Exercicis: Sistemes amb paràmetres

En una plataforma de streaming, el preu de tres tipus de subscripcions (Bàsica, Estàndard i Premium) varia segons una promoció mensual representada pel paràmetre $k$. El sistema d'equacions que relaciona el nombre d'usuaris de cada tipus amb els ingressos totals és:

$$\begin{cases} x + y + z = 10 \\ x + ky + z = 12 \\ x + y + kz = 14 \end{cases}$$

Discuteix la compatibilitat del sistema segons els valors del paràmetre real $k$.

Determina per a quin valor del paràmetre $a$ el sistema d'equacions lineals següent és incompatible:

$$\begin{cases} x + 2y = 3 \\ ax + 4y = 1 \end{cases}$$

Justifica la teva resposta analitzant la proporcionalitat dels coeficients i dels termes independents.

Es considera el sistema d'equacions homogeni següent, on $m$ és un paràmetre real:

$$\begin{cases} mx + y + z = 0 \\ x - my + z = 0 \\ 2x + y + z = 0 \end{cases}$$

1. a) Calcula el determinant de la matriu de coeficients $A$.
2. b) Per a quins valors de $m$ el sistema té solucions diferents de la trivial $(0, 0, 0)$?

Un dissenyador de videojocs està programant les col·lisions de tres projectils, els trajectes dels quals en l'espai venen definits pels plans següents, on $\lambda$ és una variable d'ajust de potència:

$$\pi_1: x + y + z = 2$$ $$\pi_2: 2x + 3y + z = 3$$ $$\pi_3: \lambda x + 10y + 4z = 11$$

Troba el valor de $\lambda$ perquè els tres projectils coincideixin en un únic punt de l'espai (sistema compatible determinat).

Donat el sistema d'equacions amb paràmetre $a \in \mathbb{R}$:

$$\begin{cases} x + ay + z = a \\ x + y + az = 1 \end{cases}$$

Explica raonadament per què aquest sistema mai no pot ser compatible determinat, independentment del valor que prengui $a$.

Considera el sistema:

$$\begin{cases} 2x - y + z = 3 \\ x + y + z = 2 \\ x - 2y = k \end{cases}$$

Troba el valor del paràmetre $k$ perquè el sistema sigui compatible indeterminat. Per a aquest valor de $k$, indica quantes solucions té el sistema.

Es sap que la terna $(x, y, z) = (1, 2, -1)$ és una solució del següent sistema d'equacions dependent del paràmetre $b$:

$$\begin{cases} bx + y + z = 3 \\ x + by - z = 6 \\ x - y + bz = -3 \end{cases}$$

1. a) Substitueix la solució a les equacions per trobar el valor de $b$.
2. b) Amb el valor de $b$ obtingut, discuteix si la solució donada és única.

Discuteix el sistema següent segons els valors del paràmetre $t$:

$$\begin{cases} tx + y = 1 \\ x + ty = t \\ x + y = 1 \end{cases}$$

Ajuda: Analitza què passa quan $t=1$ i quan $t \neq 1$ observant la relació entre les tres equacions.

La Lucía resol a la pissarra la discussió del següent sistema dependent del paràmetre real $m$:

$$\begin{cases} x - 2y + z = 1 \\ 2x + my - z = 2 \\ 3x - y = 3 \end{cases}$$

Després de calcular el determinant de la matriu de coeficients, obté $|A| = m - 1$ i conclou textualment: «Com que per a $m = 1$ el determinant dóna zero, la regla de Cramer no es pot aplicar i, per tant, el sistema és incompatible. En canvi, si $m \ne 1$, com que $|A| \ne 0$, el sistema és compatible determinat».

1. Localitza l'error conceptual en l'afirmació de la Lucía i explica detalladament per què no aplicar la regla de Cramer no implica que un sistema no tingui solució.

