Exercicis: Tècniques de comptatge

En un club d'esports electrònics (eSports) s'analitza l'especialització dels seus 100 socis. Se sap que 65 d'ells juguen habitualment a League of Legends (succés $L$), 40 juguen a Valorant (succés $V$) i 15 juguen a tots dos videojocs.

Calcula la probabilitat que, en triar un soci a l'atzar:

1. a) Jugui a algun dels dos videojocs ($L \cup V$).

1. b) No jugui a cap dels dos.

1. c) Jugui només a League of Legends.

Il·lustra la situació mitjançant un diagrama de Venn. Aquí tens l'esquema de partida, que has de completar amb el nombre de socis de cada regió:

Per millorar la seguretat d'una aplicació mòbil, un desenvolupador decideix crear codis d'accés consistents en una lletra majúscula (considerant les 26 lletres de l'alfabet estàndard) seguida de tres dígits (del 0 al 9).

• Quants codis diferents es poden crear si els dígits es poden repetir?

• Quants codis diferents hi hauria si els tres dígits han de ser diferents entre si?

• Si es genera un codi a l'atzar amb dígits repetibles, quina és la probabilitat que la lletra sigui una 'Z'?

Una urna conté 12 boles de vidre per a un experiment d'òptica: 5 són blaves, 4 són vermelles i 3 són grogues. Si extraiem una bola a l'atzar, calcula les probabilitats següents utilitzant la regla de Laplace:

• Que la bola sigui vermella o groga.

• Que la bola no sigui blava.

• Que la bola sigui blanca.

En un laboratori de robòtica, s'han barrejat en una capsa 8 sensors de proximitat en perfecte estat i 2 sensors defectuosos. Un alumne extreu dos sensors de forma consecutiva i sense reemplaçament (sense retornar el primer a la capsa).

Calcula la probabilitat que:

• Tots dos sensors funcionin correctament.

• El primer sigui defectuós i el segon estigui en bon estat.

S'ha realitzat una enquesta als 60 alumnes de 2n de Batxillerat d'un institut tecnològic sobre l'ús de xarxes socials per informar-se sobre notícies científiques. Els resultats es mostren en la taula de contingència següent:

	Utilitzen X (Twitter)	Utilitzen Instagram	Total
Alumnes nois	18	12	30
Alumnes noies	10	20	30
Total	28	32	60

Si triem un estudiant a l'atzar, calcula la probabilitat que:

• Sigui una alumna.

• Utilitzi Instagram per informar-se.

• Sabent que és un alumne noi, prefereixi informar-se a través de la xarxa social X.

Un estudiant té dos exàmens el mateix dia: Matemàtiques i Anglès. Pel seu historial de notes, estima que la probabilitat d'aprovar Matemàtiques ($M$) és de $0,7$, la d'aprovar Anglès ($I$) és de $0,8$ i la d'aprovar tots dos és de $0,6$.

• Són els successos "Aprovar Matemàtiques" i "Aprovar Anglès" independents? Justifica la teva resposta matemàticament.

• Calcula la probabilitat que aprovi almenys un dels dos exàmens.

Al laboratori d'un hospital, dos analitzadors automàtics, $A$ i $B$, processen les mostres de sang. L'analitzador $A$ processa el $60 \%$ de les mostres i el $B$ el $40 \%$ restant. Se sap que el $2 \%$ de les mostres de l'analitzador $A$ s'han de repetir per error de lectura, mentre que en el $B$ aquest percentatge és del $5 \%$.

Dibuixa el diagrama d'arbre corresponent i calcula la probabilitat que una mostra triada a l'atzar s'hagi de repetir.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una classe d'enginyeria ha de triar una comissió de 3 representants. Si a la classe hi ha 20 estudiants, calcula:

• De quantes maneres es pot triar la comissió si els tres càrrecs (delegat, subdelegat i secretari) són diferents?

• De quantes maneres es pot triar si els tres representants tenen el mateix rang i no importa l'ordre?

• Si hi ha 12 homes i 8 dones, quina és la probabilitat que la comissió (sense càrrecs diferenciats) estigui formada només per dones? (Planteja la fracció mitjançant nombres combinatoris).

