Dependencia e independencia. Bases

Dos drones de vigilancia se desplazan por el espacio siguiendo trayectorias rectilíneas definidas por los vectores $\vec{u} = (2, -4, 6)$ y $\vec{v} = (-1, 2, -3)$. Determina si los drones se mueven en direcciones paralelas analizando la dependencia lineal de sus vectores directores.

Un sistema de sensores láser requiere que dos haces de luz sean paralelos. El primer haz sigue la dirección del vector $\vec{d_1} = (3, k, -1)$ y el segundo la del vector $\vec{d_2} = (6, -4, -2)$. Halla el valor del parámetro $k$ para que los vectores sean linealmente dependientes y, por tanto, los haces sean paralelos.

Dados los vectores $\vec{u} = (1, 2, 3)$, $\vec{v} = (2, 0, 1)$ y $\vec{w} = (3, 2, 4)$, demuestra sin realizar cálculos complejos (observando la relación entre sus componentes) que el conjunto $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ es linealmente dependiente.

Comprueba si los vectores $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$, $\vec{e_2} = (1, 1, 0)$ y $\vec{e_3} = (1, 1, 1)$ pueden formar una base de $\mathbb{R}^3$. Para ello, justifica si son linealmente independientes utilizando el determinante de la matriz que forman.

Razona la veracidad o falsedad de la siguiente afirmación: "En el espacio tridimensional $\mathbb{R}^3$, cualquier conjunto formado por cuatro vectores no nulos es siempre linealmente dependiente". Pon un ejemplo sencillo para apoyar tu respuesta.

En un motor gráfico de un videojuego, la posición de un objeto se define mediante la combinación lineal de dos vectores básicos: $\vec{a} = (1, 0, 2)$ y $\vec{b} = (0, -1, 3)$. Calcula las coordenadas del vector resultante $\vec{w}$ si se aplica la siguiente operación:

Si un vector $\vec{v}$ tiene de coordenadas $(3, -2, 5)$ respecto a la base canónica $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$, exprésalo como una combinación lineal de dichos vectores unitarios.

Considera los puntos del espacio $A(1, 1, 0)$, $B(0, 2, 1)$ y $C(2, 0, m)$.

1. a) Halla el vector $\vec{AB}$ y el vector $\vec{AC}$.
2. b) Determina el valor de $m$ para que el vector $\vec{v} = (3, -3, -3)$ sea linealmente dependiente de $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$.
3. c) Para el valor de $m$ hallado, escribe $\vec{v}$ como combinación lineal de $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$.

Dados los vectores de la base canónica $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$, se definen los vectores:

Justifica si el conjunto $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ es una base de $\mathbb{R}^3$. Si un vector $\vec{x}$ tiene coordenadas $(1, 2, 3)$ en la base canónica, ¿cuáles serán sus coordenadas en la base $B' = \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$?