Exercicis: Mètode de Gauss

Resol el sistema de dues equacions amb dues incògnites següent utilitzant el mètode de Gauss. Encara que podries utilitzar altres mètodes de cursos anteriors, l'objectiu és que practiquis la transformació de la matriu de coeficients per obtenir una forma esglaonada:

$$\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - y = 3 \end{cases}$$

Per ajudar-te, il·lustrem el procés de «fer zero» a sota del primer element de la diagonal:

En el mètode de Gauss, el pas final és la substitució cap enrere. Resol el sistema següent que ja es troba en forma esglaonada (triangular):

$$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2y + 3z = 11 \\ 4z = 12 \end{cases}$$

Obtén la solució del sistema d'equacions lineals següent mitjançant l'algorisme de Gauss, realitzant les operacions elementals fila necessàries per triangular la matriu:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + 5z = 11 \\ x - 5y + 6z = 29 \end{cases}$$

Classifica el sistema següent segons el seu nombre de solucions després d'aplicar el mètode de Gauss. Indica si és compatible determinat, compatible indeterminat o incompatible basant-te en l'última fila obtinguda:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x + 4y - 2z = 1 \\ x + y + z = 2 \end{cases}$$

Un sistema compatible indeterminat és aquell que té infinites solucions. Utilitza el mètode de Gauss per comprovar que el sistema següent ho és i escriu la seva solució general en funció d'un paràmetre $\lambda$ (fent $z = \lambda$):

$$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x - y + z = 2 \\ x - 2y = -1 \end{cases}$$

Un estudi de disseny gràfic equipa els seus llocs de treball amb tres comandes al mateix distribuïdor de components:

• Primera comanda: 1 teclat, 1 ratolí i 1 catifa de ratolí per $55\ \text{€}$.

• Segona comanda: 2 teclats, 2 ratolins i 1 catifa de ratolí per $102\ \text{€}$.

• Tercera comanda: 1 teclat i 2 catifes de ratolí per $51\ \text{€}$.

Planteja el sistema d'equacions i calcula el preu unitari de cada article utilitzant el mètode de Gauss.

Donada la matriu ampliada $(A|B)$ següent associada a un sistema d'equacions, realitza les operacions elementals necessàries per obtenir una matriu esglaonada i resol el sistema:

$$(A|B) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 5 \end{array} \right)$$

A vegades és convenient canviar l'ordre de les equacions per facilitar els càlculs (buscar el «1» com a pivot). Reordena i resol per Gauss el sistema següent:

$$\begin{cases} 3x - y + 2z = 7 \\ 2x + y + z = 6 \\ x + y + z = 4 \end{cases}$$

L'Álvaro està resolent mitjançant el mètode de Gauss un sistema de tres equacions lineals amb tres incògnites. Després d'aplicar operacions elementals de fila sobre la matriu ampliada $(A|B)$, obté el següent resultat escalonat:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & -1 & 4 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 2 \end{pmatrix}$$

L'Álvaro afirma al seu examen: «Com que a l'última fila la matriu de coeficients només té zeros, s'anul·la una incògnita; per tant, el rang de la matriu és 2, el sistema és compatible indeterminat i té infinites solucions que depenen d'un paràmetre $\lambda$».

1. a) Identifica i explica amb precisió l'error conceptual de l'Álvaro. Quina diferència hi ha entre el rang de la matriu de coeficients $A$ i el rang de la matriu ampliada $A^*$ en aquesta matriu escalonada?
2. b) Escriu l'equació algebraica amb incògnites $x, y, z$ que representa la tercera fila de la matriu escalonada i raona per què aquesta equació demostra la incompatibilitat del sistema sense necessitat de recórrer a regles memoritzades.
3. c) Corregeix la conclusió de l'Álvaro classificant el sistema segons el teorema de Rouché-Frobenius i interpreta què passa geomètricament amb els tres plans del sistema inicial.