En un institut d'Educació Secundària, la junta de delegats de 2n de Batxillerat està composta per 10 estudiants: 6 noies i 4 nois. Per formar una comissió de convivència s'ha de triar per sorteig un grup de 3 delegats.

En Marcos vol calcular la probabilitat que la comissió estigui formada per exactament 2 noies i 1 noi, i raona de la manera següent:

«Per a la primera noia hi ha 6 opcions, per a la segona hi ha 5 opcions, i per al noi hi ha 4 opcions. Per tant, els casos favorables són $6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$. Com que els casos possibles de triar 3 persones en ordre d'entre les 10 són $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$, la probabilitat buscada és $\frac{120}{720} = \frac{1}{6}$».

1. a) Identifica amb precisió l'error conceptual d'en Marcos en calcular els casos favorables i explica per què el seu plantejament distorsiona el càlcul de l'espai mostral.
2. b) Resol el problema correctament utilitzant combinacions $\binom{n}{r}$ mitjançant la regla de Laplace i compara el teu resultat amb l'obtingut per en Marcos.

En un grup de 15 estudiants de 2n de Batxillerat que cursen Matemàtiques II es troben tres amics inseparables: Lucía, Mateo i Sofía. El departament seleccionarà a l'atzar un equip de 4 estudiants per representar el centre a l'Olimpíada Matemàtica de la universitat local.

1. a) Abans de fer qualsevol càlcul matemàtic, fes una estimació qualitativa i intuïtiva: creus que la probabilitat que almenys dos dels tres amics coincideixin a l'equip de 4 persones és superior al $50\,\%$, se situa al voltant del $15\,\%-20\,\%$ o és un esdeveniment molt报 improbable (inferior al $5\,\%$)? Justifica breument la intuïció en què et bases.
2. b) Modela el problema mitjançant tècniques combinatòries i calcula el valor exacte d'aquesta probabilitat com a fracció irreductible i en percentatge.
3. c) Contrasta el valor obtingut amb la teva estimació inicial i argumenta per què la intuïció humana sobre coincidències grupals sol fallar en aquesta mena de sortejos.

Per millorar la seguretat d'una plataforma d'e-sports, es requereix que els usuaris creïn una clau d'accés de 6 caràcters. Els dos primers han de ser lletres majúscules de l'abecedari espanyol (27 lletres) i els quatre restants han de ser dígits del $0$ al $9$.

Calcula quantes contrasenyes diferents es poden generar si:

1. a) Es permeten repeticions de lletres i nombres.
2. b) No es permet repetir cap lletra, però sí els nombres.
3. c) Les lletres han de ser diferents i els nombres han de formar una seqüència estrictament creixent (per exemple: $1258$, però no $1225$ ni $4321$).

En l'estudi de rendiment d'un nou processador gràfic, es defineixen els successos $A$: "el processador supera els $100$ FPS en ultra" i $B$: "el processador manté una temperatura inferior a $70^\circ$C". Es coneixen les probabilitats següents:

$P(A) = 0,65$

$P(B) = 0,50$

$P(A^c \cup B^c) = 0,70$

Troba raonadament:

1. a) La probabilitat que es compleixin tots dos successos alhora.
2. b) La probabilitat que es compleixi només el succés $A$.
3. c) Són els successos $A$ i $B$ independents? Justifica la teva resposta.

Un laboratori de robòtica té dues caixes de components. La Caixa 1 conté $8$ sensors de proximitat i $4$ actuadors. La Caixa 2 conté $5$ sensors de proximitat i $7$ actuadors. Es tria una caixa a l'atzar i s'extreuen successivament dos components sense reemplaçament.

1. a) Calcula la probabilitat que els dos components extrets siguin actuadors.
2. b) Si sabem que els dos components extrets han estat sensors de proximitat, quina és la probabilitat que provinguin de la Caixa 1?

Una empresa de desenvolupament de programari utilitza tres servidors per allotjar la seva API: el servidor $S_1$ gestiona el $45\%$ del tràfic, el $S_2$ el $35\%$ i el $S_3$ la resta. A causa de la càrrega, el servidor $S_1$ falla (error 500) en el $2\%$ de les peticions, $S_2$ en el $3\%$ i $S_3$ en el $5\%$.

