Experimentos aleatorios

Clasifica los siguientes experimentos como deterministas o aleatorios, justificando brevemente tu respuesta en cada caso:

1. a) Soltar un smartphone desde una altura de un metro y observar si cae hacia el suelo.
2. b) Abrir una lista de reproducción en modo aleatorio y anotar cuál es la primera canción que suena.
3. c) Calcular el tiempo que tarda un coche en recorrer $200$ km si circula a una velocidad constante de $100$ km/h.
4. d) Preguntar a la primera persona que veas por la calle en qué mes nació.
5. e) Extraer una carta de una baraja española de $40$ cartas y observar su palo.

Extraemos una bola de una urna que contiene $5$ bolas numeradas del $1$ al $5$. Indica si los siguientes sucesos son posibles, seguros o imposibles:

1. a) $A = \text{"obtener un número mayor que 0"}$.
2. b) $B = \text{"obtener el número 7"}$.
3. c) $C = \text{"obtener un número par"}$.
4. d) $D = \text{"obtener un número menor o igual que 5"}$.
5. e) $F = \text{"obtener un número negativo"}$.

En un grupo de 2º de Bachillerato, se analizan las suscripciones a plataformas de streaming. Llamamos $A$ al suceso "estar suscrito a Netflix" y $B$ al suceso "estar suscrito a Spotify". Expresa con palabras el significado de los siguientes sucesos relacionados con las operaciones de conjuntos:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$
3. c) $\bar{A}$ (o suceso contrario de $A$)
4. d) $A - B$
5. e) $\bar{A} \cap \bar{B}$

En un nuevo juego de mesa estratégico, un jugador debe lanzar un dado tetraédrico (caras numeradas del $1$ al $4$) y, simultáneamente, extraer una carta de un mazo reducido que contiene únicamente los cuatro ases y los cuatro reyes de la baraja española.

Considerando el experimento aleatorio de anotar el número del dado y el valor de la carta (As o Rey):

1. a) Describe el espacio muestral $E$ del experimento.
2. b) Sean los sucesos:

$A$ = "Obtener un número par en el dado".

$B$ = "Obtener un As de cualquier palo".

$C$ = "Obtener un número menor que $3$ en el dado y que la carta sea un Rey".

Determina los elementos que componen los sucesos $A \cup B$, $A \cap B$ y $B \cap C$.

Sea $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ el espacio muestral de un experimento aleatorio. Dados los sucesos $A = \{1, 3, 5, 7\}$ y $B = \{2, 3, 5, 8\}$, obtén los siguientes conjuntos:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$
3. c) $A \cap \bar{B}$
4. d) Comprueba si se cumple la Primera Ley de Morgan: $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$.

Sean $A, B$ y $C$ tres sucesos cualesquiera de un experimento aleatorio. Demuestra formalmente, utilizando las propiedades del álgebra de sucesos (distributiva, complementariedad, etc.), la siguiente identidad:

$$(A \cup B) - (A \cap B) = (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$$

Explica qué nombre recibe esta operación en la teoría de conjuntos y representa el suceso resultante mediante un diagrama de Venn sombreado.

Observa el siguiente diagrama de Venn que representa la distribución de alumnos que practican Baloncesto ($B$) y Fútbol ($F$) en un polideportivo municipal.

A partir del gráfico, define mediante operaciones de sucesos las siguientes regiones:

1. a) Alumnos que practican ambos deportes.
2. b) Alumnos que practican baloncesto pero no fútbol.
3. c) Alumnos que practican al menos uno de los dos deportes.
4. d) Alumnos que no practican ninguno de los dos deportes mencionados.

En un entorno de desarrollo de aplicaciones móviles, un programador está testeando la seguridad de un sistema de acceso. Se define un experimento aleatorio consistente en generar una clave aleatoria de 4 dígitos usando únicamente los números $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Se consideran los siguientes sucesos:

• $A$: "La clave contiene al menos dos dígitos iguales consecutivos".

• $B$: "La suma de los dígitos de la clave es un número primo mayor que 15".

• $C$: "La clave es capicúa (se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda)".

Describe detalladamente el espacio muestral $E$ indicando su cardinal y utiliza el álgebra de sucesos para expresar simbólicamente los siguientes eventos:

1. La clave no es capicúa o bien la suma de sus dígitos no es un número primo mayor que 15.

2. La clave es capicúa y tiene al menos dos dígitos iguales consecutivos, pero la suma de sus dígitos no es un número primo mayor que 15.

3. Demuestra si los sucesos $A$ y $C$ son compatibles o incompatibles justificando tu respuesta mediante un ejemplo de un elemento del espacio muestral.