Considera el següent sistema sobredeterminat de tres equacions amb dues incògnites:

$$\begin{cases} x + y = 4 \\ 2x - y = 5 \\ 3x + 2y = 11 \end{cases}$$

1. a) Estima: Abans de fer cap càlcul numèric, explica què representa geomètricament cada equació en el pla afí $\mathbb{R}^2$. Si traces tres rectes a l'atzar en un paper, què és més probable: que coincideixin totes tres exactament en un únic punt o que no ho facin? Basant-te en aquesta intuïció geomètrica, fes una estimació raonada de si esperes que el sistema sigui compatible o incompatible.
2. b) Calcula: Escriu la matriu ampliada $(A|B)$ i aplica el mètode de Gauss per escalonar-la per files. Determina a partir de la matriu escalonada els rangs $\operatorname{rg}(A)$ i $\operatorname{rg}(A^*)$.
3. c) Comprova: Resol el sistema si és compatible o justifica'n la incompatibilitat a partir de l'escalonament. Contrasta el resultat amb la teva estimació inicial i explica quina relació geomètrica particular tenen les tres rectes d'aquest exercici.

Resol mitjançant el mètode de Gauss el sistema d'equacions lineals següent. En cas que el sistema sigui compatible indeterminat, escriu la solució general en funció d'un paràmetre $\lambda$:

$$\begin{cases} 2x - y + 3z = 5 \\ x + 2y - z = 0 \\ x - 3y + 4z = 5 \end{cases}$$

Abans de començar, reflexiona sobre l'elecció del «pivot» per facilitar els càlculs.

Una empresa tecnològica fabrica tres models de targetes gràfiques: GT, Pro i Ultra. Se sap que:

• El cost total de produir una unitat de cada model és de $950 \text{ €}$.

• El cost de fabricar dues unitats del model GT és igual a la suma dels costs d'una unitat de Pro i una d'Ultra.

• Si es fabriquen tres unitats d'Ultra, el cost supera en $100 \text{ €}$ el cost de fabricar-ne una de cadascun dels altres dos models junts (GT i Pro).

Planteja un sistema d'equacions i utilitza el mètode d'esglaonament de Gauss per determinar el cost de producció de cada model.

Donat el sistema dependent del paràmetre real $k$:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + kz = 5 \\ kx + y + z = 1 \end{cases}$$

1. a) Aplica el mètode de Gauss per obtenir una matriu esglaonada.
2. b) Determina per a quins valors de $k$ el sistema és compatible determinat.
3. c) Resol-lo per a $k = 0$.

Interpreta geomètriament la posició relativa dels tres plans definits per les equacions següents utilitzant el mètode de Gauss per analitzar el sistema:

$$\pi_1: x + 2y - z = 3$$ $$\pi_2: 2x - y + z = 1$$ $$\pi_3: 5x + 5y - 2z = 10$$

Es tallen en un punt, en una recta o no tenen punts comuns? Justifica la teva resposta després de realitzar la transformació de la matriu ampliada.

Un centre d'alt rendiment esportiu organitza un campament d'estiu. Han contractat un total de $45$ monitors entre especialistes en natació, atletisme i ciclisme.

• El nombre de monitors de natació és el doble que el d'atletisme.

• Si contractessin $5$ monitors més d'atletisme, el seu nombre igualaria el de ciclisme.

Utilitza el mètode de Gauss per trobar quants monitors hi ha de cada especialitat.

Considera el sistema d'equacions homogeni següent:

$$\begin{cases} x + 2y + 3z = 0 \\ 3x + y - z = 0 \\ 2x - y - 4z = 0 \end{cases}$$

1. a) Demostra, mitjançant l'esglaonament de la matriu de coeficients, que el sistema admet solucions diferents de la trivial ($x=0, y=0, z=0$).
2. b) Obtén la solució paramètrica del sistema.

Després d'aplicar parcialment el mètode de Gauss a un sistema de tres equacions amb tres incògnites $(x, y, z)$, s'ha arribat a la matriu ampliada següent:

$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 3 \\ 0 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & 0 & m^2-4 & | & m-2 \end{pmatrix}$$

Discute el tipus de sistema (compatible determinat, indeterminat o incompatible) segons els valors del paràmetre $m$. Existeix algun valor de $m$ per al qual el sistema sigui incompatible?

Tres amics, l'Alba, el Bruno i el Carlos, estan estalviant per a un viatge de final de curs que costa $1200 \text{ €}$ per persona.

