Exercicis: Probabilitat total i teorema de Bayes

En un institut, els alumnes de 2n de Batxillerat poden triar entre dues plataformes per fer els seus treballs al núvol: el $65\%$ utilitza Google Workspace i la resta utilitza Microsoft 365. Es sap que el $20\%$ dels usuaris de Google utilitza eines d'Intel·ligència Artificial per redactar esborranys, mentre que a Microsoft ho fa el $15\%$.

Calcula la probabilitat que un alumne triat a l'atzar utilitzi Intel·ligència Artificial per als seus esborranys.

Una cadena de supermercats ven iogurts de dos proveïdors diferents. El $40\%$ prové del Proveïdor A i el $60\%$ del Proveïdor B. El control de qualitat indica que el $5\%$ dels iogurts del Proveïdor A presenten defectes d'envasament, mentre que al Proveïdor B aquest defecte només apareix en el $2\%$ dels casos.

Si comprem un iogurt i comprovem que té un defecte d'envasament, quina és la probabilitat que procedeixi del Proveïdor A?

Un creador de contingut de TikTok observa que els seus vídeos curts es visualitzen de dues maneres: a través de l'Algorisme de recomanacions ($80\%$ de les vegades) o a través de Cerca directa ($20\%$). La probabilitat que un usuari faci «M'agrada» és de $0,10$ si el vídeo arriba per recomanació, i de $0,30$ si l'usuari el va cercar directament.

Troba la probabilitat que un usuari qualsevol que visualitzi el vídeo faci «M'agrada».

En un torneig d'eSports, un jugador arriba a la final. Pot triar entre dues estratègies: Ofensiva (la tria el $70\%$ de les vegades) o Defensiva (el $30\%$). Si juga de forma ofensiva, guanya la partida amb una probabilitat de $0,6$, mentre que si juga de forma defensiva, la seva probabilitat de victòria és de $0,4$.

Sabent que el jugador ha guanyat la partida, calcula la probabilitat que hagi utilitzat una estratègia defensiva.

Un servei de missatgeria utilitza tres rutes per repartir paquets en una ciutat: Ruta Nord ($50\%$), Ruta Sud ($30\%$) i Ruta Centre ($20\%$). Els retards en el lliurament ocorren el $2\%$ de les vegades a la ruta Nord, el $4\%$ a la Sud i el $10\%$ a la ruta Centre.

Determina el percentatge total de paquets que s'entreguen amb retard en aquesta ciutat.

Es realitza un estudi sobre una nova aplicació d'entrenament físic. S'estima que el $1\%$ dels adolescents d'una ciutat la utilitza. L'aplicació té una funció de "repte diari" que es completa amb èxit el $95\%$ de les vegades si l'usuari és constant, però si no ho és (el $99\%$ de la població no utilitza l'app), la probabilitat de completar un repte similar per atzar és de només $0,05$.

Si seleccionem un jove a l'atzar i veiem que ha completat el repte amb èxit, quina és la probabilitat que sigui un usuari constant de l'aplicació?

En una empresa de disseny, el $60\%$ dels empleats són Dissenyadors Sènior i el $40\%$ són Júniors. En la darrera campanya publicitària, el $90\%$ dels Sèniors van utilitzar programari de disseny vectorial, mentre que entre els Júniors només ho va fer el $70\%$.

Si triem un empleat a l'atzar, calcula la probabilitat que no hagi utilitzat programari de disseny vectorial.

Un concessionari de cotxes elèctrics ven tres models: Compacte ($40\,\%$), Berlina ($35\,\%$) i SUV ($25\,\%$). S'ha observat que necessiten una revisió de programari el primer mes el $3\,\%$ dels Compactes, el $2\,\%$ de les Berlines i el $5\,\%$ dels SUV. La figura mostra el diagrama d'arbre de la situació.

Si un client truca perquè el seu cotxe ha necessitat una revisió de programari el primer mes, quin model és més probable que hagi comprat? Justifica la resposta calculant les probabilitats corresponents.

