Exercicis: Experiments aleatoris

Classifica els experiments següents com a deterministes o aleatoris, justificant breument la teva resposta en cada cas:

1. a) Deixar anar un telèfon intel·ligent des d'una altura d'un metre i observar si cau cap al terra.
2. b) Obrir una llista de reproducció en mode aleatori i anotar quina és la primera cançó que sona.
3. c) Calcular el temps que triga un cotxe a recórrer $200$ km si circula a una velocitat constant de $100$ km/h.
4. d) Preguntar a la primera persona que vegis pel carrer en quin mes va néixer.
5. e) Extreure una carta d'una baralla espanyola de $40$ cartes i observar-ne el pal.

Un estudiant té al seu estoig tres bolígrafs de colors diferents: Blau (A), Negre (N) i Vermell (R). Decideix treure dos bolígrafs de manera consecutiva i sense retornar el primer a l'estoig.

1. a) Escriu l'espai mostral $E$ d'aquest experiment.
2. b) Indica quants successos elementals formen aquest espai mostral.
3. c) Defineix el succés compost $S = \text{"treure el bolígraf blau en qualsevol posició"}$.

Considerem l'experiment aleatori consistent a llançar un dau tetraèdric (4 cares) amb les cares numerades del $1$ al $4$, i una moneda de $1$ euro. Anotem el número de la cara inferior del dau i si la moneda mostra cara $(C)$ o creu $(X)$.

1. a) Utilitza un diagrama d'arbre per representar tots els resultats possibles.
2. b) Escriu l'espai mostral $E$.
3. c) Determina els elements del succés $A = \text{"obtenir un nombre parell al dau i cara a la moneda"}$.

En un grup de 2n de Batxillerat, s'analitzen les subscripcions a plataformes de streaming. Anomenem $A$ el succés "estar subscrit a Netflix" i $B$ el succés "estar subscrit a Spotify". Expressa amb paraules el significat dels successos següents relacionats amb les operacions de conjunts:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$
3. c) $\bar{A}$ (o succés contrari de $A$)
4. d) $A - B$
5. e) $\bar{A} \cap \bar{B}$

Un videojoc de rol permet crear un personatge triant entre dues faccions: Guerrer (G) o Mag (M). A més, el personatge pot ser de tres races: Humà (H), Elf (E) o Nan (D).

Es tria un personatge a l'atzar del servidor de joc.

1. a) Escriu l'espai mostral $E$ utilitzant la nomenclatura de les inicials (per exemple, $GH$ per a Guerrer Humà).
2. b) Descriu el succés $S = \text{"el personatge no és un Mag"}$.
3. c) Si anomenem $A$ el succés $\text{"el personatge és un Elf"}$, indica quins elements componen el succés contrari $\bar{A}$.

Sigui $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ l'espai mostral d'un experiment aleatori. Donats els successos $A = \{1, 3, 5, 7\}$ i $B = \{2, 3, 5, 8\}$, obtén els conjunts següents:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$
3. c) $A \cap \bar{B}$
4. d) Comprova si es compleix la Primera Llei de De Morgan: $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$.

Observa el diagrama de Venn següent que representa la distribució d'alumnes que practiquen Bàsquet ($B$) i Futbol ($F$) en un poliesportiu municipal.

A partir del gràfic, defineix mitjançant operacions de successos les regions següents:

1. a) Alumnes que practiquen tots dos esports.
2. b) Alumnes que practiquen bàsquet però no futbol.
3. c) Alumnes que practiquen almenys un dels dos esports.
4. d) Alumnes que no practiquen cap dels dos esports esmentats.

Extreiem una bola d'una urna que conté $5$ boles numerades del $1$ al $5$. Indica si els successos següents són possibles, segurs o impossibles:

1. a) $A = \text{"obtenir un nombre més gran que 0"}$.
2. b) $B = \text{"obtenir el nombre 7"}$.
3. c) $C = \text{"obtenir un nombre parell"}$.
4. d) $D = \text{"obtenir un nombre més petit o igual que 5"}$.
5. e) $F = \text{"obtenir un nombre negatiu"}$.