• Entre tots tres tenen estalviada la meitat dels diners necessaris per al viatge de tots tres.

• El triple del que té l'Alba menys el que té el Carlos és igual al que té el Bruno.

• Si l'Alba li donés $100 \text{ €}$ al Carlos, tots dos tindrien la mateixa quantitat.

Planteja el sistema i resol-lo per Gauss per saber quant té estalviat cadascú i quant els falta per poder anar-se'n de viatge.

Una empresa municipal de transports urbans d'una capital espanyola analitza les cancel·lacions de títols de transport durant una jornada laboral. Es contemplen tres títols: Bitllet Senzill ($x$), Targeta Multiviatge de 10 viatges ($y$) i Abonament Mensual Jove ($z$), tots mesurats en milers de viatges.

El sistema tècnic de control aporta les dades següents:

1. El volum conjunt de viatges registrats entre les tres modalitats va ser de $100$ mil viatges.

2. El nombre de viatges realitzats amb Abonament Mensual Jove va superar en $20$ mil la suma dels viatges amb Bitllet Senzill i Targeta Multiviatge.

3. Els viatges validats amb Targeta Multiviatge van ser exactament el triple que els efectuats amb Bitllet Senzill.

D'altra banda, la intervenció de comptes audita la recaptació: el Bitllet Senzill costa $1,50$ €, cada viatge de Targeta Multiviatge repercuteix un ingrés de $0,80$ € i cada viatge amb Abonament Jove computa un ingrés mitjà de $0,50$ €. L'informe de l'interventor sosté que la recaptació total va ser de $68$ mil euros i sospita d'un desquadrament en les dades.

1. a) Planteja un sistema de 4 equacions lineals amb 3 incògnites ($x, y, z$) que reuneixi tota la informació disponible.
2. b) Escriu la matriu ampliada del sistema (de dimensions $4 \times 4$) i aplica el mètode de Gauss per escalonar-la completament.
3. c) A partir dels rangs obtinguts mitjançant Gauss per a la matriu de coeficients i la matriu ampliada, dictamina si l'informe de l'interventor és compatible o incompatible amb les cancel·lacions registrades. Si hi ha incompatibilitat, calcula quina hauria d'haver estat la recaptació real exacta perquè les dades fossin consistents.

Per resoldre el següent sistema d'equacions lineals:

$$\begin{cases} 3x - y + 2z = 7 \\ x + y + z = 4 \\ 2x - 3y + z = 1 \end{cases}$$

es proposen dos camins basats en transformacions de files:

• Camí A (Gauss clàssic): Reordenar les files per triar un pivot òptim, triangular la matriu ampliada fent zeros sota la diagonal principal i determinar la solució mitjançant substitució cap enrere.

• Camí B (Gauss-Jordan): Reordenar les files i continuar les operacions de fila fins a fer zeros també per sobre de la diagonal principal, transformant la matriu de coeficients en la identitat per llegir la solució directament.

1. a) Justifica quin intercanvi de files és convenient fer abans de començar a operar per evitar treballar amb fraccions i compara tots dos camins: quantes operacions d'anul·lació d'elements realitza el Camí B que no realitza el Camí A? En quina situació pràctica compensa assumir el cost addicional de Gauss-Jordan respecte a Gauss clàssic?
2. b) Aplica el Camí A: mostra pas a pas la matriu ampliada a cada etapa de l'escalonament i calcula la solució final mitjançant substitució cap enrere.
3. c) Si el vector de termes independents del sistema se substituís per $(0, 0, 0)$, explica sense resoldre'l si caldria realitzar tot el procés de Gauss per classificar-lo i trobar almenys una solució.

Es considera el següent sistema d'equacions lineals dependent del paràmetre real $k$:

$\begin{cases} kx + y + z = k^2 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = 1 \end{cases}$

1. a) Discuteix el sistema utilitzant el mètode de Gauss segons els diferents valors de $k$.
2. b) En el cas que el sistema sigui compatible indeterminat, determina la solució general i troba una solució particular tal que la suma de les seves components sigui igual a 1.
3. c) Hi ha algun valor de $k$ per al qual el sistema representi tres plans que es tallen en una recta? Justifica la resposta.