2. Discuteix de manera correcta i rigorosa el sistema per a tots els valors reals de $m$ aplicant el teorema de Rouché-Frobenius.

3. Resol el sistema per a $m = 1$ indicant clarament els graus de llibertat de la solució.

Es considera el següent sistema d'equacions lineals dependent del paràmetre real $a$:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x + 4y - 2z = a \\ 3x + y + z = 1 \end{cases}$$

1. Estima: Abans de calcular cap determinant ni aplicar transformacions de Gauss, observa amb atenció els coeficients de les dues primeres equacions. És possible que aquest sistema sigui compatible determinat per a algun valor de $a$? Per a quin valor concret de $a$ estimes que les dues primeres equacions no seran contradictòries entre si?

2. Comprova: Calcula raonadament el rang de la matriu de coeficients $A$ i el rang de la matriu ampliada $A^*$ en funció de $a$. Comprova formalment si la teva predicció era correcta aplicant el teorema de Rouché-Frobenius.

3. Interpreta geomètricament la posició relativa dels tres plans definits per les equacions del sistema en els casos $a = 6$ i $a = 0$.

Es considera el sistema d'equacions següent dependent del paràmetre real $k$:

$\begin{cases} kx + y + z = 1 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k^2 \end{cases}$

1. a) Discute el sistema segons els valors del paràmetre $k$.
2. b) Resol el sistema en el cas que sigui compatible indeterminat.

Donat el sistema d'equacions:

$\begin{cases} x + 2y + z = 3 \\ ax + y - z = 1 \\ 2x + y + az = 2 \end{cases}$

1. a) Determina per a quins valors de $a$ el sistema és compatible determinat.
2. b) Existeix algun valor de $a$ per al qual el sistema representi tres plans que es tallen en una mateixa recta? Justifica la teva resposta utilitzant el concepte de rang.

Una empresa de logística organitza enviaments de tres tipus de contenidors: A, B i C. El cost d'enviament depèn d'un impost variable $m$ aplicat a la gestió. El sistema que relaciona el nombre de contenidors amb el pressupost total és:

$\begin{cases} x + y + z = m \\ x + my + z = 1 \\ mx + y + z = 1 \end{cases}$

Discuteix si és possible que, per a algun valor de $m$, l'empresa no pugui determinar de manera única quants contenidors de cada tipus s'han enviat (és a dir, que el sistema no sigui compatible determinat).

Estudia la compatibilitat del sistema homogeni següent en funció del paràmetre $a$:

$\begin{cases} x + y + az = 0 \\ ax + y + z = 0 \\ 2x + ay + 2z = 0 \end{cases}$

Calcula totes les seves solucions per al valor de $a$ que el fa compatible indeterminat.

Considera els tres plans definits per les equacions següents:

$\pi_1: x - y + z = 2$

$\pi_2: 2x + y - z = 1$

$\pi_3: x + 2y + kz = -1$

1. a) Troba el valor de $k$ perquè els tres plans tinguin infinits punts en comú.
2. b) Per a $k = -2$, determina la posició relativa dels tres plans.

Sigui la matriu de coeficients $A$ i la matriu de termes independents $B$:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

1. a) Per a quins valors de $a$ no existeix la matriu inversa $A^{-1}$?
2. b) Per als valors trobats en l'apartat anterior, discuteix el sistema $A \cdot X = B$.
3. c) Resol el sistema per a $a = 2$ utilitzant la regla de Cramer.

Es sap que el següent sistema té infinites solucions per a un determinat valor de $a$:

$\begin{cases} x + 2y - z = 2 \\ 2x + ay + 2z = 3 \\ x - y + 3z = a \end{cases}$

1. a) Troba aquest valor de $a$.
2. b) Sense realitzar més càlculs, explica raonadament si el sistema podria ser incompatible per a algun altre valor de $a$.