L'Hugo, estudiant de 2n de Batxillerat, analitza el control de qualitat de components electrònics en una planta d'automoció a Navarra. Per a cada component seleccionat a l'atzar, defineix els esdeveniments $A$: «el component presenta defecte elèctric» i $B$: «el component presenta defecte mecànic». En redactar l'informe tècnic, l'Hugo afirma: «L'esdeveniment consistent en el fet que un component no presenti cap dels dos defectes s'expressa formalment com a $\overline{A} \cup \overline{B}$».\na) Troba l'error conceptual comès per l'Hugo i explica amb precisió quin tipus de components estan representats realment per la unió $\overline{A} \cup \overline{B}$.\nb) Corregeix la seva proposta escrivint de manera matemàticament rigorosa l'esdeveniment «el component no presenta cap dels dos defectes» de dues maneres equivalents: primer com una intersecció d'esdeveniments i després aplicant les Lleis de De Morgan a partir d'una unió.

En un estudi sobre la puntualitat del transport públic de la Comunitat de Madrid, s'analitza la línia C-4 de Rodalies entre les estacions de Cantoblanco Universidad i Nuevos Ministerios. Considera les tres situacions següents associades a un trajecte:\n1. Mesurar la distància exacta en quilòmetres del traçat ferroviari entre totes dues estacions.\n2. Registrar si un tren programat a les $14{,}15\text{ h}$ arriba a la seva destinació amb un retard superior a $3$ minuts respecte a l'horari oficial.\n3. Calcular el temps exacte que trigarà un comboi sabent per endavant que circularà a una velocitat constant fixada de manera automàtica per ordinador de $60\text{ km/h}$ sobre un tram recte de $15\text{ km}$.\na) Classifica raonadament cadascuna de les tres situacions com a experiment determinista o aleatori.\nb) Per a la situació 2, descriu formalment el seu espai mostral $E_1$. Si s'observa el tren durant dos dies feiners consecutius anotant si pateix retard superior a $3$ minuts ($R$) o si resulta puntual ($P$), escriu l'espai mostral compost $E_2$ i enumera els esdeveniments elementals que formen l'esdeveniment $S$: «el tren pateix retard com a molt un dels dos dies».

En un experiment aleatori, l'espai mostral està format per un conjunt de nombres enters positius $E = \{1, 2, 3, \dots, n\}$. Es defineixen tres esdeveniments $A$, $B$ i $C$ sobre els quals es coneix la informació següent:\n1. $A \cap B = \{4, 6\}$\n2. $A - B = \{2, 8\}$\n3. $B - A = \{1, 3, 5\}$\n4. $C$ és un esdeveniment incompatible amb $A$ ($A \cap C = \emptyset$), però compatible amb $B$, complint-se que $B \cap C = \{3\}$.\n5. $\overline{A \cup B \cup C} = \{7, 9, 10\}$\n6. El nombre d'esdeveniments elementals que formen $C$ és igual a $3$.\na) Reconstrueix raonadament els conjunts que defineixen els esdeveniments $A$, $B$, $C$ i l'espai mostral complet $E$, determinant el valor del cardinal $n$.\nb) Expressa mitjançant operacions formals entre conjunts (unions, interseccions o complementaris) i escriu explícitament els elements de l'esdeveniment: «ocorre exactament un dels tres esdeveniments ($A$, $B$ o $C$)».