En Marcos està resolent un problema de control de qualitat per a una cooperativa oliera de Jaén. El subministrament d'oliva prové de dues finques: la finca $F_1$ aporta el $60\,\%$ de la collita i la finca $F_2$ el $40\,\%$. El percentatge d'oliva no apta per produir oli verge extra és del $5\,\%$ a la finca $F_1$ i del $10\,\%$ a la finca $F_2$. L'enunciat demana calcular la probabilitat que una oliva no apta procedeixi de la finca $F_1$. En Marcos escriu al seu examen:

«$P(F_1 | \text{No apta}) = P(F_1) \cdot P(\text{No apta} | F_1) = 0{,}60 \cdot 0{,}05 = 0{,}03$. Per tant, hi ha un $3\,\%$ de probabilitat que vingui de la finca $F_1$. Té sentit perquè és un nombre menor que $1$».

1. a) Identifica i explica detalladament els dos errors conceptuals que ha comès en Marcos (un de relacionat amb la confusió entre intersecció i probabilitat condicionada, i un altre amb el Teorema de Bayes).
2. b) Corregeix l'exercici calculant de manera rigorosa la probabilitat sol·licitada.

Segons els informes de mobilitat de viatgers en un corredor ferroviari espanyol, el $50\,\%$ dels usuaris viatja en serveis d'Alta Velocitat (AVE/Avlo), el $30\,\%$ en Mitjana Distància i el $20\,\%$ restant en Rodalies. Els registres de puntualitat indiquen que la probabilitat de patir una demora superior a $15$ minuts és del $2\,\%$ a Alta Velocitat, del $6\,\%$ a Mitjana Distància i del $10\,\%$ a Rodalies.

1. a) Justifica que els tipus de tren formen un sistema complet d'esdeveniments i defineix amb claredat els esdeveniments que hi intervenen.
2. b) Calcula la probabilitat que un viatger triat a l'atzar en aquest corredor arribi a la seva destinació amb més de $15$ minuts de demora.
3. c) Si un viatger seleccionat a l'atzar va patir una demora superior a $15$ minuts, calcula la probabilitat que el seu viatge fos en Alta Velocitat. Comenta el resultat: per què aquesta probabilitat és relativament baixa malgrat que la meitat dels bitllets venuts corresponen a aquest servei?

En un centre d'alt rendiment per a e-sports, els jugadors s'entrenen en tres plataformes diferents: PC, consola i dispositius mòbils. El $50\ \%$ dels jugadors utilitza PC, el $30\ \%$ utilitza consola i la resta dispositius mòbils. S'ha observat que el rendiment disminueix per fatiga visual en el $8\ \%$ dels jugadors de PC, en el $5\ \%$ dels de consola i en el $12\ \%$ dels que utilitzen mòbils.

1. a) Calcula la probabilitat que un jugador triat a l'atzar presenti fatiga visual.

1. b) Si seleccionem un jugador i veiem que pateix fatiga visual, quina és la probabilitat que s'entreni habitualment amb un dispositiu mòbil?

Una empresa de ciberseguretat analitza el tràfic de correu electrònic d'una startup tecnològica. El $70\ \%$ dels correus rebuts són interns, el $20\ \%$ provenen de clients coneguts i el $10\ \%$ restant són correus externs d'origen desconegut. El filtre de seguretat marca com a "sospitós" el $1\ \%$ dels correus interns, el $4\ \%$ dels correus de clients i el $25\ \%$ dels correus desconeguts.

1. a) Determina la probabilitat que un correu triat a l'atzar sigui marcat com a sospitós pel sistema.

1. b) Si un empleat rep una notificació de correu sospitós, quina és la probabilitat que el correu sigui realment d'origen desconegut?

En una planta de muntatge de bateries per a cotxes elèctrics, s'utilitzen dues línies de producció, $L_1$ i $L_2$. La línia $L_1$ produeix el $60\ \%$ de les bateries i la $L_2$ la resta. Es sap que el $2\ \%$ de les bateries de $L_1$ presenten defectes en el segellament, mentre que a $L_2$ aquest defecte apareix en el $5\ \%$ de les unitats.

