Exercicis: Integració de fraccions racionals

Calcula la integral indefinida següent observant que el numerador és, o es pot transformar fàcilment, en la derivada del denominador:

Un grup de joves enginyers està monitorant el flux de dades d'un servidor. La velocitat de creixement de les dades emmagatzemades (en GB/min) ve donada per la funció $v(t) = \frac{4}{t + 1}$, on $t$ és el temps en minuts. Obtén l'expressió general de la funció d'emmagatzematge de dades $S(t)$.

Determina la integral indefinida de la funció següent, la forma de la qual correspon a una primitiva de tipus arctangent:

Descompon en fraccions simples l'integrand per calcular la integral d'aquesta funció racional amb arrels reals simples al denominador:

Calcula la primitiva de la funció $g(x)$ fent un ajust previ al numerador per obtenir una part sencera i una part fraccionària:

En l'estudi de circuits elèctrics de corrent altern, la intensitat de corrent $i(t)$ en amperes acostuma a modelar-se mitjançant funcions que combinen exponencials i trigonomètriques. Suposem que la velocitat de variació de la càrrega d'un condensador ve donada per la funció:

Calcula el conjunt de totes les funcions primitives $F(t)$ associades a aquesta intensitat mitjançant el mètode d'integració per parts. Tingues en compte que aquest tipus d'integrals es resolen pel mètode d'«iteració» o «cícliques».

Troba l'expressió analítica d'una funció $f(x)$ tal que la seva segona derivada és $f''(x) = x \cdot \operatorname{sen}(x)$, sabent que la recta tangent a la corba en l'origen de coordenades és el mateix eix d'abscisses.

Troba la funció $f(x)$ que compleix la condició de ser contínua en tot el domini de definició de les seves branques, sabent que la seva derivada ve donada per:

i que $f(1) = 1$. Hauràs d'integrar per parts la segona branca i determinar el valor de les constants d'integració per garantir la continuïtat en $x = 0$.

Un objecte es mou al llarg d'una línia recta amb una acceleració dependent del temps definida per $a(t) = \ln(t+1)$. Si en l'instant inicial ($t=0$) l'objecte es trobava en repòs i en la posició $s=10$ metres, determina l'equació de la posició $s(t)$ en qualsevol instant $t$.

Nota: Recorda que la velocitat és la integral de l'acceleració i la posició és la integral de la velocitat. Totes dues integrals requereixen l'ús del mètode d'integració per parts.

L'Alba ha de calcular la primitiva $\int \frac{2x^2 - 3}{x^2 - 1} \, dx$. En el seu examen escriu el desenvolupament següent:

«Com que el denominador descompon en $(x-1)(x+1)$, plantejo directament la descomposició:

Multiplicant pel denominador comú: $2x^2 - 3 = A(x+1) + B(x-1)$.

• Si $x = 1 \implies -1 = 2A \implies A = -1/2$.

• Si $x = -1 \implies -1 = -2B \implies B = 1/2$.

Per tant, la integral és $-\frac{1}{2}\ln|x-1| + \frac{1}{2}\ln|x+1| + C$».

1. a) Sense calcular encara la integral correcta, explica de manera raonada per què el plantejament algebraic inicial de l'Alba és erroni i quina condició fonamental sobre els graus dels polinomis ha ignorat.
2. b) Deriva el resultat final que ha obtingut l'Alba i comprova que no coincideix amb l'integrand original, identificant quin terme hi falta.
3. c) Resol la integral de manera correcta fent la divisió polinòmica prèvia i la descomposició corresponent.

Per resoldre la integral indefinida $I = \int \frac{2x + 3}{x^2 + 3x - 10} \, dx$, dos companys de classe proposen camins diferents:

• En Marcos afirma: «El denominador té dues arrels reals diferents, $x = 2$ i $x = -5$. Per tant, hem de descompondre obligatòriament la fracció en $\frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+5}$, calcular $A$ i $B$, i integrar la suma dels dos logaritmes resultants».

• La Lucía respon: «Aquest procediment és innecessàriament llarg per a aquest cas concret; la integral es pot resoldre en una sola línia de manera gairebé immediata sense necessitat de descompondre res».

1. a) Analitza totes dues postures: són matemàticament vàlides les dues? Justifica quina és la més eficient i quina propietat o estructura de l'integrand permet aplicar el mètode directe de la Lucía.
2. b) Resol la integral aplicant el mètode de la Lucía.
3. c) Modifica lleugerament el numerador de la integral (mantenint el mateix denominador $x^2 + 3x - 10$) de manera que l'estratègia de la Lucía ja no sigui aplicable directament i sigui imprescindible recórrer al mètode de fraccions simples d'en Marcos. Resol a continuació la nova integral que has proposat.

