Información acerca de la función

Dada la función racional $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x^2 - 9}$, realiza un estudio previo de sus elementos básicos determinando:

1. El dominio de definición de la función.

2. Los puntos de corte con los ejes de coordenadas.

3. La existencia de simetrías (indica si es par, impar o no presenta simetría).

Determina el periodo de la función trigonométrica $f(x) = \sin(2x)$. A continuación, indica razonadamente si la función presenta algún tipo de simetría respecto al origen o al eje de ordenadas.

Dada la función $f(x) = \frac{2x}{x-1}$, determina:

1. Las ecuaciones de sus asíntotas verticales y horizontales.

2. La posición de la curva respecto a dichas asíntotas mediante el estudio de los límites laterales y en el infinito.

Dada la función $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x}$, realiza un estudio de sus ramas infinitas:

1. Comprueba si tiene asíntotas verticales.

2. Comprueba si tiene asíntotas horizontales.

3. En caso de no tener asíntota horizontal, averigua si tiene una asíntota oblicua y halla su ecuación.

Considera la función polinómica $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 3$. Halla los intervalos de concavidad y convexidad, así como las coordenadas exactas de sus puntos de inflexión. Utiliza el símbolo $\cup$ para denotar los intervalos donde la función es convexa (curvatura hacia arriba) y $\cap$ para los intervalos donde es cóncava (curvatura hacia abajo).

Un equipo de ingenieros está monitorizando la temperatura de un componente electrónico. La evolución de la temperatura $T$ (en grados Celsius) respecto al tiempo $t$ (en minutos) viene dada por la función:

$T(t) = \frac{40t + 100}{t + 2}$ con $t \geq 0$

Se pide:

1. Hallar la temperatura inicial del componente ($t=0$).

2. Determinar la asíntota horizontal de la función e interpretar su significado en el contexto del problema (temperatura a largo plazo).

Estudia la monotonía (intervalos de crecimiento y decrecimiento) y calcula los extremos relativos (máximos y mínimos) de la siguiente función polinómica:

$f(x) = x^3 - 3x + 2$

Analiza la curvatura de la función $f(x) = x^4 - 6x^2 + 5$. Para ello:

1. Halla la segunda derivada $f''(x)$.

2. Determina los intervalos de concavidad ($\cup$) y convexidad ($\cap$).

3. Encuentra las abscisas de los puntos de inflexión.

Realiza un estudio completo de la monotonía y los extremos relativos de la función racional $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 1}$. Determina con precisión los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como las coordenadas de sus máximos y mínimos si los tuviera.

Se conoce la siguiente información sobre una función $f(x)$ continua en todo $\mathbb{R}$:

• Corta al eje $X$ en $x = -2$ y $x = 2$.

• Tiene un mínimo relativo en $(0, -4)$.

• Es decreciente en $(-\infty, 0)$ y creciente en $(0, +\infty)$.

• $\lim_{x \to \infty} f(x) = +\infty$ y $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.

Dibuja un esbozo de la gráfica que cumpla todas estas condiciones.

Se considera la función $f(x) = \ln(x^2 + k)$, donde $k$ es un parámetro real.

1. a) Determina el valor de $k$ para que la función tenga un punto de inflexión en $x = 1$.
2. b) Para ese valor de $k$, estudia el dominio de la función y comprueba si presenta algún tipo de simetría (par o impar).

La siguiente gráfica corresponde a la función derivada $f'(x)$ de una función continua $f(x)$ definida en todo $\mathbb{R}$. A partir de la información visual proporcionada:

1. Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función original $f(x)$.

2. Determina las abscisas de los extremos relativos de $f(x)$ clasificándolos en máximos o mínimos.

3. Estudia la curvatura de $f(x)$ y localiza sus puntos de inflexión.

4. Si se sabe que $f(0) = 1$, realiza un esbozo de la gráfica de la función original $f(x)$ justificando la forma obtenida.