1. a) Si es tria una bateria a l'atzar de la producció total, quina és la probabilitat que no sigui defectuosa?

1. b) Si en fer un control de qualitat es detecta una bateria defectuosa, quina línia té més probabilitat d'haver-la fabricat? Justifica la teva resposta calculant totes dues probabilitats a posteriori.

Un estudi sobre mobilitat sostenible en una ciutat indica que el $45\ \%$ dels trajectes es fan en transport públic, el $35\ \%$ en bicicleta o patinet elèctric i el $20\ \%$ en cotxe privat. S'estima que la probabilitat d'arribar tard a la feina és de 0,15 si s'utilitza transport públic, de 0,05 si s'utilitza bicicleta/patinet i de 0,30 si s'utilitza cotxe privat (a causa dels embussos).

1. a) Calcula la probabilitat que un ciutadà triat a l'atzar arribi puntual al seu lloc de treball.

1. b) Si sabem que un treballador ha arribat tard, quina és la probabilitat que hagi viatjat en el seu cotxe privat?

Un laboratori farmacèutic desenvolupa un test ràpid per detectar una deficiència vitamínica que afecta el $5\ \%$ de la població jove. Els assaigs clínics mostren que el test dóna positiu en el $96\ \%$ de les persones que realment tenen la deficiència. No obstant això, també dóna un "fals positiu" en el $2\ \%$ de les persones sanes.

1. a) Quin percentatge de la població total donarà positiu en el test?

1. b) Si un jove es fa el test i el resultat és positiu, quina és la probabilitat real que pateixi aquesta deficiència vitamínica? Comenta si el resultat et sembla alt o baix en relació amb la fiabilitat del test.

En una assignatura de segon de Batxillerat, els alumnes poden optar per fer un projecte final de tres temàtiques: Robòtica, Programació o Energies Renovables. El $25\ \%$ tria Robòtica, el $40\ \%$ Programació i el $35\ \%$ Energies Renovables. La probabilitat d'obtenir una qualificació d'Excel·lent és de 0,20 en Robòtica, 0,15 en Programació i 0,10 en Energies Renovables.

1. a) Troba la probabilitat que un alumne de la classe, triat a l'atzar, no obtingui un Excel·lent.

1. b) Sabent que un alumne ha obtingut un Excel·lent, quina és la probabilitat que el seu projecte fos sobre Robòtica?

Un servei de streaming de música classifica els seus usuaris en tres categories: "Free" (amb anuncis), "Premium" i "Family". El $60\ \%$ són usuaris Free, el $30\ \%$ Premium i el $10\ \%$ Family. Es sap que el $80\ \%$ dels usuaris Free escolten més de 2 hores diàries, mentre que aquest percentatge és del $90\ \%$ per als Premium i del $95\ \%$ per als Family.

1. a) Triat un usuari a l'atzar, quina és la probabilitat que escolti música 2 hores o menys al dia?

1. b) Si seleccionem un usuari que escolta més de 2 hores diàries de música, quina és la probabilitat que pertanyi a la modalitat "Premium"?

En un examen d'accés a la Universitat, un estudiant es troba amb una pregunta d'opció múltiple amb 4 respostes possibles, de les quals només una és vertadera. La probabilitat que l'estudiant conegui la resposta correcta és de 0,6. Si la coneix, respon correctament amb seguretat. Si no la coneix, tria una de les 4 opcions a l'atzar.

1. a) Quina és la probabilitat que l'estudiant respongui correctament a la pregunta?

1. b) Si el corrector observa que la resposta marcada és la correcta, quina és la probabilitat que l'estudiant realment conegués la matèria i no hagi respost a l'atzar?

En una campanya preventiva de trànsit de la DGT en vies interurbanes, s'estima que l'$1\,\%$ dels conductors circula havent consumit substàncies no permeses ($S$). El test indiciari salival emprat en els controls té una sensibilitat del $98\,\%$ (si un conductor ha consumit, dóna positiu amb probabilitat $0{,}98$), però presenta una taxa de falsos positius del $4\,\%$ (en conductors que no han consumit, el test dóna positiu per error amb probabilitat $0{,}04$).

