Exercicis: Informació sobre la funció

Donada la funció racional $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x^2 - 9}$, realitza un estudi previ dels seus elements bàsics determinant:

1. a) El domini de definició de la funció.

1. b) Els punts de tall amb els eixos de coordenades.

1. c) L'existència de simetries (indica si és parella, imparella o no presenta simetria).

Un equip d'enginyers està monitorant la temperatura d'un component electrònic. L'evolució de la temperatura $T$ (en graus Celsius) respecte al temps $t$ (en minuts) ve donada per la funció:

$T(t) = \dfrac{40t + 100}{t + 2}$ amb $t \geq 0$

Es demana:

1. a) Trobar la temperatura inicial del component ($t=0$).

1. b) Determinar l'asímptota horitzontal de la funció i interpretar-ne el significat en el context del problema (temperatura a llarg termini).

Estudia la monotonia (intervals de creixement i decreixement) i calcula els extrems relatius (màxims i mínims) de la funció polinòmica següent:

$f(x) = x^3 - 3x + 2$

Donada la funció $f(x) = \frac{2x}{x-1}$, determina:

1. Les equacions de les seves asímptotes verticals i horitzontals.

2. La posició de la corba respecte d'aquestes asímptotes mitjançant l'estudi dels límits laterals i a l'infinit.

Analitza la curvatura de la funció $f(x) = x^4 - 6x^2 + 5$. Per fer-ho:

1. Troba la segona derivada $f''(x)$.

2. Determina els intervals de concavitat ($\cup$) i convexitat ($\cap$).

3. Troba les abscisses dels punts d'inflexió.

Es coneix la informació següent sobre una funció $f(x)$ contínua a tot $\mathbb{R}$:

• Talla l'eix $X$ en $x = -2$ i $x = 2$.

• Té un mínim relatiu en $(0, -4)$.

• És decreixent en $(-\infty, 0)$ i creixent en $(0, +\infty)$.

• $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ i $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.

Dibuixa un esbós de la gràfica que compleixi totes aquestes condicions. Per ajudar-te, aquí tens els eixos amb els punts que es coneixen; copia els eixos al teu paper i traça la corba.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Determina el període de la funció trigonomètrica $f(x) = \sin(2x)$. A continuació, indica raonadament si la funció presenta algun tipus de simetria respecte de l'origen o de l'eix d'ordenades.

Donada la funció $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x}$, realitza un estudi de les seves branques infinites:

1. a) Comprova si té asímptotes verticals.

1. b) Comprova si té asímptotes horitzontals.

1. c) En cas de no tenir asímptota horitzontal, esbrina si té una asímptota obliqua i troba'n l'equació.

En un examen de 2n de Batxillerat, la Marta ha d'analitzar la funció racional $f(x) = \frac{2x^2 - 8}{x^2 - 5x + 6}$ i escriu en el seu desenvolupament:

«1. Els zeros del denominador són $x = 2$ i $x = 3$. Per tant, la gràfica té dues asímptotes verticals en les rectes $x = 2$ i $x = 3$.

1. Com que la funció conté termes quadràtics ($x^2$) i independents tant al numerador com al denominador, la funció és parella i simètrica respecte a l'eix $OY$».

1. a) Identifica els dos errors conceptuals comesos per la Marta i explica amb rigor matemàtic per què el seu raonament és incorrecte en cada cas.
2. b) Fes la correcció adequada: determina el domini real de $f$, factoritza l'expressió per simplificar-la, calcula els límits laterals pertinents per classificar el comportament a $x = 2$ i $x = 3$ (distingint entre asímptota vertical i discontinuïtat evacuable) i comprova formalment la simetria avaluant $f(-x)$.

Considera la funció $f(x) = \frac{4x - 1}{\sqrt{x^2 + 3}}$.

1. a) Estima raonadament: Abans d'aplicar tècniques de límits analítics, raona sobre el comportament de la funció quan la variable $x$ pren valors extremadament grans en valor absolut ($x \to +\infty$ i $x \to -\infty$). A partir d'aquesta intuïció qualitativa:

• Estima quantes asímptotes horitzontals esperes trobar i en quins valors aproximats de $y$ se situaran.

• Prediu si la gràfica talla l'eix horitzontal d'abscisses ($OX$) i en quin punt ho hauria de fer.

