8 = 0$. Recorda que dos plans paral·lels comparteixen el mateix vector normal.

Un arquitecte utilitza l'«equació segmentària» per definir un sostre inclinat que talli els eixos de coordenades en els punts $(4, 0, 0)$, $(0, 3, 0)$ i $(0, 0, 2)$. Escriu directament la seva equació i transforma-la a la forma general $Ax + By + Cz + D = 0$.

Es vol instal·lar un foc de llum la trajectòria del qual sigui perpendicular a una placa metàl·lica. Si la trajectòria del raig de llum ve donada per la recta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z}{4}$, troba l'equació del pla que conté la placa metàl·lica sabent que passa pel punt $M(0, 4, -2)$.

Determina l'equació del pla que conté la recta $r \equiv \begin{cases} x = 2 - t \\ y = t \\ z = 1 + 2t \end{cases}$ i que a més passa pel punt exterior $P(1, 1, 1)$.

Un arquitecte està dissenyant una coberta plana per a un petit pavelló. La coberta s'ha de recolzar sobre tres pilars els extrems superiors dels quals estan situats en els punts $A(2, 0, 3)$, $B(0, 4, 3)$ i $C(1, 1, 5)$, on les unitats estan en metres.

1. a) Obtén l'equació general o implícita del pla que conté la coberta.
2. b) Calcula els punts de tall d'aquest pla amb els eixos de coordenades per determinar on se situarien els ancoratges si la coberta s'estengués fins a tocar els murs principals (eixos).

Determina l'equació del pla $\pi$ que conté la recta $r$ donada per:

i és paral·lel a la recta $s$, que passa pels punts $P(0, 2, 1)$ i $Q(1, 2, 4)$. Justifica per què el vector director de $s$ no pot ser proporcional al de $r$ perquè el pla estigui unívocament determinat.

Es considera el feix de plans l'aresta del qual és la recta d'intersecció dels plans $\pi_1 \equiv 2x - y + z - 3 = 0$ i $\pi_2 \equiv x + y - 2z + 1 = 0$. Troba el pla pertanyent a aquest feix que passa pel punt mitjà del segment d'extrems $A(1, 2, -1)$ i $B(3, 0, 5)$.

Un pla $\pi$ talla els eixos de coordenades en els punts $X(a, 0, 0)$, $Y(0, b, 0)$ i $Z(0, 0, c)$. Es sap que el pla passa pel punt $P(1, 2, 2)$ i que les distàncies a l'origen des dels punts de tall són iguals ($a = b = c$).

1. a) Escriu l'equació general del pla.
2. b) Calcula el volum del tetraedre format per l'origen de coordenades i els tres punts de tall amb els eixos.

Troba el valor del paràmetre $k \in \mathbb{R}$ perquè els punts $A(1, 0, 1)$, $B(0, 2, 1)$, $C(2, 1, 0)$ i $D(k, k, 2)$ siguin coplanaris. Una vegada trobat $k$, escriu l'equació del pla que els conté en forma paramètrica.

En una missió de rescat, un dron es desplaça seguint una trajectòria rectilínia donada per la recta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z+2}{-1}$. El dron ha d'emetre un senyal de radiofreqüència que només és efectiu si xoca perpendicularment contra una pantalla plana de seguretat.

1. a) Determina l'equació del pla que representa aquesta pantalla si ha de passar pel punt $P(2, 2, 2)$ i ser perpendicular a la trajectòria del dron.
2. b) Calcula el punt exacte on la trajectòria del dron impactaria contra la pantalla.

Donats els plans $\pi_1 \equiv (a-2)x + 2y + z = 0$ i $\pi_2 \equiv 4x + ay + 2z = b$:

1. a) Calcula els valors de $a$ i $b$ perquè els plans siguin coincidents.
2. b) Calcula els valors de $a$ i $b$ perquè els plans siguin paral·lels però no coincidents.
3. c) Quina relació hi ha d'haver entre $a$ i $b$ perquè l'origen de coordenades pertanyi a la intersecció d'ambdós plans?

