Exercicis: Probabilitat condicionada

En una convenció d'aficionats al món del gaming, se sorteja una consola d'última generació entre els assistents. Hi participen 120 persones de Madrid, 80 de Barcelona i 50 de València. A més, se sap que el 60 % dels participants totals són menors de 18 anys. Si es tria un guanyador a l'atzar, calcula:

1. a) L'espai mostral associat a l'origen dels participants.

1. b) La probabilitat que el guanyador sigui de Madrid.

1. c) La probabilitat que el guanyador sigui major d'edat.

Un analista de xarxes socials estudia el comportament dels adolescents en dues plataformes: TikTok ($T$) i Instagram ($I$). Després d'enquestar un grup de batxillerat, obté que la probabilitat que un alumne faci servir TikTok és $P(T) = 0,75$, la que faci servir Instagram és $P(I) = 0,60$ i la que faci servir les dues plataformes és $P(T \cap I) = 0,45$.

El diagrama de Venn recull aquestes dades; les regions marcades amb «?» són probabilitats que encara no es coneixen.

Calcula la probabilitat que un alumne triat a l'atzar:

1. a) Faci servir TikTok o Instagram.
2. b) Faci servir TikTok però no Instagram ($T - I$).
3. c) No faci servir cap de les dues plataformes.

En una acadèmia d'idiomes, el 40 % dels estudiants estan inscrits al curs d'Alemany ($A$). Dels estudiants inscrits a Alemany, el 30 % també assisteix a classes de conversa ($C$). Si es selecciona un estudiant de l'acadèmia a l'atzar, determina:

1. a) La probabilitat que un alumne estigui inscrit a Alemany i assisteixi a classes de conversa.
2. b) Sabent que un alumne està a Alemany, quina és la probabilitat que no assisteixi a classes de conversa?

Siguin $A$ i $B$ dos successos independents associats a un experiment aleatori, tals que $P(A) = 0,4$ i $P(B) = 0,5$. Troba les probabilitats següents:

1. a) $P(A \cap B)$
2. b) $P(A \cup B)$
3. c) $P(A|B)$
4. d) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$

Es realitza un estudi sobre la possessió de mascotes en un grup de 100 persones. Els resultats es recullen en la taula de contingència següent:

1. a) Completa la taula de contingència.
2. b) Si triem una persona a l'atzar, quina és la probabilitat que tingui gos i gat?
3. c) Sabent que la persona triada té gos, quina és la probabilitat que també tingui gat?

Una urna conté 5 boles blanques i 3 boles negres. S'extreuen successivament dues boles amb reemplaçament (es torna la primera abans de treure la segona). Representa la situació mitjançant un diagrama d'arbre i calcula:

1. a) La probabilitat que totes dues boles siguin blanques.
2. b) La probabilitat que la primera sigui negra i la segona blanca.
3. c) La probabilitat que les dues boles siguin del mateix color.

En un centre de salut, s'estima que la probabilitat que un pacient tingui grip és $P(G) = 0,15$. Es sap que si un pacient té grip, la probabilitat que presenti febre és de $0,90$, mentre que si no té grip, la probabilitat de presentar febre es redueix al $0,10$.

Si es tria un pacient a l'atzar i presenta febre, quin nom rep la probabilitat condicionada $P(G|F)$ i quin teorema s'utilitza habitualment per a calcular-la? (No cal fer el càlcul numèric final, només identificar els conceptes).

Es tiren simultàniament dos daus equilibrats de sis cares. Calcula la probabilitat dels successos següents:

1. a) Obtenir una suma de punts igual a 7.
2. b) Sabent que en el primer dau ha sortit un nombre parell, quina és la probabilitat que la suma sigui 7?
3. c) Són els successos "suma igual a 7" i "primer dau parell" independents? Justifica la teva resposta comparant $P(S=7|Par)$ amb $P(S=7)$.

