Exercicis: Dependència i independència. Bases

Dos drons de vigilància es desplacen per l'espai seguint trajectòries rectilínies definides pels vectors $\vec{u} = (2, -4, 6)$ i $\vec{v} = (-1, 2, -3)$. Determina si els drons es mouen en direccions paral·leles analitzant la dependència lineal dels seus vectors directors.

En un motor gràfic d'un videojoc, la posició d'un objecte es defineix mitjançant la combinació lineal de dos vectors bàsics: $\vec{a} = (1, 0, 2)$ i $\vec{b} = (0, -1, 3)$. Calcula les coordenades del vector resultant $\vec{w}$ si s'aplica la següent operació:

Donats els vectors $\vec{u} = (1, 2, 3)$, $\vec{v} = (2, 0, 1)$ i $\vec{w} = (3, 2, 4)$, demostra sense realitzar càlculs complexos (observant la relació entre les seves components) que el conjunt $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ és linealment dependent.

Un sistema de sensors làser requereix que dos feixos de llum siguin paral·lels. El primer feix segueix la direcció del vector $\vec{d_1} = (3, k, -1)$ i el segon la del vector $\vec{d_2} = (6, -4, -2)$. Troba el valor del paràmetre $k$ perquè els vectors siguin linealment dependents i, per tant, els feixos siguin paral·lels.

Comprova si els vectors $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$, $\vec{e_2} = (1, 1, 0)$ i $\vec{e_3} = (1, 1, 1)$ poden formar una base de $\mathbb{R}^3$. Per a fer-ho, justifica si són linealment independents utilitzant el determinant de la matriu que formen.

Es consideren els punts de l'espai $A(1, 2, -1)$, $B(2, 3, 1)$ i $C(3, 4, 3)$.

1. a) Troba els vectors $\vec{AB}$ i $\vec{AC}$.
2. b) A partir de les seves components, decideix si els punts $A, B$ i $C$ estan alineats.

Si un vector $\vec{v}$ té de coordenades $(3, -2, 5)$ respecte a la base canònica $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$, expressa'l com una combinació lineal d'aquests vectors unitaris.

Raona la veracitat o falsedat de la següent afirmació: "En l'espai tridimensional $\mathbb{R}^3$, qualsevol conjunt format per quatre vectors no nuls és sempre linealment dependent". Posa un exemple senzill per donar suport a la teva resposta.

Per comprovar si els vectors $\vec{u} = (1, 2, 0)$, $\vec{v} = (2, 1, 0)$ i $\vec{w} = (3, 3, 0)$ formen una base de $\mathbb{R}^3$, en Marcos escriu el raonament següent al seu examen:

«Comprovo si són proporcionals dos a dos:

• $\vec{u}$ i $\vec{v}$ no són proporcionals perquè $\frac{1}{2} \neq \frac{2}{1}$.

• $\vec{u}$ i $\vec{w}$ no són proporcionals perquè $\frac{1}{3} \neq \frac{2}{3}$.

• $\vec{v}$ i $\vec{w}$ no són proporcionals perquè $\frac{2}{3} \neq \frac{1}{3}$.

Com que cap parell de vectors té la mateixa direcció, els tres vectors són linealment independents i, per tant, constitueixen una base de $\mathbb{R}^3$».

1. a) Localitza i explica detalladament l'error conceptual que comet en Marcos.
2. b) Explica, sense fer càlculs algebraics i fixant-te únicament en la tercera component dels vectors, per què era evident des del principi que no podien formar una base de l'espai tridimensional.
3. c) Aplica el càlcul del determinant $\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ mitjançant la regla de Sarrus per donar la justificació analítica formal que desmenteix la conclusió d'en Marcos.

Dissenya tres vectors de l'espai tridimensional, $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$, que compleixin alhora les tres condicions següents:

1. Cap dels tres vectors té components nul·les (cap component pot ser $0$).

2. Cap parell de vectors és proporcional entre si (és a dir, no hi ha dos vectors amb la mateixa direcció).

3. El conjunt $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ és linealment dependent.

Per aconseguir-ho:

1. a) Explica l'estratègia que has seguit per construir-los a partir de la definició de combinació lineal.
2. b) Escriu les components numèriques dels teus tres vectors.
3. c) Comprova formalment que són dependents calculant el determinant format per les seves components i verificant que el seu valor és exactament $0$.