1. b) Comprova formalment: Calcula els límits $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ i $\lim_{x \to -\infty} f(x)$, parant atenció al signe que introdueix l'arrel quadrada en extreure factor comú ($√{x^2} = |x|$), i dedueix les equacions exactes de les asímptotes horitzontals. Troba el punt de tall amb l'eix $OX$ i valora si les teves estimacions inicials eren correcteses o si vas ometre algun canvi de signe.

Realitza un estudi complet de la monotonia i els extrems relatius de la funció racional $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 1}$. Determina amb precisió els intervals de creixement i decreixement, així com les coordenades dels seus màxims i mínims si en té.

Considera la funció polinòmica $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 3$. Troba els intervals de concavitat i convexitat, així com les coordenades exactes dels seus punts d'inflexió. Utilitza el símbol $\cup$ per denotar els intervals on la funció és convexa (curvatura cap amunt) i $\cap$ per als intervals on és còncava (curvatura cap avall).

Determina totes les asímptotes (verticals, horitzontals i obliques) de la funció $f(x) = \frac{2x^2 + 1}{x - 3}$. En cas que existeixi una asímptota obliqua, calcula la seva equació de la forma $y = mx + n$ i estudia la posició de la corba respecte d'aquesta asímptota quan $x \to \infty$.

Dibuixa l'esbós de la gràfica d'una funció contínua $f(x)$ que compleixi simultàniament les següents condicions obtingudes del seu estudi analític:

• Domini: $\mathbb{R} - \{0\}$

• Talls amb els eixos: $(2, 0)$ i $(-2, 0)$.

• Asímptota vertical a $x = 0$, amb $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty$ i $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$.

• Asímptotes horitzontals: $y = -1$ quan $x \to +\infty$ i $y = 1$ quan $x \to -\infty$.

• $f'(x) < 0$ a tot el seu domini.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un equip d'enginyers monitoritza el nivell de càrrega d'una nova bateria de liti mitjançant la funció $B(t) = \frac{100t}{t^2 + 9} + 10$, on $B$ és el percentatge de càrrega i $t$ és el temps en hores ($t \ge 0$).

1. a) En quin instant assoleix la bateria el seu nivell màxim de càrrega? Justifica que es tracta d'un màxim.

1. b) A quin valor tendeix la càrrega de la bateria si es deixa connectada indefinidament? Justifica la resposta mitjançant el càlcul de límits.

Donada la gràfica de la funció derivada $f'(x)$ que es mostra a continuació (una recta que passa pels punts $(-2, 0)$ i $(0, 4)$), indica raonadament:

1. a) Els intervals de creixement i decreixement de la funció original $f(x)$.
2. b) L'abscissa dels extrems relatius de $f(x)$ i el seu tipus (màxim o mínim).
3. c) L'interval de concavitat o convexitat de $f(x)$.

Es considera la funció $f(x) = \ln(x^2 + k)$, on $k$ és un paràmetre real.

1. a) Determina el valor de $k$ perquè la funció tingui un punt d'inflexió a $x = 1$.
2. b) Per a aquest valor de $k$, estudia el domini de la funció i comprova si presenta algun tipus de simetria (parell o senar).

Donada la funció definida a trossos:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x & \text{si } x \le 0 \\ \frac{ax}{x+1} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

1. a) Calcula el valor de $a$ perquè la funció sigui derivable a $x = 0$.
2. b) Per al valor de $a$ obtingut, estudia si la funció té alguna asímptota horitzontal quan $x \to +\infty$.

Dissenya l'expressió analítica d'una funció racional irreductible $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ (on $P(x)$ i $Q(x)$ són polinomis amb coeficients reals) que compleixi simultàniament les cinc condicions següents:

1. La seva gràfica és simètrica respecte a l'eix d'ordenades ($OY$).

2. El seu domini de definició és $\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$, i presenta asímptotes verticals en ambdues abscisses.

3. Té una asímptota horitzontal d'equació $y = 3$.

4. Talla l'eix vertical d'ordenades en el punt $(0, -1)$.

5. No talla en cap punt l'eix d'abscisses ($OX$).

Justifica pas a pas com tries el grau, les arrels i els coeficients de $P(x)$ i de $Q(x)$ per satisfer cadascuna de les condicions donades. Finalment, comprova formalment que la funció obtinguda presenta un extrem relatiu a $(0, -1)$ mitjançant l'estudi del signe de la seva primera derivada $f'(x)$.