En un institut de secundària s'han recollit dades de 200 estudiants de 2n de Batxillerat sobre dos successos: $A$ (aprovar l'examen de Matemàtiques) i $B$ (assistir habitualment a la biblioteca del centre). El registre mostra que 120 assisteixen a la biblioteca, 90 aproven l'examen i 60 fan totes dues coses.

En Marcos vol calcular la probabilitat que un alumne aprovi Matemàtiques sabent que assisteix a la biblioteca, i escriu al seu examen:

1. a) Identifica amb precisió quina probabilitat ha calculat realment en Marcos i explica quin és l'error conceptual del seu plantejament respecte a la definició de probabilitat condicionada i el canvi d'espai mostral.
2. b) Corregeix el càlcul determinant el valor correcte de $P(A|B)$.
3. c) Justifica formalment si per a aquest grup d'estudiants assistir a la biblioteca i aprovar Matemàtiques són successos estadísticament independents.

Segons dades de la Direcció General de Trànsit (DGT) sobre l'obtenció del permís B en una província, el $40\%$ dels aspirants aprova l'examen pràctic en la seva primera convocatòria (succés $A$). D'altra banda, el $30\%$ dels aspirants realitza prèviament un curs intensiu en simulador (succés $S$), i se sap que el $20\%$ del total d'aspirants realitza el curs en simulador i a més aprova a la primera.

1. a) Modela la situació definint els successos amb la seva notació de probabilitat corresponent i indica el valor de $P(A)$, $P(S)$ i $P(A \cap S)$.
2. b) Si es tria a l'atzar un aspirant que ha realitzat el curs en simulador, calcula la probabilitat que aprovi l'examen pràctic a la primera.
3. c) A la vista dels resultats, realitzar el curs en simulador modifica la probabilitat d'aprovar a la primera o són successos independents? Justifica la teva resposta comparant $P(A|S)$ amb $P(A)$.

En una plataforma de streaming, el $60\%$ dels usuaris veu sèries de ciència-ficció (succés $S$) i el $45\%$ veu documentals (succés $D$). Se sap que el $20\%$ dels usuaris gaudeix de tots dos gèneres. Si seleccionem un usuari a l'atzar que sabem que veu sèries de ciència-ficció, calcula la probabilitat que també vegi documentals. Són els successos "veure sèries de ciència-ficció" i "veure documentals" independents? Raona la resposta.

Un centre de tecnificació esportiva analitza el rendiment dels seus 120 atletes. S'observa que 65 d'ells segueixen una dieta específica, 70 realitzen entrenaments d'alta intensitat i 40 compleixen ambdues condicions.

1. Organitza les dades en una taula de contingència.

2. Si triem un atleta a l'atzar i resulta que no realitza entrenaments d'alta intensitat, quina és la probabilitat que sí que segueixi la dieta específica?

3. Si l'atleta triat no segueix la dieta, quina és la probabilitat que tampoc realitzi entrenaments d'alta intensitat?

Una aplicació de música té dues llistes de reproducció. La llista $A$ conté 8 cançons de pop i 4 de rock. La llista $B$ conté 5 cançons de pop i 7 de rock. Llancem un dau equilibrat: si surt un nombre menor que 3, l'aplicació reprodueix una cançó a l'atzar de la llista $A$; en cas contrari, la reprodueix de la llista $B$.

1. Calcula la probabilitat que la cançó reproduïda sigui de rock.

2. Si la cançó reproduïda va resultar ser de pop, quina és la probabilitat que procedeixi de la llista $A$?

En un control de qualitat d'una fàbrica de components electrònics, se sap que el succés $F$ (el component té una fallada de soldadura) té una probabilitat $P(F) = 0,08$, i el succés $C$ (el component té una fallada de carcassa) té una probabilitat $P(C) = 0,12$. Si tots dos successos són independents, calcula:

1. La probabilitat que un component tingui totes dues fallades.

2. La probabilitat que tingui alguna fallada.

3. La probabilitat que no tingui cap fallada.

4. Sabent que el component té una fallada de carcassa, quina és la probabilitat que no tingui fallada de soldadura?

Un test per detectar una vulnerabilitat de seguretat en servidors informàtics dona positiu en el $98\%$ dels servidors que realment estan infectats. Tanmateix, dona un "fals positiu" (positiu en servidors sans) en el $2\%$ dels casos. S'estima que en una xarxa empresarial el $1\%$ dels servidors estan infectats.