Donats els vectors $\vec{u} = (1, 2, -1)$ i $\vec{v} = (0, 1, 2)$, determina el valor del paràmetre real $k$ perquè el vector $\vec{w} = (2, k, 0)$ sigui combinació lineal de $\vec{u}$ i $\vec{v}$. Quina relació geomètrica mantenen els tres vectors per a aquest valor de $k$?

Estudia la dependència o independència lineal del conjunt de vectors $S = \{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ segons els valors del paràmetre $m \in \mathbb{R}$, on $\vec{a} = (m, 1, 1)$, $\vec{b} = (1, m, 1)$ i $\vec{c} = (1, 1, m)$.

Demostra raonadament que si els vectors $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ són linealment independents, aleshores els vectors $\{\vec{u} + \vec{v}, \vec{v} + \vec{w}, \vec{w} + \vec{u}\}$ també són linealment independents i, per tant, formen una base de $\mathbb{R}^3$.

Un dron de vigilància es desplaça seguint trajectòries rectilínies definides per vectors. Si els vectors de direcció de tres drons són $\vec{d_1} = (1, 3, a)$, $\vec{d_2} = (4, 1, 2)$ i $\vec{d_3} = (a, -1, 0)$, calcula els valors de $a$ per als quals les trajectòries dels tres drons estarien contingudes en plans paral·lels entre si (és a dir, els vectors són coplanaris).

Considera els punts de l'espai $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 1)$ i $C(2, 0, m)$.

1. a) Troba el vector $\vec{AB}$ i el vector $\vec{AC}$.
2. b) Determina el valor de $m$ perquè el vector $\vec{v} = (3, -3, -3)$ sigui linealment dependent de $\vec{AB}$ i $\vec{AC}$.
3. c) Per al valor de $m$ trobat, escriu $\vec{v}$ com a combinació lineal de $\vec{AB}$ i $\vec{AC}$.

Donats els vectors de la base canònica $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$, es defineixen els vectors:

Justifica si el conjunt $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ és una base de $\mathbb{R}^3$. Si un vector $\vec{x}$ té coordenades $(1, 2, 3)$ en la base canònica, quines seran les seves coordenades en la base $B' = \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$?

Determina si els punts $P(1, 2, -1)$, $Q(3, 1, 1)$, $R(0, 5, -2)$ i $S(k, 0, 4)$ són coplanaris en funció del valor de $k$. Per a realitzar aquesta anàlisi, utilitza la dependència lineal dels vectors com origen a $P$ i extrems en els altres punts.

Es consideren els vectors $\vec{u} = (1, -1, 2)$, $\vec{v} = (2, 0, 3)$ i $\vec{w} = (0, 2, -1)$. Es vol esbrinar si $\vec{w}$ és coplanari amb $\vec{u}$ i $\vec{v}$. Dos companys de classe plantegen resoldre-ho per vies diferents:

• Mètode d'en Mateo: Calcular directament el determinant $\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ mitjançant la regla de Sarrus.

• Mètode de l'Elena: Plantejar la igualtat vectorial $\vec{w} = a\cdot\vec{u} + b\cdot\vec{v}$ com un sistema de tres equacions amb dues incògnites ($a$ i $b$), resoldre'l amb dues d'elles i comprovar si se satisfà la tercera.

1. a) Aplica el mètode d'en Mateo per determinar si $\vec{w}$ és coplanari amb $\vec{u}$ i $\vec{v}$.
2. b) Aplica el mètode de l'Elena per trobar, si existeixen, els escalars $a$ i $b$ que expressen $\vec{w}$ com a combinació lineal d'$\vec{u}$ i $\vec{v}$.
3. c) Compara tots dos procediments: si en una prova només et pregunten «són coplanaris aquests tres vectors?», quin triaries i per què? En què canviaria la teva elecció si et demanessin a més «expressa el vector $\vec{w}$ en funció d'$\vec{u}$ i $\vec{v}$»?

Una unitat de drons de reconeixement del dispositiu BRIF (Brigades de Reforç en Incendis Forestals) a la Sierra de Gredos utilitza tres vectors de desplaçament elemental calibrats en els seus motors (mesurats en quilòmetres sobre els eixos Est, Nord i Altitud):

$\vec{d}_1 = (2, 1, 0,5)$, $\vec{d}_2 = (1, 3, 1)$ i $\vec{d}_3 = (4, -1, k)$, on $k$ és un paràmetre de resposta vertical ajustable per programari.