1. a) Abans de fer cap càlcul numèric: si un conductor dóna positiu en el control, estima de manera intuïtiva i raona breument si la probabilitat que realment hagi consumit estarà més a prop del $90\,\%$, del $50\,\%$ o per sota del $25\,\%$.
2. b) Aplica el teorema de Bayes per calcular amb rigor $P(S | \text{Positiu})$.
3. c) Compara el valor obtingut amb la teva estimació de l'apartat a). Explica quin fenomen probabilístic provoca aquest resultat i per què la normativa exigeix enviar una segona mostra a un laboratori toxicològic abans de tramitar la sanció.

Un centre logístic de paqueteria ubicat al Corredor del Henares distribueix els seus enviaments mitjançant dues línies automatitzades de classificació, $L_1$ i $L_2$. La línia $L_1$ assumeix una proporció $p$ del volum total de paquets ($0 < p < 1$), mentre que la línia $L_2$ classifica la fracció restant ($1-p$). A causa del desgast mecànic, la línia $L_1$ deteriora l'$1\,\%$ dels paquets que processa, mentre que la línia $L_2$, de tecnologia més antiga, deteriora el $4\,\%$.

1. a) Expressa en funció de $p$ la probabilitat que un paquet seleccionat a l'atzar al final del procés resulti danyat, $P(D)$.
2. b) La direcció tècnica estableix que, per no sobrecarregar el departament de peritatge de la línia $L_1$, de tots els paquets que es detectin danyats, com a màxim el $20\,\%$ han de procedir d'aquesta línia ($P(L_1 | D) \le 0{,}20$). Planteja la inequació corresponent i determina quin percentatge mínim del trànsit total de paquets s'ha d'assignar a la línia $L_2$ per satisfer aquest criteri de qualitat.

Una empresa de ciberseguretat utilitza tres sistemes d'intel·ligència artificial ($S_1$, $S_2$ i $S_3$) per detectar intents d'accés no autoritzats en una xarxa corporativa. El sistema $S_1$ gestiona el $45 \%$ de les alertes, el $S_2$ el $35 \%$ i el $S_3$ la resta.

Se sap per auditories prèvies que, entre les alertes emeses per cada sistema, són falses alarmes (es dona com a atac un accés legítim) el $2 \%$ de les de $S_1$, el $5 \%$ de les de $S_2$ i el $8 \%$ de les de $S_3$. La resta de les alertes de cada sistema corresponen a atacs reals. D'altra banda, la probabilitat que un sistema ignori un atac real (fals negatiu) és de l'$1 \%$ en tots els casos; és una dada que no necessitaràs per a aquest problema.

En un moment determinat, salta una alerta al panell de control indicant un atac.

1. a) Representa la situació mitjançant un diagrama d'arbre detallant les probabilitats de cada branca.

1. b) Calcula la probabilitat que l'alerta emesa sigui realment una falsa alarma.

1. c) Si es confirma que l'alerta era una falsa alarma, quina és la probabilitat que hagi estat generada pel sistema $S_3$?

Una línia de muntatge automatitzada produeix drons de curses. La fàbrica utilitza dos tipus de motors: el motor Alpha, que s'instal·la en el $60 \%$ dels drons, i el motor Beta, que s'instal·la en la resta. A causa de l'alta precisió requerida, alguns motors presenten fallades de calibratge.

Es coneix que el $5 \%$ dels motors Alpha són defectuosos. Després de fer un test de qualitat al final de la línia, s'observa que la probabilitat total de trobar un dron amb motor defectuós és del $4,4 \%$.

1. a) Calcula la probabilitat que un motor sigui defectuós sabent que és de tipus Beta.
2. b) Es tria un dron a l'atzar i el test de qualitat indica que el motor funciona correctament. Quina probabilitat hi ha que el dron munti un motor Alpha?