1. Si un servidor dona positiu en el test, quina és la probabilitat que realment estigui infectat?

2. Interpreta si el test és fiable per al seu ús massiu en aquesta xarxa basant-te en el resultat anterior.

S'extreuen successivament i sense devolució dues cartes d'una baralla espanyola de 40 cartes. Calcula les probabilitats següents:

1. Que la segona carta sigui un rei, sabent que la primera va ser un as.

2. Que la segona carta sigui un rei, sabent que la primera també va ser un rei.

3. Que les dues cartes siguin figures (sota, cavall o rei).

4. Sabent que la segona carta ha estat un or, quina és la probabilitat que la primera també ho fos?

Una empresa de logística reparteix paquets en tres districtes: Nord ($40\%$), Centre ($35\%$) i Sud ($25\%$). El percentatge d'entregues amb retard és del $5\%$ al Nord, del $8\%$ al Centre i del $12\%$ al Sud.

1. Si seleccionem un paquet a l'atzar, quina és la probabilitat que hagi estat lliurat a temps?

2. Si un paquet es va lliurar amb retard, quina és la probabilitat que anés destinat al districte Sud?

Siguin $A$ i $B$ dos successos tals que $P(A) = 0,4$, $P(B|A) = 0,25$ i $P(A' \cap B') = 0,45$.

1. Calcula $P(A \cap B)$.

2. Calcula $P(B)$.

3. Calcula $P(A|B)$.

4. Determina si els successos $A$ i $B$ són compatibles i si són independents. Raona les teves conclusions.

En una comarca ramadera s'aplica una prova diagnòstica per detectar una infecció bacteriana la prevalença de la qual és molt baixa: només el $2\%$ del bestiar està infectat (succés $E$). El test veterinari té una sensibilitat del $95\%$ (probabilitat de donar positiu estant infectat, $P(+|E) = 0,95$) i una taxa de falsos positius del $5\%$ (probabilitat de donar positiu en un animal sa, $P(+|\overline{E}) = 0,05$).

1. a) Abans de calcular res, estima de manera intuïtiva: si es pren un cap de bestiar a l'atzar i el seu test dóna positiu, creus que la probabilitat que realment estigui infectat estarà per sobre del $80\%$, prop del $50\%$ o per sota del $30\%$? Redacta la teva estimació raonant en una o dues línies la teva primera impressió.
2. b) Modela el problema mitjançant la regla de la probabilitat total i calcula amb rigor la probabilitat condicionada $P(E|+)$.
3. c) Compara el resultat matemàtic obtingut amb la teva estimació prèvia. Justifica per què el resultat resulta antiintuïtiu per a moltes persones i explica com condiciona la prevalença global de la infecció sobre la fiabilitat final del resultat positiu.

A les proves d'accés a la universitat (PAU) d'un districte universitari s'analitzen les matriculacions en dues matèries de modalitat: Dibuix Tècnic ($D$) i Física ($F$). A partir de les actes oficials es constata que la probabilitat que un estudiant triï Dibuix Tècnic és $P(D) = 0,35$ i la probabilitat que triï almenys una de les dues assignatures és $P(D \cup F) = 0,74$.

1. a) Planteja una equació i determina quin valor exacte hauria de tenir la probabilitat a priori de matricular-se a Física, $P(F)$, perquè l'elecció de totes dues matèries fos totalment independent.
2. b) La realitat del districte mostra que no són independents i que la probabilitat condicionada de triar Dibuix sabent que s'ha triat Física és $P(D|F) = 0,40$. Calcula la probabilitat real de matricular-se a Física, $P(F)$, i la probabilitat condicionada inversa $P(F|D)$.
3. c) Amb les dades de l'apartat b), construeix la taula de contingència completa de probabilitats per als successos $D$, $\overline{D}$, $F$ i $\overline{F}$.