Un laboratori d'enginyeria aeroespacial està dissenyant un nou aliatge utilitzant tres metalls: titani ($x$), alumini ($y$) i vanadi ($z$). Les proporcions de massa han de satisfer el sistema següent, on $\alpha$ i $\beta$ són paràmetres que depenen de la temperatura de fusió:

$\begin{cases} x + y + z = \alpha \\ \alpha x + y + z = 1 \\ x + \alpha y + z = \beta \end{cases}$

1. a) Discute la compatibilitat del sistema en funció dels valors de $\alpha$ i $\beta$.
2. b) Si $\alpha = -1$, quin valor ha de tenir $\beta$ perquè el sistema sigui compatible? Resol-lo en aquest cas mitjançant el mètode de Gauss.
3. c) Interpreta els resultats obtinguts si el sistema fos incompatible des del punt de vista de la fabricació de l'aliatge.

Una empresa de fintech utilitza un algorisme per equilibrar tres carteres d'inversió. El flux de capital entre aquestes ve definit pel sistema:

$\begin{cases} x + 2y + 3z = 2 \\ 2x + 5y + 4z = -1 \\ x + 3y + az = b \end{cases}$

1. a) Aplica el mètode de Gauss per obtenir una matriu esglaonada i discute el sistema segons els valors de $a$ i $b$.
2. b) Determina els valors de $a$ i $b$ perquè les carteres no tinguin un punt d'equilibri comú (sistema incompatible).
3. c) Si $a = 1$ i $b = -3$, el sistema és compatible indeterminat. Troba la solució que minimitza el valor de $x^2$.

Estudia el sistema següent de 4 equacions amb 3 incògnites mitjançant el mètode de Gauss:

$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 3 \\ ax + 10y + 4z = 11 \\ 3x + 4y + 2z = a \end{cases}$

1. a) Determina per a quin valor de $a$ el sistema és compatible.
2. b) Per a aquest valor de $a$, resol el sistema i indica si la solució és única.
3. c) Quina posició relativa ocupen els quatre plans definits per les equacions quan el sistema és compatible?

Sigui el sistema homogeni dependent del paràmetre $m$:

$\begin{cases} mx + y + z = 0 \\ x + my + z = 0 \\ 2x + y + mz = 0 \end{cases}$

1. a) Utilitza el mètode de Gauss per trobar els valors de $m$ per als quals el sistema admet solucions diferents de la trivial $(0,0,0)$.
2. b) Per al valor enter de $m$ trobat a l'apartat anterior, resol el sistema i obtén l'expressió paramètrica de la solució.
3. c) Dona una solució particular diferent de la trivial on les incògnites siguin nombres enters.

En una xarxa elèctrica intel·ligent, les intensitats de corrent $I_1, I_2, I_3$ i $I_4$ en quatre nodes compleixen les lleis de Kirchhoff següents, escalades per un factor de resistència $R$:

$\begin{cases} I_1 + I_2 - I_3 + I_4 = 0 \\ 2I_1 - I_2 + I_3 = 5 \\ I_1 + I_3 - 2I_4 = 1 \\ 3I_1 + I_4 = 6 \end{cases}$

1. a) Resol el sistema utilitzant el mètode de Gauss-Jordan (aconseguint el màxim nombre de zeros possible a la matriu).
2. b) És el sistema compatible determinat? Justifica si és possible eliminar un dels mesuraments sense perdre informació sobre les intensitats.

Es vol construir un sistema de tres equacions amb tres incògnites que compleixi simultàniament:

1. Sigui compatible indeterminat.

2. Una de les seves solucions sigui $(1, 0, 2)$.

3. En aplicar el mètode de Gauss, l'última fila de la matriu esglaonada sigui nul·la.

1. a) Proposa un sistema original que compleixi aquestes condicions.
2. b) Explica pas a pas el procés d'«esglaonament» del teu sistema proposat per demostrar que, efectivament, és compatible indeterminat.

Considera el sistema d'equacions:

$\begin{cases} x + ay + z = a \\ ax + y + z = 1 \\ x + y + az = a^2 \end{cases}$

1. a) Discuteix el sistema per als diferents valors de $a$ real.

1. b) Si $a = 1$, descriu geomètricament la solució.