En un centre d'alt rendiment esportiu, els atletes es sotmeten a un control de dopatge. El $1 \%$ dels atletes consumeix una substància prohibida. El test utilitzat té una fiabilitat del $98 \%$ (probabilitat de donar positiu si s'ha consumit la substància). No obstant això, el test també produeix un $3 \%$ de "falsos positius" (donar positiu en atletes que no han consumit res).

1. a) Si un atleta dóna positiu en el control, quina és la probabilitat que realment hagi consumit la substància?
2. b) El comitè decideix fer un segon test independent al mateix atleta si el primer dóna positiu. Si aquest segon test (amb la mateixa fiabilitat) també resulta positiu, quina és la probabilitat ara que l'atleta sigui culpable? Justifica si la confiança en el veredicte ha augmentat significativament.

Un estudi sobre el consum de contingut en streaming revela que el $70 \%$ dels joves d'una ciutat estan subscrits a la Plataforma A, el $40 \%$ a la Plataforma B i el $20 \%$ a totes dues. Es tria un jove a l'atzar.

1. a) Sabent que està subscrit a la Plataforma B, quina és la probabilitat que també ho estigui a la Plataforma A? Són independents els successos "Estar subscrit a A" i "Estar subscrit a B"?

1. b) Se sap que el $15 \%$ dels usuaris només de la Plataforma A prefereixen els documentals, el $25 \%$ dels usuaris només de la Plataforma B també els prefereixen, i entre els que estan en totes dues plataformes, aquesta preferència puja al $50 \%$. Entre els joves que no estan subscrits a cap de les dues plataformes, el $10 \%$ prefereix els documentals. Si un jove triat a l'atzar prefereix els documentals, quina és la probabilitat que estigui subscrit a totes dues plataformes?

En un laboratori de biotecnologia es manipulen tres tipus de bacteris: $T_1$, $T_2$ i $T_3$. Hi ha un contenidor que conté 100 mostres: 20 de $T_1$, 30 de $T_2$ i 50 de $T_3$. La probabilitat que una mostra desenvolupi una resistència antibiòtica en 24 hores és de $0,2$ per a $T_1$, $0,4$ per a $T_2$ i un valor desconegut $p$ per a $T_3$.

S'extreu una mostra a l'atzar i s'observa que ha desenvolupat resistència després de 24 hores. Sabent que la probabilitat que aquesta mostra sigui del tipus $T_2$ és de $0,375$:

1. a) Determina el valor de la probabilitat $p$ associada als bacteris del tipus $T_3$.
2. b) Amb el valor de $p$ obtingut, calcula la probabilitat que, en triar una mostra a l'atzar, aquesta no desenvolupi resistència.

Un canal de notícies utilitza tres fonts diferents per obtenir informació: Agències ($A$), Corresponsals ($C$) i Xarxes socials ($R$). El $50 \%$ de les notícies provenen de $A$, el $30 \%$ de $C$ i la resta de $R$.

La probabilitat que una notícia sigui falsa ( fake news) és de $0,01$ si prové de $A$ i de $0,05$ si prové de $C$. S'ha detectat que, si es tria una notícia a l'atzar i resulta que és falsa, la probabilitat que procedeixi de les Xarxes socials és de $0,75$.

1. a) Calcula la probabilitat que una notícia provenient de les Xarxes socials sigui falsa.
2. b) Calcula la probabilitat total que una notícia triada a l'atzar en aquest canal sigui verídica.

Tres màquines, $M_1$, $M_2$ i $M_3$, fabriquen peces de precisió. $M_1$ produeix el doble de peces que $M_2$, i $M_3$ produeix el mateix nombre que $M_1$ i $M_2$ juntes. El percentatge de peces defectuoses és del $2 \%$ per a $M_1$ i del $4 \%$ per a $M_2$.

Es sap que, en agafar una peça a l'atzar de la producció total, la probabilitat que sigui defectuosa és del $2,5 \%$.

1. a) Calcula el percentatge de peces defectuoses que produeix la màquina $M_3$.
2. b) Si agafem una peça i comprovem que és defectuosa, quina és la màquina que té més probabilitat d'haver-la fabricat?