Utilitza el mètode d'integració per parts per resoldre la integral següent. Recorda triar adequadament $u$ i $dv$ seguint la regla mnemotècnica ALPES:

$\displaystyle \int x \cdot e^x dx$

Resol la integral següent pel mètode d'integració per parts:

$\displaystyle \int (x + 2) \cdot \cos(x) dx$

Calcula la primitiva de la funció logaritme neperià utilitzant el mètode d'integració per parts, prenent $u = \ln(x)$ i $dv = dx$:

$\displaystyle \int \ln(x) dx$

Un equip d'enginyers està analitzant el ritme de descàrrega de la bateria d'un nou prototip de dron. Han determinat que la funció que representa la velocitat de variació de la càrrega (en mAh per minut) ve donada per $f(t) = 3t^2 - \frac{4}{t+1} + \sqrt{t}$, on $t$ és el temps en minuts.

Troba la funció de càrrega total $F(t)$, sabent que en l'instant inicial ($t = 0$) la càrrega del dron era de $2500$ mAh.

Una empresa de components electrònics estima que el seu cost marginal (el cost de produir una unitat addicional) segueix la funció $C'(x) = x \cdot \ln(x)$, on $x$ és el nombre de milers d'unitats produïdes.

Determina la funció de cost total $C(x)$ sabent que els costos fixos (cost quan $x = 1$, en aquest model simplificat) són de $10$ milers d'euros.

Troba la primitiva de la funció $g(x) = x^2 \cdot \cos(x)$ que passi per l'origen de coordenades. Hauràs d'aplicar el mètode d'integració per parts dues vegades consecutives.

Troba la integral indefinida $\int e^{2x} \cdot \sin(x) \, dx$.

Aquest tipus d'integrals s'anomenen «cícliques». Aplica el mètode d'integració per parts fins que torni a aparèixer la integral original i aïlla'n el valor.

Es considera la funció racional $f(x) = \dfrac{x + 4}{x^2 - 1}$, definida per a $x \in [2, 4]$. Es vol estudiar la funció primitiva $F(x) = \int f(x) \, dx$ que verifica la condició $F(2) = 0$, i en particular determinar el valor de $F(4)$.

1. a) Comprova que $f(x)$ és estrictament decreixent i positiva a l'interval $[2, 4]$ calculant els valors exactes de $f(2)$ i $f(4)$. A partir d'aquests valors, fes una estimació raonada de l'increment $F(4) - F(2)$ acotant-lo entre un valor mínim i un valor màxim (pista: considera l'àrea sota una corba decreixent comparant-la amb rectangles inferior i superior construïts sobre la base de l'interval $[2, 4]$).
2. b) Calcula l'expressió analítica exacta de la primitiva $F(x)$ mitjançant la descomposició en fraccions simples i determina el valor de la constant d'integració amb la condició donada.
3. c) Utilitzant les aproximacions $\ln 3 \approx 1,099$ i $\ln 5 \approx 1,609$, calcula el valor numèric de $F(4)$ i comprova si la teva estimació prèvia de l'apartat a) ha estat coherent i encertada.

Donada la funció racional $f(x) = \dfrac{a x^2 + b x + 5}{x^3 - x^2 - x + 1}$, on $a$ i $b$ són coeficients reals:

1. a) Factoritza el denominador indicant les arrels i el seu ordre de multiplicitat, i escriu l'estructura teòrica de la seva descomposició en fraccions simples.
2. b) Determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè es compleixin simultàniament les dues condicions següents:

1. En la família de primitives de $f(x)$, el coeficient del terme logarítmic $\ln|x-1|$ és igual a zero.

2. La recta tangent a la gràfica de qualsevol primitiva $F(x)$ en el punt d'abscissa $x = 2$ té pendent $m = 1$.

1. c) Amb els valors de $a$ i $b$ trobats a l'apartat anterior, obtén l'expressió de la primitiva específica $F(x)$ la gràfica de la qual passa pel punt $P(2, 3)$.

Calcula la primitiva de la funció $f(x) = \dfrac{x^4 + x^3 - 2}{x^3 - x^2}$ que passa pel punt $P(2, 5)$. Tingues en compte que, a causa dels graus dels polinomis, hauràs de realitzar una divisió prèvia i posteriorment descompondre la fracció restant considerant l'existència d'arrels reals múltiples.

Determina la integral indefinida de la funció $g(x) = \dfrac{1}{x^4 - 1}$. Per resoldre aquest exercici, hauràs de factoritzar el denominador completament en el cos dels nombres reals i descompondre la fracció en una suma que inclogui termes amb arrels reals simples i un terme amb arrels complexes de tipus arctangent.

Un equip d'enginyers està monitorant el flux de refrigerant en una central tèrmica. La taxa de variació del volum de líquid respecte al temps $t$ ve donada per la funció $v(t) = \dfrac{4t + 10}{t^2 + 4t + 13}$. Troba l'expressió del volum total $V(t)$ sabent que en l'instant inicial ($t=0$) el dipòsit contenia $100$ litres.

Nota: Observa que el denominador no té arrels reals, per la qual cosa la solució combinarà un logaritme neperià i una arctangent.