Un equip d'analistes de dades d'una plataforma de comerç electrònic amb seu a Espanya classifica cada reclamació segons dos factors: el canal d'entrada (Telèfon, Web, App mòbil) i el departament de resolució assignat (Logística, Facturació, Garanties, Atenció al client). L'experiment aleatori consisteix a registrar ambdós factors per a la propera reclamació rebuda.\na) Sense escriure la llista detallada de casos, fes una estimació intuïtiva de quants resultats elementals componen l'espai mostral $E$ i quants esdeveniments diferents en total (subconjunts d'$E$) es poden definir teòricament en aquest experiment. Comprova les teves estimacions calculant el cardinal d'$E$ mitjançant el principi multiplicatiu i el cardinal del conjunt potència $\mathcal{P}(E)$. Comenta si la magnitud del nombre total d'esdeveniments es correspon amb la teva intuïció inicial.\nb) Es defineixen els esdeveniments $A$: «la reclamació no entra per l'App mòbil» i $B$: «la reclamació és assignada a Logística o Facturació». Descriu amb precisió el significat verbal de l'esdeveniment $\overline{A \cup B}$, transforma'l aplicant les Lleis de De Morgan i determina quants esdeveniments elementals el componen.\nc) Justifica analíticament si els esdeveniments $A$ i $\overline{B}$ són compatibles o incompatibles.

En un entorn de desenvolupament d'aplicacions mòbils, un programador està testejant la seguretat d'un sistema d'accés. Es defineix un experiment aleatori consistent a generar una clau aleatòria de 4 dígits utilitzant únicament els nombres $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Es consideren els successos següents:

• $A$: "La clau conté almenys dos dígits iguals consecutius".

• $B$: "La suma dels dígits de la clau és un nombre primer major que 15".

• $C$: "La clau és capicua (es llegeix igual d'esquerra a dreta que de dreta a esquerra)".

Descriu detalladament l'espai mostral $E$ indicant-ne el cardinal i utilitza l'àlgebra de successos per expressar simbòlicament els esdeveniments següents:

1. a) La clau no és capicua o bé la suma dels seus dígits no és un nombre primer major que 15.

1. b) La clau és capicua i té almenys dos dígits iguals consecutius, però la suma dels seus dígits no és un nombre primer major que 15.

1. c) Demostra si els successos $A$ i $C$ són compatibles o incompatibles justificant la teva resposta mitjançant un exemple d'un element de l'espai mostral.

Un satèl·lit de comunicacions envia ràfegues de dades compostes per seqüències binàries de longitud $n=3$. A causa del soroll còsmic, cada bit té una probabilitat de ser alterat. Definim l'espai mostral $E$ com el conjunt de totes les ternes binàries possibles. Siguin els successos:

• $A = \{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$

• $B = \{(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,1,1)\}$

Utilitzant les Lleis de De Morgan, simplifica al màxim l'expressió del succés $S = \overline{(\overline{A} \cup B) \cap (A \cup \overline{B})}$. Un cop simplificat, descriu amb paraules quina característica comuna tenen les seqüències que formen aquest succés $S$ respecte al nombre de "uns" presents en la ràfega.

En un laboratori de genètica s'estudia la mutació d'una cadena d'ADN representada per quatre bases nitrogenades meconsecutives $\{A, C, G, T\}$. L'experiment consisteix a observar una cadena de 3 posicions. Es consideren els successos:

• $M$: "La cadena conté almenys una base $G$".

• $N$: "La cadena comença per $A$ o acaba per $T$".

Determina el nombre d'elements dels successos següents utilitzant tècniques de recompte:

1. $M \cap N$

2. $\overline{M} \cup N$

3. $\overline{M \cup N}$

Explica raonadament si el conjunt de successos $\{M \cap N, \overline{M} \cap N, M \cap \overline{N}, \overline{M \cup N}\}$ forma una partició de l'espai mostral $E$.

Considerem un experiment aleatori l'espai mostral del qual és el conjunt dels nombres enters positius, $E = \{1, 2, 3, \dots\}$. Definim els successos:

$A_k = \{x \in E \mid x \text{ és múltiple de } k\}$ per a cada $k \in \{2, 3, 5\}$.

Expressa en funció de $A_2$, $A_3$ i $A_5$ els successos següents i determina els seus cinc elements més petits:

1. a) "El nombre és múltiple de 2 i de 3, però no de 5".