Estudia el sistema d'equacions lineals següent en funció dels paràmetres $a$ i $b$:

$\begin{cases} x + ay + z = 1 \\ 2x + y + bz = a \end{cases}$

1. a) Explica per què el sistema mai no pot ser compatible determinat.
2. b) Si $a = 1$, quina condició ha de complir $b$ perquè el sistema sigui compatible indeterminat?
3. c) Interpreta geomètriament què representen aquestes dues equacions en l'espai.

Una planta de reciclatge a la Comunitat Valenciana processa diàriament tres tipus de residus urbans: Plàstic ($x$), Vidre ($y$) i Paper/Cartó ($z$), mesurats en tones. A causa de la normativa autonòmica sobre emissions, el balanç de processament diari es modelitza mitjançant el següent sistema d'equacions lineals, on $\lambda$ representa un coeficient normatiu d'ajust:

$$\begin{cases} x + y + z = 150 \\ 2x + 3y + z = 260 \\ 3x + 4y + \lambda z = 410 \end{cases}$$

1. Expressa el sistema en forma matricial i discuteix la seva compatibilitat segons els diferents valors del paràmetre normatiu $\lambda \in \mathbb{R}$.

2. Si l'administració fixa el coeficient en $\lambda = 2$, és possible saber amb certesa quantes tones exactes de cada residu es processen al dia? Si en una jornada amb $\lambda = 2$ la bàscula registra exactament $40$ tones de vidre, determina les tones de plàstic i de paper que s'han tractat.

3. Hi ha algun valor de $\lambda$ per al qual les tres condicions normatives siguin incompatibles entre si? Justifica la teva resposta analitzant la combinació lineal de les equacions.

Per discutir el sistema d'equacions dependent del paràmetre real $a$:

$$\begin{cases} x + ay + z = 1 \\ 2x + y - az = 2 \\ x - y + z = 0 \end{cases}$$

dos estudiants plantegen estratègies diferents:

• En Sergio proposa aplicar el mètode de Gauss des del primer pas, triangular la matriu ampliada fent operacions per files amb el paràmetre $a$.

• L'Elena proposa calcular primer el determinant de la matriu de coeficients $|A|$, trobar els valors crítics de $a$, i reservar l'estudi per rangs o triangulació únicament per a aquests valors aïllats.

• Analitza els inconvenients i riscos de càlcul que comporta el camí triat per en Sergio (quines precaucions algebraiques obligatòries exigeix pivotar amb paràmetres en Gauss per no perdre solucions o dividir per zero?).

• Desenvolupa l'estratègia de l'Elena: calcula i factoritza $|A|$, i discuteix la compatibilitat del sistema per a tots els casos possibles mitjançant el teorema de Rouché-Frobenius.

• Justifica quin dels dos mètodes resulta més segur i eficient en aquest cas particular. Per a quin valor de $a$ podries resoldre el sistema per la regla de Cramer amb menys esforç de càlcul?

Es considera el sistema d'equacions lineals següent dependent del paràmetre real $k$:

$\begin{cases} kx + y + z = k^2 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = 1 \end{cases}$

Es demana:

1. Discutir el sistema segons els diferents valors del paràmetre $k$.

2. Resoldre el sistema en els casos en què sigui compatible indeterminat, expressant la solució de forma paramètrica.

3. En el cas que el sistema sigui compatible determinat, existeix algun valor de $k$ per al qual la solució sigui $(x, y, z) = (1, 1, 1)$? Justifica la teva resposta.

Tres plans en l'espai $\mathbb{R}^3$ vénen donats per les equacions següents, on $a$ és un paràmetre real:

$\pi_1: ax + y + z = 1$

$\pi_2: x + ay + z = a$

$\pi_3: x + y + az = a^2$

Analitza la posició relativa dels tres plans en funció dels valors de $a$. En particular, determina per a quins valors de $a$ els plans es tallen en una única recta i per a quins valors no tenen cap punt en comú tots tres simultàniament.