Es vol trobar una funció $F(x)$ la derivada de la qual és $f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 2}{(x+1)^3}$. Troba aquesta funció sabent que la seva gràfica passa pel punt $(0, 2)$. Aquest problema requereix l'ús de fraccions simples amb arrels reals de multiplicitat tres.

Calcula la integral indefinida $\displaystyle \int \frac{3x^2 + 1}{x^3 + x^2 + x + 1} \, dx$.

Per a això, observa que el denominador es pot factoritzar mitjançant el mètode de Ruffini o per agrupació de termes, i dona com a resultat un producte d'un factor lineal i un factor quadràtic irreductible.

Determina els valors dels paràmetres $A$, $B$ i $C$ perquè la igualtat següent sigui certa i, posteriorment, calcula la primitiva de $f(x)$ que s'anul·la a $x=0$:

Un estudi de mercat analitza el ritme de creixement de les vendes d'un nou model de patinet elèctric. La funció que descriu la taxa de variació de les vendes (en centenars d'unitats per mes) ve donada per:

$f(x) = \dfrac{x^2 + 2x + 3}{x + 1}$

On $x$ és el temps en mesos. Calcula la família de funcions de vendes totals $F(x)$ obtenint la primitiva d'aquesta funció. (Nota: Realitza primer la divisió polinòmica).

Calcula la integral indefinida de la funció racional següent descomponent-la en fraccions simples, sabent que el seu denominador presenta una arrel real doble:

$\displaystyle \int \dfrac{5x - 2}{x^2 - 4x + 4} \, dx$

Determina la integral de la funció racional següent descomponent-la prèviament en una suma de fraccions més senzilles:

$\displaystyle \int \dfrac{x + 7}{x^2 + 4x + 3} \, dx$

En les integrals de tipus arctangent, a vegades és necessari manipular el denominador. Calcula la primitiva següent completant el quadrat al denominador perquè adopti la forma del tipus $\int \frac{u'}{1+u^2} dx$:

$\displaystyle \int \dfrac{3}{x^2 + 2x + 5} \, dx$

Es sap que el pendent de la recta tangent a una corba en qualsevol punt $(x, y)$ ve donat per l'expressió $m = \dfrac{x^3 + x^2}{x^2 + 1}$. Troba l'equació d'aquesta corba sabent que passa pel punt $(0, 1)$.

Durant un episodi de desglaç primaveral al Pirineu aragonès, els tècnics de la Confederació Hidrogràfica de l'Ebre (CHE) monitoritzen l'aportació extraordinària d'aigua a un embassament. La taxa de cabal net d'entrada es modelitza durant els primers dies mitjançant la funció:

on $t \ge 0$ és el temps transcorregut en dies i $q(t)$ es mesura en hectòmetres cúbics per dia ($\text{hm}^3/\text{dia}$).

1. a) Fes la divisió polinòmica per descompondre $q(t)$ en la suma d'un polinomi i una fracció racional pròpia amb denominador irreductible. Determina l'equació de l'asimptota obliqua de la funció i interpreta el seu significat respecte a la tendència a llarg termini del cabal.
2. b) Troba la funció $V(t)$ que descriu el volum total extraordinari acumulat a l'embassament des de l'inici de l'episodi ($t=0$), sabent que $V(0) = 0$. Mostra amb claredat com descompols la fracció pròpia restant en un terme logarítmic i un altre associat a l'arctangent.
3. c) El protocol de seguretat de la presa estableix que s'ha d'obrir preventivament un sobreeixidor si el volum acumulat supera els $10\text{ hm}^3$ en complir-se el segon dia ($t=2$). Prenent les aproximacions $\ln 5 \approx 1,61$ i $\arctan 2 \approx 1,11\text{ rad}$, avalua numèricament $V(2)$ i justifica de manera quantitativa si la CHE ha d'ordenar o no l'obertura del sobreeixidor en aquest instant.

Es considera la família de funcions racionals dependents d'un paràmetre real $m$:

1. a) Obtén la descomposició en fraccions simples de $f_m(x)$ expressant els coeficients dels numeradors en funció de $m$.
2. b) Un estudiant planteja la conjectura següent: «Ajustant adequadament el valor de $m$, és possible aconseguir que la primitiva $\int f_m(x) \, dx$ sigui una funció purament racional algebraica, és a dir, que no contingui cap terme logarítmic». Demostra analíticament que la conjectura de l'estudiant és FALSA: comprova que la suma dels tres coeficients de la descomposició és constant i independent de $m$, i dedueix per què no poden anul·lar-se tots simultàniament per a cap valor de $m$.
3. c) Troba l'únic valor de $m$ que aconsegueix anul·lar el coeficient del terme $\ln|x+2|$ a la primitiva. Per a aquest valor de $m$, calcula la primitiva $F(x)$ que verifica $F(2) = 0$, escriu la seva expressió per a $x > 1$ agrupant els termes en un únic logaritme mitjançant les seves propietats i calcula i interpreta el límit $\lim_{x \to 1^+} F(x)$.