1. a) Si un usuari fa una petició, quina és la probabilitat que el servidor retorni un error?
2. b) Si una petició ha fallat, quina és la probabilitat que hagi estat gestionada pel servidor $S_3$?

Un enginyer de telecomunicacions estima que la probabilitat que un paquet de dades es perdi durant una transmissió inalàmbrica en condicions d'interferència és de $0,15$. S'envia una ràfega de $10$ paquets de forma independent.

1. a) Quina és la probabilitat que es perdin exactament $3$ paquets?
2. b) Calcula la probabilitat que es perdin almenys $2$ paquets.
3. c) Quin és el nombre esperat de paquets perduts i la seva desviació típica?

El temps de compilació d'un projecte complex d'enginyeria segueix una distribució normal amb una mitjana de $120$ segons i una desviació típica de $15$ segons.

1. a) Calcula la probabilitat que el projecte es compili en menys de $100$ segons.
2. b) Calcula la probabilitat que el temps de compilació estigui entre $110$ i $140$ segons.
3. c) Quin temps de compilació és superat només pel $5\%$ dels processos més lents?

En un examen de certificació tècnica, les puntuacions segueixen una distribució $N(70, 12)$. La institució decideix atorgar una "Menció d'Excel·lència" als alumnes que obtinguin una nota situada en el percentil $90$.

1. a) Quina és la nota mínima per obtenir aquesta menció?
2. b) Si es presenten $250$ alumnes, quants s'espera que obtinguin la menció?
3. c) Si triem dos alumnes a l'atzar, quina és la probabilitat que tots dos tinguin la menció?

Una xarxa social detecta que el $10\%$ dels comptes creats són "bots". Si en una hora es registren $400$ comptes nous:

1. a) Explica per què es pot aproximar el nombre de bots mitjançant una distribució normal.
2. b) Calcula, realitzant l'aproximació a la normal amb correcció de continuïtat, la probabilitat que hi hagi entre $35$ i $50$ bots (ambdós inclosos).
3. c) Calcula la probabilitat que el nombre de bots sigui superior a $45$.

Un centre de salut rural de Castilla y León disposa d'una plantilla d'11 professionals d'urgències entre personal mèdic de família i personal d'infermeria. Per organitzar la guàrdia nocturna del cap de setmana, s'escull a l'atzar un retén format per 3 professionals del total d'11.

Es sap amb certesa que la probabilitat que el retén estigui compost per 2 metges i 1 infermer és exactament el doble de la probabilitat que estigui compost per 1 metge i 2 infermers.

1. a) Si denotem per $m$ el nombre de metges de la plantilla (amb $2 \le m \le 9$), planteja l'equació combinatòria que modelitza la condició donada a partir de la regla de Laplace.
2. b) Resol algebraicament aquesta equació per esbrinar la composició exacta de la plantilla (quants metges i quants infermers hi ha al centre).
3. c) Amb la plantilla ja determinada, calcula la probabilitat que la guàrdia nocturna estigui constituïda exclusivament per professionals d'un mateix col·lectiu sanitari.

El sistema ordinari de matriculació de vehicles de la Direcció General de Trànsit (DGT) a Espanya assigna a cada automòbil un codi compost per 4 dígits (des del 0000 fins al 9999) seguits d'un bloc de 3 lletres consonants de l'alfabet espanyol, havent-se exclòs les 5 vocals (A, E, I, O, U) per evitar acrònims i mots malsonants, així com les lletres Ñ i Q per possibles confusions visuals. D'aquesta manera, es disposa d'un conjunt de 20 consonants admissibles.

1. a) Modela l'assignació de matrícules i calcula quants vehicles diferents es poden matricular en total. Justifica les tècniques de recompte aplicades a cada bloc de la matrícula.
2. b) Una càmera de control de trànsit enregistra la matrícula d'un infractor, però la imatge està parcialment desenfocada: l'agent comprova que el bloc numèric és capicua de quatre xifres amb la primera i segona xifra diferents (per exemple, 7337), i que les tres lletres són diferents entre si i apareixen en estricte ordre alfabètic ascendent (per exemple, CFX). Quantes matrícules del parc teòric de la DGT satisfan aquest patró?
3. c) Si se selecciona un vehicle a l'atzar d'entre tots els possibles del sistema, determina la probabilitat que la seva matrícula no contingui cap dígit repetit i tampoc contingui cap consonant repetida. Expressa el resultat en forma de fracció irreductible i amb quatre xifres decimals.