Una empresa de logística d'última milla utilitza tres tipus de vehicles: furgonetes elèctriques ($F$), tricicles de càrrega ($T$) i drons de repartiment ($D$). El consum energètic per quilòmetre, el cost de manteniment i la capacitat de càrrega vénen definits pel següent sistema, on $m$ representa un coeficient d'eficiència energètica variable segons la temperatura exterior:

$\begin{cases} mF + T + D = 10 \\ F + mT + D = m + 9 \\ F + T + mD = 24 - 14m \end{cases}$

1. Discuteix la viabilitat del sistema (compatibilitat) en funció de $m$.

2. Si per a un dia especialment fred ($m=-2$) se sap que el sistema és incompatible, explica què significa això des del punt de vista del problema real.

3. Determina si existeix algun valor de $m$ per al qual sigui possible realitzar el repartiment utilitzant únicament drons ($F=0, T=0$).

Considera el sistema d'equacions lineals dependent de dos paràmetres reals $a$ i $b$:

$\begin{cases} x + ay + z = 2 \\ 2x + 4y + az = b \\ x + y + z = a \end{cases}$

1. Discute el sistema en funció dels paràmetres $a$ i $b$.

2. Per al valor de $a$ que fa que el sistema sigui compatible indeterminat, troba el valor de $b$ necessari i resol el sistema.

3. Existeix algun valor de $a$ per al qual el sistema sigui incompatible independentment del valor de $b$?

Donat el sistema homogeni:

$\begin{cases} ax + y + 3z = 0 \\ x + ay + 2z = 0 \\ x + y + az = 0 \end{cases}$

1. Determina els valors de $a$ per als quals el sistema admet solucions diferents de la trivial.

2. Per al valor més gran de $a$ trobat en l'apartat anterior, obtén la solució general i troba una solució particular tal que la suma de les seves components sigui $10$.

3. Si $a=0$, descriu geomètriament el conjunt de solucions.

Siguin la matriu $A$ i el vector $B$ definits per:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & -m \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ m \end{pmatrix}$

1. Determina els valors de $m$ per als quals la matriu $A$ no té inversa.

2. Per als valors de $m$ en què $A$ és invertible, resol l'equació matricial $AX = B$ utilitzant la regla de Cramer.

3. Per a $m=3$, estudia si el sistema $AX=B$ és compatible o incompatible sense calcular la inversa.

Es vol estudiar la intersecció de quatre plans en l'espai, les equacions dels quals són:

$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ x + 2y - 3z = 8 \\ ax - y - z = 1 \\ x - y + z = -2 \end{cases}$

1. Utilitza el teorema de Rouché-Frobenius per determinar si existeix algun valor de $a$ per al qual els quatre plans coincideixin en un únic punt.

2. En cas afirmatiu, calcula les coordenades d'aquest punt.

3. Si canviem la tercera equació per $ax - y - z = b$, quina relació han de complir $a$ i $b$ perquè el sistema continuï tenint solució?

Sigui el sistema d'equacions amb paràmetres $k$ i $t$:

$\begin{cases} x + y + z = t \\ kx + 2y + z = 0 \\ x + ky + z = 0 \end{cases}$

1. Discute el sistema segons els valors de $k$ i $t$.

2. Per a $k=1$, quina condició ha de complir $t$ perquè el sistema tingui solució? Interpreta el resultat considerant que les equacions representen plans.

3. Per a $k=2$, resol el sistema en funció de $t$ i determina el valor de $t$ per al qual la solució verifica que $x + y = z$.

Es considera el següent sistema de tres equacions amb tres incògnites dependent de dos paràmetres reals $a$ i $b$:

$$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + ay + 2z = 2 \\ 3x + 3y + az = b \end{cases}$$

1. Fes una anàlisi inversa: determina quin valor ha de prendre necessàriament el paràmetre $a$ perquè el sistema sigui compatible indeterminat sigui quin sigui el valor que prengui $b$. Justifica el teu raonament demostrant la dependència lineal de les files de la matriu de coeficients i de la matriu ampliada.