1. a) Perquè el dron pugui maniobrar cap a qualsevol punt de l'espai tridimensional, els seus tres moviments elementals han de formar una base de $\mathbb{R}^3$. Determina el valor crític de $k$ per al qual els moviments quedarien confinats en un únic pla (és a dir, serien linealment dependents), impedint el control total del dron.
2. b) Si els tècnics configuren $k = 1\text{ km}$, justifica raonadament per què els tres vectors formen una base $B = \{\vec{d}_1, \vec{d}_2, \vec{d}_3\}$.
3. c) Per assolir un focus d'incendi situat en la posició relativa $\vec{p} = (7, 3, 2,5)\text{ km}$, calcula quantes unitats de cada moviment elemental $(a, b, c)$ ha de programar el pilot; és a dir, calcula les coordenades de $\vec{p}$ en la base $B$.

Un equip d'enginyers està dissenyant el sistema de navegació d'un satèl·lit. Perquè el satèl·lit pugui orientar-se en qualsevol direcció de l'espai tridimensional, necessita tres propulsors les direccions d'empenta dels quals siguin linealment independents. S'han instal·lat tres propulsors definits pels vectors $\vec{u} = (1, m, 1)$, $\vec{v} = (m, 1, 1)$ i $\vec{w} = (1, 1, m)$.

Determina raonadament per a quins valors del paràmetre real $m$ el sistema de propulsió no seria capaç de maniobrar en tot l'espai (és a dir, quan els vectors són linealment dependents). En el cas que $m=1$, explica geomètriament què passa amb les direccions d'empenta i si formen una base de $\mathbb{R}^3$.

Donats els vectors de l'espai $\vec{a} = (1, 2, -1)$, $\vec{b} = (0, 1, 2)$ i $\vec{c} = (k, 1, -3)$, es demana:

1. a) Trobar el valor de $k$ perquè el vector $\vec{v} = (3, 4, -7)$ es pugui expressar com a combinació lineal d'$\,\vec{a}$, $\vec{b}$ i $\vec{c}$ de manera que els tres vectors siguin linealment dependents.

1. b) Si $k = 2$, formen una base de $\mathbb{R}^3$? En cas afirmatiu, calcula les coordenades del vector $\vec{w} = (1, 1, 1)$ respecte a aquesta base $B = \{ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \}$.

En el desenvolupament d'un videojoc de món obert, la posició d'un personatge es defineix mitjançant una base no estàndard $B' = \{ \vec{u_1}, \vec{u_2}, \vec{u_3} \}$. Sabem que aquests vectors es relacionen amb la base canònica $B = \{ \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \}$ de la manera següent:

$\vec{u_1} = \vec{i} + \vec{j}$

$\vec{u_2} = \vec{j} + \vec{k}$

$\vec{u_3} = \vec{i} + \vec{k}$

1. a) Demostra que $B'$ és una base de $\mathbb{R}^3$.

1. b) Si un objecte del joc té coordenades $(2, -4, 6)$ en la base canònica, determina les seves coordenades en la base $B'$.

Estudia la dependència o independència lineal dels vectors següents segons els valors dels paràmetres $a$ i $b$:

$\vec{u} = (a, 1, 0)$

$\vec{v} = (1, a, 1)$

$\vec{w} = (0, 1, b)$

Determina per a quina relació entre $a$ i $b$ els vectors són coplanaris. Existeix algun valor de $a$ per al qual els vectors siguin linealment dependents independentment del valor de $b$? Justifica la teva resposta.

Sigui $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ una base de $\mathbb{R}^3$. Es consideren els vectors:

$\vec{x} = \vec{u} + \vec{v}$

$\vec{y} = \vec{v} + \vec{w}$

$\vec{z} = \vec{w} + \lambda\vec{u}$

1. a) Per a quins valors de $\lambda$ el conjunt $\{\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}\}$ no constitueix una base de $\mathbb{R}^3$?

1. b) Per a $\lambda = 0$, expressa el vector $\vec{w}$ com a combinació lineal de $\vec{x}$, $\vec{y}$ i $\vec{u}$.