En un laboratori de biotecnologia s'investiga la resistència d'un bacteri a dos tipus d'antibiòtics, $A$ i $B$. Se sap que la probabilitat que el bacteri sigui resistent a l'antibiòtic $A$ és $P(A) = 0,65$ i la probabilitat que sigui resistent a l'antibiòtic $B$ és $P(B) = 0,48$. A més, s'ha determinat que la probabilitat que no sigui resistent a cap dels dos és del $12\%$.

Calcula raonadament:

1. a) La probabilitat que el bacteri sigui resistent a $A$ sabent que és resistent a $B$.
2. b) La probabilitat que sigui resistent a només un dels dos antibiòtics.
3. c) Són els successos "ser resistent a $A$" i "ser resistent a $B$" independents? Justifica la teva resposta mitjançant càlculs.

Una empresa de missatgeria utilitza tres rutes diferents ($R_1, R_2, R_3$) per repartir paquets en una gran ciutat. El $30\%$ dels enviaments s'assignen a la ruta $R_1$, el $45\%$ a la ruta $R_2$ i la resta a la ruta $R_3$. Se sap per experiències passades que les probabilitats que un paquet arribi amb retard en cada ruta són del $4\%$, $6\%$ i $2\%$ respectivament.

Si seleccionem un paquet a l'atzar i observem que ha arribat amb retard, quina és la probabilitat que NO hagi seguit la ruta $R_2$?

Un sistema de seguretat per a un servidor crític està compost per dos components, $C_1$ i $C_2$, connectats en paral·lel, la qual cosa significa que el sistema funciona si almenys un dels components funciona. La probabilitat que el component $C_1$ falli en un any és de $0,05$ i la que falli $C_2$ és de $0,08$. Les fallades dels components són successos independents.

Calcula:

1. a) La probabilitat que el sistema funcioni correctament durant un any.
2. b) Sabent que el sistema ha funcionat correctament, quina és la probabilitat que el component $C_1$ hagi fallat?

En un torneig d'e-sports, un jugador ha de superar dues fases. La probabilitat de superar la primera fase és de $0,7$. Si supera la primera, la probabilitat de superar la segona és de $0,5$. En canvi, si no supera la primera, té una oportunitat de repesca on la probabilitat de passar directament a la final (saltant-se la segona fase) és de només $0,2$.

1. a) Calcula la probabilitat que el jugador arribi a la final (ja sigui superant les dues fases o per la repesca).
2. b) Si el jugador ha arribat a la final, quina és la probabilitat que ho hagi aconseguit a través de la repesca?

Disposem de dues urnes amb boles de colors. La urna $U_1$ conté 4 boles blanques i 6 boles negres. La urna $U_2$ conté 5 boles blanques i 3 boles negres. S'extreu una bola a l'atzar de la urna $U_1$ i, sense mirar-ne el color, s'introdueix a la urna $U_2$. A continuació, s'extreu una bola de la urna $U_2$.

Calcula:

1. a) La probabilitat que la bola extreta de la segona urna sigui blanca.
2. b) Si la bola extreta de la segona urna és blanca, quina és la probabilitat que la bola transvasada de la primera a la segona fos negra?

S'ha realitzat un test diagnòstic per detectar una vulnerabilitat en un programari de gestió. El $5\%$ de les aplicacions analitzades contenen aquesta vulnerabilitat. El test dona positiu en el $98\%$ dels casos en què la vulnerabilitat és present, però també dona un $2\%$ de falsos positius (dona positiu quan l'aplicació és segura).

1. a) Si el test dona positiu, quina és la probabilitat que l'aplicació realment tingui la vulnerabilitat?
2. b) Si el test dona negatiu, quina és la probabilitat que l'aplicació sigui realment segura?
3. c) Interpreta els resultats: és el test més fiable per confirmar la vulnerabilitat o per descartar-la?