1. c) Si $a = -2$, demostra mitjançant Gauss que el sistema és incompatible. Quina configuració geomètrica formen els tres plans en aquest cas? Justifica la teva resposta amb les posicions relatives dels plans (per exemple, estudiant els seus vectors normals) i ajuda't d'un esquema fet per tu.

Dissenya un sistema de tres equacions lineals amb tres incògnites ($x, y, z$) que compleixi simultàniament les quatre condicions següents:

1. Cap dels coeficients de les tres incògnites a la primera equació pot ser igual a 0, i el seu terme independent ha de ser $2$.

2. En aplicar el mètode de Gauss sobre la matriu ampliada $(A|B)$, utilitzant el coeficient $a_{11}$ com a primer pivot per anul·lar la primera columna, la segona fila resultant ha de ser exactament $(0, 1, -2 \mid 1)$.

3. El sistema ha de ser compatible indeterminat amb un grau de llibertat (rang 2), de manera que representi geomètricament tres plans que es tallen en una recta $r$.

4. La recta solució $r$ ha de tenir com a vector director $\vec{v} = (3, 2, 1)$.

1. a) Dedueix raonadament els coeficients de la primera equació a partir de l'ortogonalitat entre el vector normal del pla i la direcció de $\vec{v}$, respectant les restriccions numèriques imposades.
2. b) Construeix les altres dues equacions originals del sistema de manera que, en aplicar les operacions elementals de Gauss, s'obtingui a la segona fila el resultat indicat i la tercera fila s'anul·li per complet.
3. c) Escriu la matriu ampliada inicial del sistema que has formulat, aplica el mètode de Gauss pas a pas per verificar que s'assoleixen les files requerides i obtén les equacions paramètriques de la recta solució comprovant que el seu vector director coincideix amb $\vec{v}$.

Es considera el sistema d'equacions dependent del paràmetre real $a$:

$$\begin{cases} x + a y + z = 1 \\ a x + y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}$$

Per discutir el sistema mitjançant el mètode de Gauss, en Marcos planteja la matriu ampliada i realitza les següents operacions elementals:

$$\begin{pmatrix} 1 & a & 1 & | & 1 \\ a & 1 & 1 & | & a \\ 1 & 1 & a & | & a^2 \end{pmatrix} \xrightarrow{\substack{F_2 \leftarrow F_2 - a F_1 \\ F_3 \leftarrow F_3 - F_1}} \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & | & 1 \\ 0 & 1 - a^2 & 1 - a & | & 0 \\ 0 & 1 - a & a - 1 & | & a^2 - 1 \end{pmatrix}$$

Tot seguit, en Marcos observa que a la segona i tercera fila es pot extreure el factor $(1 - a)$, i efectua:

$$F_2 \leftarrow \frac{1}{1-a} F_2, \quad F_3 \leftarrow \frac{1}{1-a} F_3 \implies \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & | & 1 \\ 0 & 1 + a & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & -(a + 1) \end{pmatrix}$$

Després d'això, intercanvia $F_2 \leftrightarrow F_3$, elimina la incògnita a l'última fila i conclou: «L'únic valor singular és $a = -2$, on l'últim pivot es fa zero; per a $a = 1$ no hi ha cap inconvenient perquè s'ha simplificat la fila i el sistema és compatible determinat».

1. a) Localitza i argumenta els dos errors conceptuals comesos per en Marcos en l'ús del mètode de Gauss amb paràmetres (un de relatiu a la validesa algebraica de l'operació realitzada i un altre a la conclusió obtinguda per a $a = 1$).
2. b) Explica per què dividir una fila per una expressió que depèn d'un paràmetre pot destruir l'equivalència de sistemes i quin efecte produeix sobre les solucions.
3. c) Realitza la discussió correcta i completa del sistema mitjançant el mètode de Gauss, escalonant la matriu sense dividir per factors que continguin el paràmetre (o distingint els casos previs pertinents), determinant $\operatorname{rg}(A)$ i $\operatorname{rg}(A^*)$ per a cada $a \in \mathbb{R}$.
4. d) Per al cas $a = 1$, troba la solució a partir de la matriu escalonada correcta i interpreta geomètricament la posició relativa dels tres plans originals.