1. b) "El nombre és múltiple de només un dels tres valors $\{2, 3, 5\}$".

1. c) "El nombre no és múltiple de cap dels tres valors".

Un sistema robòtic de classificació de paqueteria comet errors de forma aleatòria. En analitzar l'historial de 1000 paquets, es defineixen els successos:

• $A$: "El paquet té un pes incorrecte".

• $B$: "El paquet té un codi de barres il·legible".

• $C$: "El paquet ha estat enviat a una ruta equivocada".

Se sap que cap paquet presenta els tres errors simultàniament ($A \cap B \cap C = \emptyset$). Si denotem per $n(X)$ el nombre de paquets en el succés $X$, es compleix:

$n(A) = 45$, $n(B) = 38$, $n(C) = 22$, $n(A \cap B) = 12$, $n(A \cap C) = 8$ i $n(B \cap C) = 5$.

Calcula el nombre d'elements dels successos següents i expressa'ls mitjançant operacions de conjunts:

1. $(\overline{A \cup B}) \cap C$

2. $(A \cap \overline{B}) \cup (B \cap \overline{A})$

3. $\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}$

Es realitza un experiment aleatori que consisteix a llançar un dard a una diana circular de radi $R$. El resultat de l'experiment és la distància $d$ des del centre de la diana fins al punt d'impacte. Definim els successos:

• $S_1$: "El dard impacta a una distància $d < \frac{R}{3}$".

• $S_2$: "El dard impacta a una distància $\frac{R}{4} < d < \frac{2R}{3}$".

Utilitzant la notació d'intervals per al valor de $d$:

1. Defineix l'espai mostral $E$.

2. Determina els intervals corresponents als successos $S_1 \cup S_2$, $S_1 \cap S_2$ i $S_1 - S_2$.

3. Troba el succés complementari de $S_1 \cup S_2$ i explica el seu significat físic en el context del joc.

Siguin $A, B$ i $C$ tres successos qualssevol d'un experiment aleatori. Demostra formalment, utilitzant les propietats de l'àlgebra de successos (distributiva, complementarietat, etc.), la identitat següent:

Explica quin nom rep aquesta operació en la teoria de conjunts i representa el succés resultant mitjançant un diagrama de Venn ombrejat.

En un torneig d'e-sports, tres jugadors ($P_1, P_2, P_3$) s'enfronten en partides eliminatòries "1 vs 1". L'experiment consisteix a registrar el guanyador de cada partida fins que un jugador guanyi dues partides meconsecutives o s'hagin jugat un màxim de 4 partides.

1. Dibuixa el diagrama d'arbre que representa aquest experiment aleatori sabent que en la primera partida juguen $P_1$ contra $P_2$, i el que perd és substituït pel jugador que esperava ($P_3$).

2. Escriu explícitament tots els elements de l'espai mostral $E$.

3. Defineix el succés $X$: "El jugador $P_3$ juga almenys dues partides" i el succés $Y$: "El torneig acaba en la tercera partida". Són $X$ i $Y$ successos incompatibles? Justifica-ho analitzant la seva intersecció.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un nou joc de taula estratègic, un jugador ha de llançar un dau tetraèdric (cares numerades del $1$ al $4$) i, simultàniament, extreure una carta d'una baralla reduïda que conté únicament els quatre asos i els quatre reis de la baralla espanyola.

Considerant l'experiment aleatori d'anotar el número del dau i el valor de la carta (As o Rei):

1. a) Descriu l'espai mostral $E$ de l'experiment.
2. b) Siguin els successos:

$A$ = "Obtenir un número parell al dau".

$B$ = "Obtenir un as de qualsevol pal".

$C$ = "Obtenir un número menor que $3$ al dau i que la carta sigui un rei".

Determina els elements que componen els successos $A \cup B$, $A \cap B$ i $B \cap C$.

