El método de Gauss
Ya conoces el método de Gauss de 1º: triangular un sistema combinando filas hasta dejarlo escalonado. Ahora que tienes el lenguaje de matrices y rango, Gauss se convierte en algo más potente: es, de hecho, el procedimiento con el que calculas el rango de cualquier matriz, y por tanto el que te permite aplicar Rouché-Frobenius en la práctica, incluso con más ecuaciones que incógnitas.
Triangular es calcular el rango
Clasifica el siguiente sistema según su número de soluciones tras aplicar el método de Gauss. Indica si es Compatible Determinado, Compatible Indeterminado o…
Clasifica el siguiente sistema según su número de soluciones tras aplicar el método de Gauss. Indica si es Compatible Determinado, Compatible Indeterminado o Incompatible basándote en la última fila obtenida:
$$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x + 4y - 2z = 1 \\ x + y + z = 2 \end{cases}$$Sistemas con parámetro: triangular con una letra
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $k$:…
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $k$:
$\begin{cases} kx + y + z = k^2 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = 1 \end{cases}$
- a) Discute el sistema utilizando el método de Gauss según los diferentes valores de $k$.
- b) En el caso de que el sistema sea compatible indeterminado, determina la solución general y halla una solución particular tal que la suma de sus componentes sea igual a 0.
- c) ¿Existe algún valor de $k$ para el cual el sistema represente tres planos que se cortan en una recta? Justifica la respuesta.
Considera el sistema de ecuaciones: $\begin{cases} x + ay + z = a \\ ax + y + z = 1 \\ x + y + az = a^2 \end{cases}$ a) Discute el sistema para los diferentes valores de…
Considera el sistema de ecuaciones:
$\begin{cases} x + ay + z = a \\ ax + y + z = 1 \\ x + y + az = a^2 \end{cases}$
- a) Discute el sistema para los diferentes valores de $a$ real.
- b) Si $a = 1$, describe geométricamente la solución.
- c) Si $a = -2$, demuestra mediante Gauss que el sistema es incompatible. ¿Qué configuración geométrica forman los tres planos en este caso? Ayúdate de un esquema.
Más ecuaciones que incógnitas
Estudia el siguiente sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas mediante el método de Gauss:…
Estudia el siguiente sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas mediante el método de Gauss:
$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 3 \\ ax + 10y + 4z = 11 \\ 3x + 4y + 2z = a \end{cases}$
- a) Determina para qué valor de $a$ el sistema es compatible.
- b) Para dicho valor de $a$, resuelve el sistema e indica si la solución es única.
- c) ¿Qué posición relativa ocupan los cuatro planos definidos por las ecuaciones cuando el sistema es compatible?
Gauss-Jordan: ceros por los dos lados
En una red eléctrica inteligente, las intensidades de corriente $I_1, I_2, I_3$ e $I_4$ en cuatro nodos cumplen las siguientes leyes de Kirchhoff, escaladas por un…
En una red eléctrica inteligente, las intensidades de corriente $I_1, I_2, I_3$ e $I_4$ en cuatro nodos cumplen las siguientes leyes de Kirchhoff, escaladas por un factor de resistencia $R$:
$\begin{cases} I_1 + I_2 - I_3 + I_4 = 0 \\ 2I_1 - I_2 + I_3 = 5 \\ I_1 + I_3 - 2I_4 = 1 \\ 3I_1 + I_4 = 6 \end{cases}$
- a) Resuelve el sistema utilizando el método de Gauss-Jordan (consiguiendo el máximo número de ceros posible en la matriz).
- b) ¿Es el sistema compatible determinado? Justifica si es posible eliminar una de las mediciones sin perder información sobre las intensidades.
Crear y verificar un algoritmo de eliminación
El algoritmo debe funcionar también si el primer candidato a pivote es cero. Antes de dividir, busca una fila inferior con entrada no nula en esa columna e intercámbiala. Si toda la columna restante es cero, pasa a la siguiente columna sin aumentar el número de pivotes.
fila_pivote ← 0
para cada columna de coeficientes:
buscar desde fila_pivote una fila con entrada no nula
si no existe: continuar con la siguiente columna
intercambiar esa fila con fila_pivote
para cada fila inferior:
factor ← entrada / pivote
restar factor * fila_pivote a toda la fila (incluido B)
fila_pivote ← fila_pivote + 1
examinar filas nulas y términos independientes
Elige entre estos desenlaces después de eliminar:
*Única solución si hay n pivotes en coeficientes y ninguna fila incompatible. Con menos de n pivotes y sin incompatibilidad hay variables libres.
Modifica el pseudocódigo para convertir cada pivote en 1 y anular también las entradas superiores: obtienes Gauss-Jordan. Ejecútalo a mano o prográmalo, compara el número de operaciones y contrasta las tres pruebas con una herramienta de cálculo matricial. Entrega matrices intermedias y comprueba las soluciones en las ecuaciones originales. Con datos decimales, selecciona preferentemente el pivote de mayor valor absoluto disponible y declara una tolerancia para decidir qué es aproximadamente cero; los rangos exactos con parámetros requieren casos algebraicos separados.
Revisar el proceso en equipo
Rotad las tareas de diseño, ejecución, comprobación y explicación. Cada integrante predice el tipo de solución antes de calcular. Si aparece una discrepancia, localizad la primera fila diferente y reconstruid la operación sin atribuir el fallo a la capacidad de nadie. Ante un bloqueo, anotad qué sabéis, separad un caso sencillo y pedid una pista concreta. Entregad un error corregido, la estrategia que ayudó a superarlo y una alternativa propuesta por otro integrante. Comparad métodos con argumentos, no por quién termina primero.