A partir de dades hidrològiques inspirades en els informes del Ministeri per a la Transició Ecològica (MITECO), el percentatge de capacitat d'aigua embassada $V(t)$ en una conca del sud peninsular al llarg del temps $t$ (en mesos, amb $t \ge 0$, on $t = 0$ representa l'inici d'un pla especial de gestió després d'una sequera) es modelitza mitjançant la funció:

1. a) Interpreta el significat físic del valor inicial $V(0)$ en el context del problema i justifica si té sentit buscar punts de tall amb l'eix d'abscisses per a $t \ge 0$.
2. b) Estudia l'existència d'asímptotes horitzontals quan $t \to +\infty$. Interpreta el seu significat en termes de gestió ambiental a llarg termini i explica per què, segons aquest model, el volum d'aigua emmagatzemada no arribarà mai a assolir el $60\,\%$.
3. c) Analitza la monotonia de $V(t)$ calculant el signe de la seva primera derivada per a $t > 0$. Tot seguit, obtén la segona derivada $V''(t)$ i determina en quin mes exacte el ritme d'ompliment dels embassaments assoleix la seva velocitat màxima (punt d'inflexió de la corba).

Es considera la funció $f(x) = \frac{ax^2 + bx}{x + c}$. Determina els valors dels paràmetres reals $a$, $b$ i $c$ sabent que es compleixen simultàniament les condicions següents:

1. La recta $x = 2$ és una asímptota vertical de la gràfica de la funció.

2. La funció presenta un extrem relatiu en el punt d'abscissa $x = 3$.

3. La recta tangent a la gràfica en el punt de tall amb l'eix $OY$ és paral·lela a la recta $y = -2x + 5$.

Un cop trobats els paràmetres, estudia l'existència d'una asímptota obliqua i determina la posició relativa de la corba respecte d'aquesta.

La gràfica següent correspon a la funció derivada $f'(x)$ d'una funció contínua $f(x)$ definida a tot $\mathbb{R}$. A partir de la informació visual proporcionada:

1. Indica els intervals de creixement i decreixement de la funció original $f(x)$.

2. Determina les abscisses dels extrems relatius de $f(x)$ classificant-los en màxims o mínims.

3. Estudia la curvatura de $f(x)$ i localitza els seus punts d'inflexió.

4. Si es sap que $f(0) = 1$, realitza un esborrany de la gràfica de la funció original $f(x)$ justificant la forma obtinguda.

Donada la funció $f(x) = (x^2 - 1) \cdot e^{-x}$, realitza un estudi exhaustiu per a la seva representació gràfica analitzant:

1. Domini i punts de tall amb els eixos de coordenades.

2. Comportament a l'infinit (límits i asímptotes).

3. Intervals de monotonia i extrems relatius (abscisses i ordenades).

4. Punts d'inflexió i convexitat.

5. Utilitza tota la informació anterior per dibuixar la gràfica de la funció, destacant especialment el comportament asimptòtic horitzontal.

Un equip d'enginyers està dissenyant el perfil d'una rampa de salt per a una competició d'skate. El perfil lateral segueix la corba de la funció $f(x) = \ln(x^2 - 2x + 2)$ en l'interval $[0, 3]$.

1. Troba el punt de la rampa que es troba a menor alçada respecte de terra.

2. Determina els punts de la rampa on el pendent és màxim i mínim. Quina interpretació física tenen aquests punts en el context del patinatge?

3. Estudia si la funció té algun punt d'inflexió en aquest interval i explica com canvia la sensació del patinador en passar-hi.

Sigui la funció definida a trossos:

$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - kx}{x-1} & \text{si } x < 0 \\ \ln(x^2 + 1) + ax + b & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

1. Calcula els valors de $a$ i $b$ perquè la funció sigui derivable a $x = 0$, sabent que en el primer tram el paràmetre $k$ pren el valor $1$.

2. Per als valors trobats, estudia si la funció té alguna asímptota obliqua quan $x \to -\infty$. En cas afirmatiu, troba-la.