Una empresa de ciberseguretat analitza els intents d'accés a un servidor. Considera l'espai mostral $\Omega$ format per tots els accessos possibles, que segons el seu estat es classifiquen en: $L$ (Legítim), $S$ (Sospitós) i $M$ (Maliciós). Se sap que un sistema de filtratge automàtic classifica els accessos en dues categories: $F$ (Filtrat) i $P$ (Permès).

Utilitzant diagrames de Venn, representa la situació i defineix simbòlicament els successos següents:

1. a) L'accés és maliciós o sospitós, però ha sigut permès.
2. b) L'accés no és maliciós i ha sigut filtrat.
3. c) Es compleix la segona llei de De Morgan per als successos "Accés Maliciós" ($M$) i "Accés Filtrat" ($F$).

En un laboratori de robòtica, s'estan provant dos sensors independents, $S_1$ i $S_2$. L'experiment consisteix a comprovar si cada sensor s'activa ($1$) o no ($0$) davant d'un estímul.

1. a) Escriu l'espai mostral $E$.
2. b) Descriu el succés contrari de $A$, essent $A$ = "Almenys un dels sensors s'activa".
3. c) Si definim el succés $B$ = "Els dos sensors actuen de manera idèntica", determina $A \cap B$ i el succés diferència $B - A$.

Un adolescent decideix organitzar la seva llista de reproducció per estudiar. Té $3$ cançons de gènere Lo-fi, $2$ de Jazz i $2$ d'Indie. L'experiment consisteix a triar dues cançons a l'atzar, una darrere l'altra, sense repetició (sense reemplaçament).

1. a) Representa l'experiment mitjançant un diagrama d'arbre, indicant a cada branca els possibles gèneres resultants.

1. b) Troba el nombre total de resultats possibles de l'espai mostral (considerant les cançons com a elements diferenciables).

1. c) Descriu el succés compost "Les dues cançons triades són de gènere diferent".

Considerem l'experiment aleatori consistent a llançar un dau octaèdric (cares del $1$ al $8$) i un dau cúbic convencional (cares del $1$ al $6$). Definim els successos següents:

$A$ = "La suma dels punts és un nombre primer".

$B$ = "El producte dels punts és múltiple de $10$".

1. a) Són $A$ i $B$ successos compatibles o incompatibles? Justifica la resposta indicant almenys un element de la intersecció si existís.
2. b) Calcula el nombre d'elements del succés contrari de $B$.

Es realitza un estudi sobre l'ús de xarxes socials en un institut de Batxillerat. Es trien dos alumnes a l'atzar i se'ls pregunta si utilitzen habitualment la xarxa $X$ i la xarxa $Y$. Sigui $x_i$ el succés "l'alumne $i$ utilitza la xarxa $X$" i $y_i$ el succés "l'alumne $i$ utilitza la xarxa $Y$".

Expressa simbólicament, utilitzant les operacions d'unió, intersecció i complementació, els successos següents:

1. a) Només el primer alumne utilitza totes dues xarxes socials.
2. b) Almenys un dels dos alumnes utilitza la xarxa $X$ però cap d'ells utilitza la xarxa $Y$.
3. c) Els dos alumnes tenen exactament els mateixos hàbits d'ús respecte d'aquestes dues xarxes socials.

Un bombo de loteria conté $10$ boles numerades del $0$ al $9$. S'extreuen tres boles successivament i sense devolució per formar un número de tres xifres (la primera bola correspon a les centenes, la segona a les desenes i la tercera a les unitats; s'admeten resultats que comencen per $0$, com $047$).

1. a) Quants elements té l'espai mostral $E$?
2. b) Descriu el succés $S$ = "El número format és capicua".
3. c) Descriu el succés $M$ = "El número format és múltiple de $5$ i més gran que $700$".

Sigui $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ l'espai mostral d'un experiment aleatori. Considerem els successos $A = \{2, 4, 6, 8\}$, $B = \{3, 6\}$ i $C = \{1, 2, 3\}$.