Troba l'equació del pla que conté les rectes següents, verificant primer que es tallen en un punt:

Si un tercer raig làser segueix la direcció del vector normal a aquest pla i surt del punt d'intersecció de $r$ i $s$, quina seria la seva equació vectorial?

Un arquitecte està dissenyant la coberta d'un pavelló esportiu. L'estructura principal està definida per dues bigues metàl·liques que se situen sobre les rectes:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3\lambda \end{cases}$ i $s: \frac{x-2}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{-1}$

Determina l'equació general del pla $\pi$ que és paral·lel a totes dues bigues i que es troba a una distància de $\sqrt{14}$ unitats de l'origen de coordenades. Existeix una única solució? Raona la teva resposta.

Es considera el feix de plans l'aresta del qual és la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z}{3}$. Calcula l'equació del pla $\pi$ pertanyent a aquest feix que compleix les dues condicions següents simultàniament:

1. És perpendicular al pla $\sigma: x - 2y + z - 5 = 0$.

2. El punt $P(0, a, 1)$ pertany al pla $\pi$ per a algun valor real de $a$.

Determina el valor de $a$ i l'equació general de $\pi$.

Un raig làser parteix del punt $A(1, 2, -2)$ i segueix la direcció del vector $\vec{u} = (1, -1, 1)$ fins a impactar en un mirall pla que conté la recta $s: \begin{cases} x - y + z = 2 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}$ i el punt $B(0, 0, 4)$.

1. a) Calcula l'equació del pla $\pi$ on es troba el mirall.
2. b) Troba les coordenades del punt d'impacte $P$ del làser sobre el mirall.

Troba l'equació del pla $\pi$ que conté la recta intersecció dels plans $\alpha: 2x - y + 3z = 1$ i $\beta: x + 2y - z = 0$, i que talla els semieixos coordenats positius $OX$, $OY$ i $OZ$ en els punts $P$, $Q$ i $R$ de manera que el volum del tetraedre format per l'origen i aquests punts sigui mínim.

Considerem les rectes secants $r$ i $s$ que defineixen un pla $\alpha$. La recta $r$ passa per $P(1, 0, 1)$ amb direcció $\vec{d_r} = (2, 1, -1)$ i la recta $s$ passa per $Q(1, 0, 1)$ amb direcció $\vec{d_s} = (0, 1, 1)$.

Calcula l'equació d'un pla $\pi$ que sigui paral·lel a $\alpha$ i tal que l'esfera de centre $C(3, 2, 1)$ i radi $R=2$ sigui tangent a aquest pla $\pi$. Obtén les dues possibles solucions.

Donats els punts $A(1, 1, 1)$, $B(3, 0, 2)$ i $C(4, k, 0)$, estudia la posició relativa dels plans $\pi_1$, $\pi_2$ i $\pi_3$ en funció del paràmetre real $k$, sabent que:

• $\pi_1$ és el pla que passa per $A$, $B$ i l'origen.

• $\pi_2$ és el pla que conté $C$ i és perpendicular a la recta que uneix $A$ i $B$.

• $\pi_3$ és el pla d'equació $x + y + z = k + 2$.

Un dron es desplaça de forma rectilínia seguint la trajectòria de la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-1}{2}$. Es vol instal·lar una pantalla de protecció plana $\pi$ que contingui la recta $s: \begin{cases} x = t \\ y = 2 \\ z = 1-t \end{cases}$.

Troba l'equació del pla $\pi$ de manera que sigui paral·lel a la trajectòria del dron. Calcula la distància mínima a la qual passarà el dron d'aquesta pantalla.

Sigui $P(1, 2, -1)$ un punt de l'espai i $r$ la recta intersecció dels plans $x - y = 0$ i $z = 2$.

1. a) Troba l'equació del pla $\pi_1$ que conté $r$ i passa per $P$.
2. b) Troba l'equació del pla $\pi_2$ que conté $r$ i és perpendicular a $\pi_1$.
3. c) Calcula l'angle que forma el pla $\pi_2$ amb el pla coordenat $XY$.