Una empresa de cibersetguretat genera claus d'accés mitjançant la permutació dels caràcters de la paraula BLOCKCHAIN. Es tria una d'aquestes claus a l'atzar.

1. a) Calcula la probabilitat que la clau triada comenci i acabi per vocal.
2. b) Determina la probabilitat que totes les vocals apareguin juntes a la clau.
3. c) Si es sap que la clau comença per B, quina és la probabilitat que la segona lletra sigui una L?

Un servidor d'emmagatzematge de dades rep peticions de tres tipus de clients: Bronze ($50\%$), Plata ($30\%$) i Or ($20\%$). A causa de la saturació, el servidor pot rebutjar peticions. Es sap que la probabilitat que una petició sigui rebutjada és del $10\%$ per a clients Bronze, del $5\%$ per a clients Plata i del $1\%$ per a clients Or.

1. a) Si es selecciona una petició a l'atzar i resulta ser rebutjada, quina és la probabilitat que procedeixi d'un client de tipus Bronze?
2. b) Després d'una actualització del sistema, la probabilitat total de rebuig ha baixat al $4\%$. Si les probabilitats dels clients Plata i Or es mantenen iguals, quina és la nova probabilitat de rebuig per als clients Bronze?

Es disposa d'una urna $A$ amb 4 boles blanques i 6 boles negres, i una urna $B$ amb 7 boles blanques i 3 negres. Es llança un dau equilibrat: si surt un nombre menor o igual que 2, s'extreu una bola de la urna $A$ i s'introdueix a la $B$, per després extreure una bola de $B$. Si surt un nombre major que 2, s'extreu una bola de la urna $B$ i s'introdueix a la $A$, per després extreure una bola de $A$.

Calcula la probabilitat que la bola extreta en segon lloc sigui blanca.

Un sistema de punteria làser per a cirurgia ocular té un error de desviació $X$, mesurat en micres, que segueix una funció de densitat donada per:

$$f(x) = \begin{cases} k(4x - x^3) & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ 0 & \text{a la resta} \end{cases}$$

1. a) Determina el valor de la constant $k$ perquè $f(x)$ sigui una funció de densitat legítima.
2. b) Calcula la probabilitat que la desviació sigui superior a 1 micra.
3. c) Obtén l'esperança matemàtica de la desviació. Quin significat té aquest valor en el context de la cirurgia?

Un sistema de comunicació satel·lital transmet paquets de dades. Cada paquet té una probabilitat $p = 0,002$ de corrompre's durant la transmissió de forma independent. Per assegurar la recepció, s'envia un bloc de $2500$ paquets.

1. a) Justifica per què es pot aproximar el nombre de paquets corromputs mitjançant una distribució normal.
2. b) Calcula la probabilitat que es corrompin entre 4 i 8 paquets (tots dos inclosos).
3. c) Si el sistema de correcció d'errors només pot reparar fins a 10 paquets per bloc, quina és la probabilitat que el bloc sigui irreparable?

El temps de resposta d'un sensor industrial segueix una distribució normal $N(\mu, \sigma)$. Es sap que el $15,87\%$ de les respostes triguen més de $82$ mil·lisegons, i que només el $2,28\%$ de les respostes són més ràpides que $58$ mil·lisegons.

1. a) Calcula els paràmetres $\mu$ i $\sigma$ del temps de resposta.
2. b) Si el fabricant garanteix que el sensor respon en menys de $85$ ms, quin percentatge dels sensors no compliran la garantia?

En un examen d'enginyeria amb 100 alumnes, les notes segueixen una distribució normal de mitjana $6,2$ i desviació típica $1,5$. El professor decideix que el $10\%$ dels alumnes amb millors notes obtindran la qualificació de "Excel·lent", mentre que aquells la nota dels quals estigui per sota d'una desviació típica de la mitjana suspendran.

1. a) Quina és la nota mínima per obtenir un "Excel·lent"?
2. b) Quants alumnes s'espera que suspenguin l'examen?
3. c) Si triem tres alumnes a l'atzar, quina és la probabilitat que almenys un d'ells tingui una nota superior a 7?

