Integración de fracciones racionales
Un cociente de polinomios $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ no está en la tabla de integrales inmediatas. El truco siempre es el mismo: transformarlo en una suma de piezas que sí estén en la tabla. Qué piezas salgan depende del grado de $P$ y de las raíces de $Q$.
Si el grado del numerador no es menor: divide primero
Calcula la primitiva de la función $f(x) = \dfrac{x^4 + x^3 - 2}{x^3 - x^2}$ que pasa por el punto $P(2, 5)$. Ten en cuenta que, debido a los grados de los polinomios,…
Calcula la primitiva de la función $f(x) = \dfrac{x^4 + x^3 - 2}{x^3 - x^2}$ que pasa por el punto $P(2, 5)$. Ten en cuenta que, debido a los grados de los polinomios, deberás realizar una división previa y posteriormente descomponer la fracción restante considerando la existencia de raíces reales múltiples.
Raíces reales simples: una fracción por cada una
Calcula la siguiente integral indefinida observando que el numerador es, o puede transformarse fácilmente, en la derivada del denominador: $$\int \frac{2x + 3}{x^2 + 3x…
Calcula la siguiente integral indefinida observando que el numerador es, o puede transformarse fácilmente, en la derivada del denominador:
$$\int \frac{2x + 3}{x^2 + 3x + 10} \, dx$$Un estudio de mercado analiza el ritmo de crecimiento de las ventas de un nuevo modelo de patinete eléctrico. La función que describe la tasa de variación de las ventas…
Un estudio de mercado analiza el ritmo de crecimiento de las ventas de un nuevo modelo de patinete eléctrico. La función que describe la tasa de variación de las ventas (en cientos de unidades por mes) viene dada por:
$f(x) = \dfrac{x^2 + 2x + 3}{x + 1}$
Donde $x$ es el tiempo en meses. Calcula la familia de funciones de ventas totales $F(x)$ obteniendo la primitiva de dicha función. (Nota: Realiza primero la división polinómica).
Raíces reales múltiples: una fracción por cada potencia
Se desea encontrar una función $F(x)$ cuya derivada es $f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 2}{(x+1)^3}$. Halla dicha función sabiendo que su gráfica tiene una asíntota horizontal…
Se desea encontrar una función $F(x)$ cuya derivada es $f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 2}{(x+1)^3}$. Halla dicha función sabiendo que su gráfica tiene una asíntota horizontal en $y = 2$ cuando $x \to \infty$. Este problema requiere el uso de fracciones simples con raíces reales de multiplicidad tres.
Determina la integral de la siguiente función racional descomponiéndola previamente en una suma de fracciones más sencillas:…
Determina la integral de la siguiente función racional descomponiéndola previamente en una suma de fracciones más sencillas:
$\displaystyle \int \dfrac{x + 7}{x^2 + 4x + 3} \, dx$
Raíces complejas: aparece un arcotangente
Determina la integral indefinida de la función $g(x) = \dfrac{1}{x^4 - 1}$. Para resolver este ejercicio, deberás factorizar el denominador completamente en el cuerpo de…
Determina la integral indefinida de la función $g(x) = \dfrac{1}{x^4 - 1}$. Para resolver este ejercicio, deberás factorizar el denominador completamente en el cuerpo de los números reales y descomponer la fracción en una suma que incluya términos con raíces reales simples y un término con raíces complejas de tipo arcotangente.
Un equipo de ingenieros está monitorizando el flujo de refrigerante en una central térmica. La tasa de variación del volumen de líquido respecto al tiempo $t$ viene dada…
Un equipo de ingenieros está monitorizando el flujo de refrigerante en una central térmica. La tasa de variación del volumen de líquido respecto al tiempo $t$ viene dada por la función $v(t) = \dfrac{4t + 10}{t^2 + 4t + 13}$. Halla la expresión del volumen total $V(t)$ sabiendo que en el instante inicial ($t=0$) el depósito contenía $100$ litros.
Nota: Observa que el denominador no tiene raíces reales, por lo que la solución combinará un logaritmo neperiano y un arco tangente.