Probabilidad total y teorema de Bayes

En un torneo de eSports, un jugador llega a la final. Puede elegir entre dos estrategias: Ofensiva (la elige el $70\%$ de las veces) o Defensiva (el $30\%$). Si juega de forma ofensiva, gana la partida con una probabilidad de $0,6$, mientras que si juega de forma defensiva, su probabilidad de victoria es de $0,4$.

Sabiendo que el jugador ha ganado la partida, calcula la probabilidad de que haya utilizado una estrategia defensiva.

En un instituto, los alumnos de 2º de Bachillerato pueden elegir entre dos plataformas para realizar sus trabajos en la nube: el $65\%$ utiliza Google Workspace y el resto utiliza Microsoft 365. Se sabe que el $20\%$ de los usuarios de Google utiliza herramientas de Inteligencia Artificial para redactar borradores, mientras que en Microsoft lo hace el $15\%$.

Calcula la probabilidad de que un alumno elegido al azar utilice Inteligencia Artificial para sus borradores.

En un centro de alto rendimiento para e-sports, los jugadores se entrenan en tres plataformas distintas: PC, consola y dispositivos móviles. El $50\ \%$ de los jugadores usa PC, el $30\ \%$ usa consola y el resto dispositivos móviles. Se ha observado que el rendimiento disminuye por fatiga visual en el $8\ \%$ de los jugadores de PC, en el $5\ \%$ de los de consola y en el $12\ \%$ de los que usan móviles.

1. a) Calcula la probabilidad de que un jugador elegido al azar presente fatiga visual.

1. b) Si seleccionamos un jugador y vemos que sufre fatiga visual, ¿cuál es la probabilidad de que entrene habitualmente con un dispositivo móvil?

Un servicio de streaming de música clasifica a sus usuarios en tres categorías: "Free" (con anuncios), "Premium" y "Family". El $60\ \%$ son usuarios Free, el $30\ \%$ Premium y el $10\ \%$ Family. Se sabe que el $80\ \%$ de los usuarios Free escuchan más de 2 horas diarias, mientras que este porcentaje es del $90\ \%$ para los Premium y del $95\ \%$ para los Family.

1. a) Elegido un usuario al azar, ¿cuál es la probabilidad de que escuche música 2 horas o menos al día?

1. b) Si seleccionamos un usuario que escucha más de 2 horas diarias de música, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca a la modalidad "Premium"?

Una empresa de ciberseguridad utiliza tres sistemas de inteligencia artificial ($S_1$, $S_2$ y $S_3$) para detectar intentos de acceso no autorizados en una red corporativa. El sistema $S_1$ gestiona el $45 \%$ de las alertas, el $S_2$ el $35 \%$ y el $S_3$ el resto.

Se sabe por auditorías previas que la probabilidad de que un sistema emita una falsa alarma (dar como ataque un acceso legítimo) es del $2 \%$ para $S_1$, del $5 \%$ para $S_2$ y del $8 \%$ para $S_3$. Por otro lado, la probabilidad de que un sistema ignore un ataque real (falso negativo) es del $1 \%$ en todos los casos.

En un momento determinado, salta una alerta en el panel de control indicando un ataque.

1. a) Representa la situación mediante un diagrama en árbol detallando las probabilidades de cada rama.
2. b) Calcula la probabilidad de que la alerta emitida sea realmente una falsa alarma.
3. c) Si se confirma que la alerta era una falsa alarma, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido generada por el sistema $S_3$?

En un centro de alto rendimiento deportivo, los atletas se someten a un control de dopaje. El $1 \%$ de los atletas consume una sustancia prohibida. El test utilizado tiene una fiabilidad del $98 \%$ (probabilidad de dar positivo si se ha consumido la sustancia). Sin embargo, el test también produce un $3 \%$ de "falsos positivos" (dar positivo en atletas que no han consumido nada).

1. a) Si un atleta da positivo en el control, ¿cuál es la probabilidad de que realmente haya consumido la sustancia?
2. b) El comité decide realizar un segundo test independiente al mismo atleta si el primero da positivo. Si este segundo test (con la misma fiabilidad) también resulta positivo, ¿cuál es la probabilidad ahora de que el atleta sea culpable? Justifica si la confianza en el veredicto ha aumentado significativamente.

Un estudio sobre movilidad sostenible en una ciudad indica que el $45\ \%$ de los trayectos se realizan en transporte público, el $35\ \%$ en bicicleta o patinete eléctrico y el $20\ \%$ en coche privado. Se estima que la probabilidad de llegar tarde al trabajo es de 0,15 si se usa transporte público, de 0,05 si se usa bicicleta/patinete y de 0,30 si se usa coche privado (debido a los atascos).

1. a) Calcula la probabilidad de que un ciudadano elegido al azar llegue puntual a su puesto de trabajo.

1. b) Si sabemos que un trabajador ha llegado tarde, ¿cuál es la probabilidad de que haya viajado en su coche privado?

En un laboratorio de biotecnología se manipulan tres tipos de bacterias: $T_1$, $T_2$ y $T_3$. Hay un contenedor que contiene 100 muestras: 20 de $T_1$, 30 de $T_2$ y 50 de $T_3$. La probabilidad de que una muestra desarrolle una resistencia antibiótica en 24 horas es de $0,2$ para $T_1$, $0,4$ para $T_2$ y un valor desconocido $p$ para $T_3$.

Se extrae una muestra al azar y se observa que ha desarrollado resistencia después de 24 horas. Sabiendo que la probabilidad de que dicha muestra sea del tipo $T_2$ es de $0,375$:

1. a) Determina el valor de la probabilidad $p$ asociada a las bacterias del tipo $T_3$.
2. b) Con el valor de $p$ obtenido, calcula la probabilidad de que, al elegir una muestra al azar, esta no desarrolle resistencia.

Tres máquinas, $M_1$, $M_2$ y $M_3$, fabrican piezas de precisión. $M_1$ produce el doble de piezas que $M_2$, y $M_3$ produce el mismo número que $M_1$ y $M_2$ juntas. El porcentaje de piezas defectuosas es del $2 \%$ para $M_1$ y del $4 \%$ para $M_2$.

Se sabe que, al tomar una pieza al azar de la producción total, la probabilidad de que sea defectuosa es del $2,5 \%$.

1. a) Calcula el porcentaje de piezas defectuosas que produce la máquina $M_3$.
2. b) Si tomamos una pieza y comprobamos que es defectuosa, ¿cuál es la máquina que tiene mayor probabilidad de haberla fabricado?