En un examen d'oposició, el temari consta de 80 temes. El tribunal extreu dos temes a l'atzar (sense reemplaçament) i l'opositor n'ha de triar un per desenvolupar-lo. Un opositor només s'ha preparat 45 temes.

1. a) Quina és la probabilitat que l'opositor pugui triar almenys un tema que se sap?
2. b) Suposem que l'opositor aprova si el tema triat és un dels que s'ha preparat. Si sabem que l'opositor ha suspès perquè no ha pogut triar cap tema dels extrets, quina és la probabilitat que, si l'examen hagués consistit a extreure tres temes en lloc de dos, hagués tingut l'oportunitat de triar-ne almenys un? Justifica matemàticament si la probabilitat d'aprovar augmentaria significativament.

En un programa de salut pública del Sistema Nacional de Salut (SNS) per a la detecció precoç del càncer colorectal en persones d'entre $50$ i $69$ anys, la prevalença de la patologia en aquest grup demogràfic és del $0{,}5\,\%$. El test de sang oculta en femta utilitzat té una sensibilitat del $80\,\%$ (dóna positiu en el $80\,\%$ de les persones malaltes) i una taxa de falsos positius del $3\,\%$ (dóna positiu en el $3\,\%$ de les persones sanes). Un pacient dóna positiu en el cribratge i es vol calcular la probabilitat que realment pateixi la malaltia, $P(E | +)$.

1. a) Mètode 1 (Àlgebra d'esdeveniments): Planteja formalment el sistema complet d'esdeveniments, les probabilitats a priori, les versemblances i resol $P(E | +)$ aplicant el teorema de la probabilitat total i el teorema de Bayes.
2. b) Mètode 2 (Freqüències naturals): Modela la situació a partir d'una cohort hipotètica de $100.000$ persones. Construeix una taula de contingència $2 \times 2$ amb les quantitats enteres d'individus sans/malalts i positius/negatius, i dedueix directament a partir d'aquesta el valor de $P(E | +)$.
3. c) Avaluació crítica: Compara ambdós mètodes i justifica raonadament per què diverses investigacions en psicologia cognitiva i educació matemàtica sostenen que el Mètode 2 resulta molt més transparent i redueix el biaix cognitiu de diagnòstic enfront de la formulació algebraica abstracta del Mètode 1.

El departament d'auditoria informàtica d'una entitat bancària espanyola supervisa les transferències internacionals per prevenir el frau. Les operacions s'originen a través de tres canals: Canal SEPA/UE ($70\,\%$ del volum total), Canal Internacional Ordinari ($20\,\%$) i Canal Internacional d'Alt Risc ($10\,\%$). Per registres històrics se sap que la probabilitat que una transferència sigui fraudulenta ($F$) és del $0{,}1\,\%$ al canal SEPA, del $0{,}5\,\%$ a l'Internacional Ordinari i d'un valor desconegut $k$ ($0 < k \le 1$) al d'Alt Risc.

1. a) Si la probabilitat global que una transferència triada a l'atzar al banc sigui fraudulenta és exactament de $0{,}0037$ ($0{,}37\,\%$), calcula el valor del paràmetre $k$ mitjançant el teorema de la probabilitat total.
2. b) Si el sistema de seguretat intercepta una transferència i es comprova que és fraudulenta, determina mitjançant el teorema de Bayes de quin canal és més probable que provingui.
3. c) Raona la qüestió teòrica següent: Suposa que es mantenen inalterades les taxes de frau intrínseques de cada canal (els percentatges condicionats $P(F|\text{canal})$ de l'enunciat). Seria possible modificar únicament el repartiment del volum d'operacions entre els tres canals de manera que, davant d'una transferència que sabem fraudulenta, fos més probable que procedís del Canal SEPA que dels altres dos junts ($P(\text{SEPA}|F) > 0{,}50$)? Justifica la teva resposta deduint quina condició algebraica haurien de complir les noves quotes de mercat dels canals.