Troba els conjunts resultants de les operacions següents i comprova si es verifica alguna relació d'inclusió entre ells:

1. a) $(A \cup B) \cap C^c$
2. b) $(A \cap C) \cup (B \cap C)$
3. c) $A - (B \cup C)$

Nota: $C^c$ representa el succés complementari de $C$.

L'Institut Nacional d'Estadística (INE) dissenya un estudi sobre hàbits de mobilitat sostenible en què classifica els ciutadans segons tres esdeveniments compatibles: $A$ («utilitza habitualment la bicicleta»), $B$ («utilitza habitualment el transport públic») i $C$ («es desplaça habitualment a peu»). Per a un informe tècnic, un analista formula la condició següent d'inclusió d'usuaris:\n$$S = (A \cap \overline{B}) \cup (A \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap \overline{C})$$\nPer simplificar $S$ i deduir a quin esdeveniment equival de manera irreductible, es plantegen dos camins:\n- Mètode 1 (Àlgebra directa d'esdeveniments): Aplicar propietats distributives, associatives i de complementarietat ($X \cup \overline{X} = E$).\n- Mètode 2 (Complementació i De Morgan): Negar dues vegades l'expressió total ($\overline{\overline{S}}$) i transformar les unions en interseccions de complementaris.\na) Desenvolupa completament el Mètode 1, indicant de manera explícita quina propietat algebraica justifica cada pas fins a obtenir la mínima expressió de $S$.\nb) Planteja l'inici del Mètode 2, analitza raonadament les dificultats algebraiques que sorgeixen enfront del Mètode 1 i justifica quin dels dos procediments és més eficient i menys susceptible a errors per simplificar aquest tipus d'expressions.\nc) Utilitzant l'expressió reduïda obtinguda a (a), simplifica l'esdeveniment $\overline{S \cup B}$ aplicant rigorosament les Lleis de De Morgan i interpreta el seu significat sociològic en el context de la mobilitat urbana.

Red Eléctrica de España modelitza la seguretat del subministrament elèctric entre una central de generació renovable $G$ i un polígon industrial $P$. La xarxa disposa de tres interruptors automàtics: $I_1$, $I_2$ i $I_3$. El corrent flueix de $G$ cap a $P$ si es manté almenys una via tancada: una via directa que depèn exclusivament de l'interruptor $I_1$, i una via alternativa formada pels interruptors $I_2$ i $I_3$ connectats en sèrie (han de funcionar tots dos simultàniament perquè la via alternativa condueixi energia).\nEs consideren els esdeveniments d'avaria a cada interruptor davant d'una sobrecàrrega: $F_1$ («falla l'interruptor $I_1$»), $F_2$ («falla l'interruptor $I_2$») i $F_3$ («falla l'interruptor $I_3$»).\na) Modela en termes de $F_1$, $F_2$ i $F_3$, mitjançant operacions d'esdeveniments ($\cup, \cap, \overline{\phantom{A}}$):\n- L'esdeveniment $C$: «s'interromp totalment el subministrament elèctric entre $G$ i $P$».\n- L'esdeveniment $O$: «el subministrament elèctric entre $G$ i $P$ roman operatiu».\nb) Demostra formalment, mitjançant les Lleis de De Morgan i les propietats distributives de l'àlgebra d'esdeveniments, que la teva expressió d'$O$ és rigorosament igual al complementari de $C$ (és a dir, $O = \overline{C}$).\nc) Suposa que els interruptors $I_1$ i $I_2$ disposen d'un sistema físic diferencial compartit que impedeix que tots dos fallin de manera simultània, de manera que $F_1$ i $F_2$ són esdeveniments incompatibles ($F_1 \cap F_2 = \emptyset$). Raona si aquesta restricció tècnica permet simplificar l'expressió booleana de l'esdeveniment de tall total $C$ i determina si els esdeveniments $F_1$ i $(F_2 \cup F_3)$ són o no compatibles sota aquesta condició.