Integral indefinida. Descomposición elemental e integrales inmediatas

Determina si la función $F(x) = x \cdot e^x$ es una primitiva de la función $f(x) = (x+1)e^x$. Para justificar tu respuesta, recuerda utilizar la relación fundamental entre una función y su primitiva mediante la derivación.

Halla la primitiva de la función $f(x) = 2x - 6$ cuya gráfica pasa por el punto $P(3, 4)$.

Nota: Primero calcula la integral indefinida para obtener la familia de funciones con la constante $C$, y luego utiliza el punto $P$ para hallar el valor específico de dicha constante.

Un dron de vigilancia se desplaza de forma que su velocidad en el eje horizontal (en m/s) viene dada por la función $v(t) = 4e^{2t-1} + \sin(3t)$. Sabiendo que en el instante inicial $t=0$ el dron se encuentra en la posición $s=0$, determina la expresión de la función de posición $s(t)$.

Calcula la familia de funciones primitivas de la siguiente función, simplificando el resultado eliminando los exponentes negativos y utilizando radicales:

$f(x) = \dfrac{3}{x^4} - \dfrac{2}{\sqrt[3]{x^2}} + \dfrac{1}{5x}$

Halla todas las primitivas de la función $f(x) = \frac{x^4 - 2x^2 + 5}{x^2}$.

Pista: Para resolverla de forma inmediata, descompón la fracción en tres términos simples antes de integrar.

Calcula la integral indefinida de la siguiente combinación de funciones trigonométricas y constantes, aplicando las propiedades de linealidad (sacar constantes y separar sumas):

En el diseño de una lente para una cámara de smartphone, se requiere conocer la función de curvatura. La derivada de dicha función es $g'(x) = \frac{7}{1 + x^2} - 2^x$. Obtén la expresión de la función $g(x)$ calculando su integral indefinida:

Halla la integral indefinida de la función $g(x)$, realizando los ajustes de constantes necesarios para obtener una estructura de tipo logarítmico:

$I = \displaystyle\int \dfrac{3x - 1}{x^2 - \frac{2}{3}x + 5} \, dx$