Sistemas con parámetros
Has visto Rouché-Frobenius, Cramer y Gauss por separado. Discutir un sistema con parámetro es donde los tres se juntan: calculas $|A|$ para localizar los valores "especiales" del parámetro, usas Gauss o los menores para hallar los rangos en esos valores, y Cramer para resolver cuando el sistema sea determinado. Es el tipo de ejercicio más largo de todo el bloque, y uno de los favoritos de la EvAU.
El plan de discusión
En una plataforma de streaming, el precio de tres tipos de suscripciones (Básica, Estándar y Premium) varía según una promoción mensual representada por el parámetro…
En una plataforma de streaming, el precio de tres tipos de suscripciones (Básica, Estándar y Premium) varía según una promoción mensual representada por el parámetro $k$. El sistema de ecuaciones que relaciona el número de usuarios de cada tipo con los ingresos totales es:
$$\begin{cases} x + y + z = 10 \\ x + ky + z = 12 \\ x + y + kz = 14 \end{cases}$$Discute la compatibilidad del sistema según los valores del parámetro real $k$.
Valores especiales: SCI o SI, nunca los dos
Determina para qué valor del parámetro $a$ el siguiente sistema de ecuaciones lineales es incompatible: $$\begin{cases} x + 2y = 3 \\ ax + 4y = 1 \end{cases}$$ Justifica…
Determina para qué valor del parámetro $a$ el siguiente sistema de ecuaciones lineales es incompatible:
$$\begin{cases} x + 2y = 3 \\ ax + 4y = 1 \end{cases}$$Justifica tu respuesta analizando la proporcionalidad de los coeficientes y los términos independientes.
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real $k$: $\begin{cases} kx + y + z = 1 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k^2 \end{cases}$ a)…
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real $k$:
$\begin{cases} kx + y + z = 1 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k^2 \end{cases}$
- a) Discute el sistema según los valores del parámetro $k$.
- b) Resuelve el sistema en el caso de que sea compatible indeterminado.
Sistemas homogéneos con parámetro
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo, donde $m$ es un parámetro real: $$\begin{cases} mx + y + z = 0 \\ x - my + z = 0 \\ 2x + y + z = 0…
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo, donde $m$ es un parámetro real:
$$\begin{cases} mx + y + z = 0 \\ x - my + z = 0 \\ 2x + y + z = 0 \end{cases}$$- a) Calcula el determinante de la matriz de coeficientes $A$.
- b) ¿Para qué valores de $m$ el sistema tiene soluciones distintas de la trivial $(0, 0, 0)$?
Resolver el caso compatible indeterminado
Cuando el sistema es SCI, la solución general se expresa con $n-rg(A)$ parámetros. En muchos problemas, además, te pedirán una solución particular que cumpla alguna condición adicional (por ejemplo, que las componentes sumen un valor dado).
Dado el sistema homogéneo: $\begin{cases} ax + y + 3z = 0 \\ x + ay + 2z = 0 \\ x + y + az = 0 \end{cases}$ 1. Determina los valores de $a$ para los cuales el sistema…
Dado el sistema homogéneo:
$\begin{cases} ax + y + 3z = 0 \\ x + ay + 2z = 0 \\ x + y + az = 0 \end{cases}$
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Determina los valores de $a$ para los cuales el sistema admite soluciones distintas de la trivial.
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Para el mayor valor de $a$ hallado en el apartado anterior, obtén la solución general y halla una solución particular tal que la suma de sus componentes sea $10$.
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Si $a=0$, describe geométricamente el conjunto de soluciones.
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $k$:…
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $k$:
$\begin{cases} kx + y + z = k^2 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = 1 \end{cases}$
Se pide:
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Discutir el sistema según los diferentes valores del parámetro $k$.
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Resolver el sistema en los casos en que sea compatible indeterminado, expresando la solución de forma paramétrica.
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En el caso de que el sistema sea compatible determinado, ¿existe algún valor de $k$ para el cual la solución sea $(x, y, z) = (1, 1, 1)$? Justifica tu respuesta.