2. Troba la relació exacta entre $a$ i $b$ perquè el sistema sigui incompatible. Hi ha alguna combinació de valors de $a$ i $b$ per a la qual la solució general depengui de dos paràmetres lliures (dos graus de llibertat)? Demostra per què és o no possible a partir del rang màxim de la matriu $A$.

3. Si es fixa $b = 3$, determina per a quin valor de $a$ la terna $(0, 0, 1)$ forma part del conjunt de solucions, i classifica el sistema resultant.

Es considera el sistema de quatre equacions amb tres incògnites dependent del paràmetre real $k$:

$$\begin{cases} x + y = 1 \\ y + z = 2 \\ x + z = k \\ x + 3y + kz = 5 \end{cases}$$

1. Estima: Sense calcular determinants d'ordre 4 ni esglaonar el sistema complet, respon justificant conceptualment:

a) Pot aquest sistema ser compatible indeterminat per a algun valor de $k$? Raona la teva resposta analitzant el rang de la matriu formada únicament per les tres primeres equacions.

b) Tenint en compte que les tres primeres equacions determinen una solució única $(x, y, z)$ en funció lineal de $k$, i que en substituir-la en la quarta equació s'obté una expressió en $k$, quants valors de $k$ com a màxim esperaries que facin compatible el sistema?

1. Comprova:

a) Resol el subsistema format per les tres primeres equacions per trobar $(x, y, z)$ en funció de $k$. Substitueix les expressions obtingudes en la quarta equació i dedueix els valors de $k$ per als quals el sistema complet té solució.

b) Planteja la matriu ampliada $A^*$ de dimensió $4 \times 4$. Calcula raonadament el seu determinant $|A^*|$, factoritza'l i classifica el sistema complet per a tot $k \in \mathbb{R}$ aplicant el teorema de Rouché-Frobenius.

1. Contrasta els resultats de l'apartat 2 amb les teves estimacions de l'apartat 1 i explica quina posició geomètrica ocupen els quatre plans quan $k = 2$.

Repte del tema. Com afecta la regulació fiscal a la transició energètica? Imagina que assessores una consultora energètica i has d'analitzar la viabilitat del mix de generació elèctrica.

1. Obtenció de dades: Entra al web de Red Eléctrica de España (REE, secció Demanda y producción en tiempo real) i recopila la generació en MWh de tres fonts durant una hora punta recent: eòlica ($x$), solar ($y$) i cicle combinat ($z$), a més de la demanda total.

2. Modelització paramètrica: Planteja un sistema $3 \times 3$. La primera equació representarà la cobertura total de la demanda ($x + y + z = D$). La segona modelitzarà la proporció observada entre renovables ($x - 1,5y = 0$). La tercera avaluarà el cost global assignant un paràmetre fiscal $k$ sobre les emissions del gas: $20x + 15y + kz = C$.

3. Anàlisi algebraica: Aplica el teorema de Rouché-Frobenius per classificar el sistema segons els valors de $k$. Resol-lo per la regla de Cramer per al cas compatible determinat i comprova el resultat mitjançant el mètode de Gauss.

4. Simulació i informe: Representa o resol el sistema a GeoGebra o en un full de càlcul assignant un valor real plausible a $k$ (per exemple, $k = 45,5$). Redacta un informe raonat (màxim una pàgina) avaluant si els resultats tenen sentit físic i econòmic.

Es valorarà:

• Rigor en la discussió formal amb Rouché-Frobenius i precisió en la resolució algebraica (Gauss i Cramer).

• Extracció correcta de dades de REE i coherència en la formulació del model.

• Ús efectiu de GeoGebra o programari de càlcul com a eina de comprovació.

• Qualitat analítica i justificació raonada en les conclusions de l'informe.