Un arquitecte dissenya una estructura tensada mitjançant tres cables que convergeixen en un punt d'ancoratge $P$. Les direccions dels cables venen dades pels vectors $\vec{v_1} = (1, 1, a)$, $\vec{v_2} = (a, 0, 1)$ i $\vec{v_3} = (2, 1, 1)$.

1. a) Si l'ancoratge ha de ser estable, els cables no poden estar tots en el mateix pla. Troba els valors de $a$ que farien que l'estructura col·lapsés per ser els vectors linealment dependents.

1. b) Per a $a = 2$, s'aplica una força total de $\vec{F} = (5, 2, 4)$ en el punt $P$. Determina si aquesta força es pot descompondre de manera única com a suma de tensions en les direccions dels cables i, en cas afirmatiu, troba aquesta descomposició.

Considera els punts $A(1, 0, 1)$, $B(0, 2, 1)$ i $C(2, 1, 0)$.

1. a) Troba un punt $D$ de manera que el vector $\vec{AD}$ sigui linealment dependent del vector $\vec{BC}$ i tingui mòdul 6. És única la solució?

1. b) Determina si el punt $E(5, -1, 4)$ pertany al pla definit pels vectors $\vec{AB}$ i $\vec{AC}$. Justifica la teva resposta utilitzant el concepte de dependència lineal i base.

Demostra que si tres vectors $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ són linealment independents, aleshores els vectors $\vec{u} - \vec{v}$, $\vec{v} - \vec{w}$ i $\vec{w} - \vec{u}$ són sempre linealment dependents.

Dona una interpretació geomètrica d'aquest resultat considerant els vectors com els costats d'una figura tancada en l'espai.

Considera la base $B = \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ de $\mathbb{R}^3$ formada pels vectors $\vec{u} = (10, 0, 0)$, $\vec{v} = (1, 10, 0)$ i $\vec{w} = (1, 1, 10)$, i el vector objectiu $\vec{x} = (12, 21, 30)$. Es busquen les coordenades $(a, b, c)_B$ tals que $\vec{x} = a\cdot\vec{u} + b\cdot\vec{v} + c\cdot\vec{w}$.

1. a) Estima: Abans de resoldre cap sistema numèric, analitza l'estructura dels vectors de la base (observa la posició dels zeros i els valors dominants $10$):

• Quin vector de la base és l'únic capaç d'aportar cota a la tercera component ($z$)? Estima el valor exacte que ha de tenir $c$.

• Sabent que aquest valor de $c$ ja aporta una quantitat fixa a la segona component ($y$), al voltant de quin valor s'ha de situar la coordenada $b$? Serà més gran o més petita que $2,1$?

• Raonant de manera anàloga amb la primera component ($x$), estima si la coordenada $a$ resultarà més gran o més petita que $1$.

1. b) Calcula: Planteja el sistema lineal corresponent a $\vec{x} = a\cdot\vec{u} + b\cdot\vec{v} + c\cdot\vec{w}$ i calcula amb exactitud els valors d'$a$, $b$ i $c$.
2. c) Valora: Compara les teves estimacions qualitatives amb els resultats exactes i explica per què la disposició triangular d'aquesta base provoca un «efecte cascada» que corregeix successivament cada coordenada de baix cap a dalt.

Es considera el conjunt de vectors de $\mathbb{R}^3$ format per $\vec{u} = (1, 1, 0)$, $\vec{v} = (1, 0, 1)$ i $\vec{w} = (0, 1, 1)$.

1. a) Demostra que $B = \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ és una base de $\mathbb{R}^3$ calculant el volum del paral·lelepípede que determinen a partir del seu producte mixt o determinant.
2. b) Un estudiant afirma amb rotunditat: «Atès que $B$ no és la base canònica, és impossible que un vector no nul tingui exactament les mateixes components en la base canònica que coordenades en la base $B$». Per comprovar si té raó, planteja l'equació vectorial que tradueix aquesta condició:

Transforma aquesta igualtat en un sistema lineal homogeni, resol-lo raonadament i conclou si l'afirmació de l'estudiant és vertadera o falsa.

1. c) Interpreta geomètricament el conjunt de vectors que compleixen la condició anterior, indicant quina figura formen a l'espai i quina relació tenen amb els vectors de la base $B$.