3. Presenta la funció algun extrem relatiu en l'interval $(0, +\infty)$? Justifica la teva resposta.

Es vol inscriure un rectangle d'àrea màxima a la regió del primer quadrant limitada per l'eix $OX$, l'eix $OY$ i la gràfica de la funció $f(x) = 4e^{-0,5x}$.

1. Expressa l'àrea del rectangle en funció de l'abscissa $x$ d'un dels seus vèrtexs situats sobre l'eix $OX$.

2. Calcula les dimensions d'aquest rectangle perquè la seva àrea sigui màxima.

3. Realitza un dibuix de la situació utilitzant l'esquema visual següent.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Estudia la continuïtat i la derivabilitat de la funció $f(x) = x \cdot |x - 2|$. A partir d'aquest estudi:

1. Expressa la funció com una funció definida a trossos.

2. Calcula els intervals de creixement i decreixement.

3. Determina els màxims i mínims relatius i absoluts en l'interval $[0, 4]$.

4. Estudia la curvatura i els punts d'inflexió. Tingues una cura especial amb el punt on la funció canvia de definició.

Considera la funció $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1}$.

1. Analitza les seves simetries i domini.

2. Determina totes les seves asímptotes i la posició de la gràfica respecte d'aquestes.

3. Troba els punts de la gràfica on la recta tangent és horitzontal.

4. Demostra que la funció és còncava en tot el seu domini excepte en l'interval $(-1, 1)$, on és convexa.

5. Fes un esborrany de la gràfica de la funció integrant tots els elements anteriors.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Per estudiar les asímptotes i la posició relativa de la corba respecte d'aquestes en la funció racional $f(x) = \frac{2x^3 - 3x^2 - 5x + 6}{x^2 - 1}$, dos alumnes de 2n de Batxillerat plantegen mètodes diferents:

• Mètode 1 (Límits estàndard): Calcular directament els zeros del denominador ($x = \pm 1$) per postular asímptotes verticals, determinar l'asímptota obliqua $y = mx + n$ mitjançant els límits $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ i $n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx]$, i estudiar la posició de la corba respecte de l'asímptota avaluant la diferència $f(x) - (mx + n)$ en valors numèrics grans com ara $x = 1000$ i $x = -1000$.

• Mètode 2 (Simplificació prèvia i descomposició polinòmica): Factoritzar numerador i denominador per simplificar factors comuns abans del càlcul asimptòtic, i fer la divisió euclidiana de polinomis per expressar la funció en la forma $f(x) = mx + n + \frac{R(x)}{D(x)}$.

1. a) Compara críticament ambdós mètodes: quin supòsit fals comet qui aplica el Mètode 1 a $x = 1$? Per què avaluar en valors puntuals ($x = \pm 1000$) no constitueix una demostració rigorosa de la posició de la corba?
2. b) Justifica raonadament quin dels dos mètodes és més segur, general i eficient per a aquest tipus de funcions.
3. c) Seguint el mètode més convenient, determina justificadament l'única asímptota vertical, l'equació de l'asímptota obliqua, la posició relativa exacta de la corba a $\pm\infty$ mitjançant el signe algebraïc del residu i les coordenades del punt on hi ha una discontinuïtat evacuable.

Es considera una funció $f$ contínua a $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ la funció derivada de la qual és:

1. a) Estudia detalladament el signe de $f'(x)$ i dedueix els intervals de creixement i decreixement de $f$, així com les abscisses de tots els seus extrems relatius. Justifica raonadament per què a $x = 1$ la funció no presenta un extrem relatiu tot i complir-se $f'(1) = 0$.
2. b) Sabent que la curvatura de $f$ depèn del creixement de la mateixa funció derivada, calcula la segona derivada $f''(x)$ simplificant l'expressió al màxim. Determina els intervals de concavitat ($f'' < 0$) i convexitat ($f'' > 0$) de $f$, troba les abscisses dels seus punts d'inflexió i classifica amb precisió la naturalesa del punt singular situat a $x = 1$.
3. c) Sabent a més que $\lim_{x \to -1^+} f(x) = -\infty$ i que $f(1) = 4$, demostra de manera rigorosa que la gràfica de $f$ no pot tallar la recta $y = 4$ en cap punt de l'interval $(1, +\infty)$.