Siguin $A$ i $B$ dos successos d'un experiment aleatori tals que les probabilitats condicionades verifiquen $P(A|B) = 0,25$ i $P(B|A) = 0,4$. Si sabem que la probabilitat de la unió de tots dos és $P(A \cup B) = 0,55$, calcula els valors de $P(A)$ i $P(B)$.

En un centre d'alt rendiment esportiu, el $40\%$ dels atletes entrena natació ($N$), el $30\%$ entrena ciclisme ($C$) i la resta entrena cursa a peu ($R$). La probabilitat de patir una lesió muscular al llarg de la temporada és de $0,15$ per als nedadors, $0,20$ per als ciclistes i $0,35$ per als corredors.

1. a) Determina la probabilitat que un atleta triat a l'atzar pateixi una lesió muscular.
2. b) Si un atleta no ha patit cap lesió, quina és la probabilitat que la seva especialitat sigui la natació?
3. c) Són els successos "entrenar ciclisme" i "patir una lesió" independents? Demostra-ho.

Un informe de ciberseguretat sobre petites i mitjanes empreses espanyoles avalua l'eficàcia d'un tallafoc davant d'intrusions externes. Es coneixen tres fets:

• El $8\%$ de les empreses pateix un intent seriós d'intrusió mensual (succés $I$).

• Si una empresa pateix un intent d'intrusió, el tallafoc genera una alerta amb probabilitat $P(A|I) = 0,90$.

• Si l'empresa no pateix cap intrusió, hi ha un $3\%$ de probabilitat de falsa alarma per fallades del sistema, és a dir, $P(A|\overline{I}) = 0,03$.

L'equip directiu necessita conèixer la probabilitat que, havent sonat l'alerta, es tracti en realitat d'una falsa alarma ($P(\overline{I}|A)$), així com la probabilitat que el sistema romangui en silenci i no hi hagi intrusió ($P(\overline{A} \cap \overline{I})$).

1. a) Resol el problema aplicant dos mètodes diferents:

• Mètode 1: Diagrama en arbre i càlcul amb fórmules formals de probabilitat condicionada i teorema de la probabilitat total.

• Mètode 2: Taula de contingència amb freqüències absolutes projectades sobre una població hipotètica de $10.000$ empreses.

1. b) Analitza i compara tots dos mètodes: quin dels dos redueix amb més eficàcia el risc de confondre $P(A|\overline{I})$ amb $P(\overline{I}|A)$ en interpretar els resultats? Justifica la teva resposta argumentant com representa cada tècnica el nou espai mostral reduït.

A partir de les microdades de l'Enquesta de Població Activa (EPA) en una comunitat autònoma, s'estudien dos successos laborals en la franja de joves de 18 a 24 anys: cursar estudis reglats ($E$) i tenir una feina remunerada ($T$). Les taxes estimades són $P(E) = 0,55$ i $P(T) = 0,30$.

Un estudiant afirma: «Com que estudiar a temps complet i treballar són situacions difícilment compatibles, els successos són incompatibles, i per això són també independents perquè l'un no depèn de l'altre».

1. a) Demostra formalment que dos successos $A$ i $B$ amb probabilitats no nul·les ($P(A) > 0$ i $P(B) > 0$) no poden ser mai incompatibles i independents alhora. Explica amb paraules l'error conceptual de l'estudiant.
2. b) Si les dades de l'enquesta indiquen que el $40\%$ dels joves ni estudia ni treballa ($P(\overline{E} \cap \overline{T}) = 0,40$), calcula la probabilitat que un jove tingui feina sabent que cursa estudis, $P(T|E)$, aplicant les lleis de De Morgan i les propietats de la probabilitat condicionada.
3. c) A la vista del valor de $P(T|E)$ comparat amb $P(T)$, determina raonadament si la condició de cursar estudis afavoreix, perjudica o és independent respecte a la probabilitat d'estar empleat en aquesta població.