Un dispositiu electrònic consta de dos components crítics, $C_1$ i $C_2$, connectats en paral·lel (el dispositiu funciona si almenys un dels dos funciona). La probabilitat que $C_1$ falli en un any és $0,15$, i la que $C_2$ falli és $0,20$. Tanmateix, les fallades no són independents: si $C_1$ falla, la probabilitat que $C_2$ també falli augmenta a $0,60$.

1. a) Calcula la probabilitat que el dispositiu falli abans d'un any.
2. b) Són els successos "Falla $C_1$" i "Falla $C_2$" dependents? Justifica la teva resposta amb càlculs.
3. c) Si el dispositiu ha fallat, quina és la probabilitat que el component $C_1$ hagi fallat?

En una auditoria tècnica de ciberseguretat s'analitzen 18 servidors de dades que pertanyen a una entitat bancària. S'ha detectat que 4 d'aquests presenten una fallada crítica de seguretat no pedaçada, mentre que els 14 restants són completament segurs. L'equip auditor selecciona a l'atzar una mostra de 5 servidors per sotmetre'ls a una prova de penetració. Es vol calcular la probabilitat de l'esdeveniment $A$: «a la mostra extreta hi ha almenys dos servidors vulnerables».

1. a) Desenvolupa el càlcul de $P(A)$ mitjançant dos camins analítics diferents:

• Camí 1 (Recompte directe): particionar els casos favorables segons el nombre exacte de servidors vulnerables trobats.

• Camí 2 (Pas a l'esdeveniment contrari): calcular la probabilitat de l'esdeveniment complementari $A^c$.

Comprova que tots dos procediments condueixen a la mateixa fracció irreductible.

1. b) Si la mida del lot augmentés a 30 servidors i la mostra a extreure fos de 10 servidors, analitza quin dels dos mètodes ofereix un avantatge operatiu real davant d'errors de càlcul i justifica-ho basant-te en l'estructura combinatòria de les particions.
2. c) Un assistent de l'equip proposa calcular els casos favorables de l'esdeveniment $A$ de la manera següent: «Triem primer 2 servidors vulnerables d'entre els 4 disponibles de $\binom{4}{2}$ maneres; després, triem els 3 servidors restants d'entre els 16 que queden al lot de $\binom{16}{3}$ maneres. Per tant, els casos favorables són $\binom{4}{2} \cdot \binom{16}{3}$». Demostra analíticament per què aquest raonament és erroni i precisa si produeix una sobreestimació o una subestimació del nombre real de casos.

Per constituir un tribunal examinador d'oposicions docents en una comunitat autònoma, l'administració convoca per sorteig estricte 5 vocals a partir d'una llista tancada de 30 aspirants qualificats, formada per 18 dones i 12 homes. La normativa de funció pública exigeix el principi de presència equilibrada: el tribunal no pot tenir més del $60\,\%$ de vocals d'un mateix sexe (és a dir, el tribunal ha de comptar amb almenys 2 dones i almenys 2 homes).

1. a) Modela la selecció del tribunal mitjançant combinacions i calcula la probabilitat que un tribunal extret a l'atzar compleixi directament la normativa de presència equilibrada.
2. b) Suposem que a la llista de 30 persones figuren dos docents concrets (un home i una dona) que tenen parentiu de primer grau, per la qual cosa la llei de règim jurídic prohibeix que tots dos coincideixin en el mateix tribunal. Si l'administració descarta per sorteig previ la possibilitat que coincideixin, restringint l'espai mostral únicament a tribunals on no coincideixin els dos familiars, determina si la probabilitat que el tribunal compleixi la paritat augmenta o disminueix respecte a l'obtinguda a l'apartat a). Justifica quantitativament la teva conclusió.
3. c) Es planteja com a alternativa modificar el procediment de sorteig: en lloc d'un únic sorteig de 5 persones sobre els 30 candidats, fer dues urnes separades (una per a dones i una altra per a homes) i sortejar aleatòriament 3 dones i 2 homes amb probabilitat $0,5$, o 2 dones i 3 homes amb probabilitat $0,5$. Justifica matemàticament si aquest nou mecanisme manté o altera la probabilitat individual que té cada docent de ser seleccionat respecte al sorteig equiprobable original.