Exercicis: Integral indefinida. Descomposició elemental i integrals immediates

Un skater professional està analitzant la trajectòria del seu darrer salt en una rampa. La funció que descriu la variació de la seva altura respecte al temps (velocitat vertical) ve donada per l'expressió $v(t) = 3t^2 - 4t + 5$, la gràfica de la qual apareix a la figura. Troba la família de funcions $H(t)$ que representen l'altura del skater, calculant la integral indefinida:

En l'estudi de la propagació d'una notícia en una xarxa social, s'ha determinat que el ritme de creixement dels "compartits" segueix una llei potencial. Per trobar el total acumulat, un programador ha de resoldre la integral següent d'una funció irracional. Calcula-la passant primer l'arrel a exponent fraccionari:

Determina si la funció $F(x) = x \cdot e^x$ és una primitiva de la funció $f(x) = (x+1)e^x$. Per justificar la teva resposta, recorda utilitzar la relació fonamental entre una funció i la seva primitiva mitjançant la derivació.

Un estudi d'audició per a adolescents analitza la intensitat d'un senyal sonor. La funció que descriu la pressió acústica instantània és $p(x) = \frac{3}{x} + e^{2x}$. Troba la primitiva general d'aquesta funció realitzant la integració:

Calcula la integral indefinida de la combinació següent de funcions trigonomètriques i constants, aplicant les propietats de linealitat (treure constants i separar sumes):

Troba totes les primitives de la funció $f(x) = \frac{x^4 - 2x^2 + 5}{x^2}$.

En el disseny d'una lent per a una càmera de telèfon intel·ligent, es requereix conèixer la funció de curvatura. La derivada d'aquesta funció és $g'(x) = \frac{7}{1 + x^2} - 2^x$. Obtén l'expressió de la funció $g(x)$ calculant la seva integral indefinida:

Troba la primitiva de la funció $f(x) = 2x - 6$ la gràfica de la qual passa pel punt $P(3, 4)$.

Nota: Primer calcula la integral indefinida per obtenir la família de funcions amb la constant $C$, i després utilitza el punt $P$ per trobar el valor específic d'aquesta constant.

En Marcos ha de calcular en un examen la integral indefinida $\int (3x - 2)(2x + 1)\, dx$. Al seu full de respostes escriu el següent:

1. a) Explica detalladament quin és l'error conceptual que comet en Marcos en aplicar la propietat de linealitat de la integral.
2. b) Demostra que el resultat d'en Marcos és incorrecte derivant la funció que ha obtingut i comprovant que no coincideix amb l'integrand $(3x - 2)(2x + 1)$.
3. c) Resol la integral de manera correcta fent primer la multiplicació algebraica i aplicant després les regles de les integrals immediates.

Considera la funció contínua $f(x) = 6 - 2x$ i la primitiva concreta $F(x)$ que compleix la condició inicial $F(0) = 2$.

1. a) Estima: Sense calcular l'expressió analítica de $F(x)$, analitza raonadament el signe de $f(x)$ a l'interval $[0, 3]$ i a l'interval $[3, 4]$. A partir del creixement i decreixement de $F(x)$, i tenint en compte que $f(x)$ és simètrica respecte a la seva arrel $x = 3$, estima si el valor de $F(4)$ serà més gran, més petit o igual que $F(0)$.
2. b) Calcula: Obtén la família general de primitives de $f(x)$ mitjançant descomposició elemental i identifica la primitiva particular $F(x)$ que passa per $(0, 2)$.
3. c) Comprova: Calcula el valor exacte de $F(4)$ substituint en la funció trobada i confirma si la teva estimació qualitativa era correcta.

Calcula la família de funcions primitives de la funció següent, simplificant el resultat eliminant els exponents negatius i utilitzant radicals:

$f(x) = \dfrac{3}{x^4} - \dfrac{2}{\sqrt[3]{x^2}} + \dfrac{1}{5x}$

Troba la integral indefinida de la funció $g(x)$, realitzant els ajustos de constants necessaris per obtenir una estructura de tipus logarítmic:

$I = \displaystyle\int \dfrac{3x - 1}{x^2 - \frac{2}{3}x + 5} \, dx$

Un dron de vigilància es desplaça de manera que la seva velocitat en l'eix horitzontal (en m/s) ve donada per la funció $v(t) = 4e^{2t-1} + \sin(3t)$. Sabent que en l'instant inicial $t=0$ el dron es troba en la posició $s=0$, determina l'expressió de la funció de posició $s(t)$.

Calcula la primitiva de la funció $f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 1}{x-2}$ la gràfica de la qual passa pel punt $P(3, 5)$.

Nota: Realitza primer la divisió dels polinomis.

Determina la integral indefinida de la funció composta següent, identificant la derivada de la funció interna:

$I = \displaystyle\int \dfrac{\ln^2(x) + 1}{x} \, dx$

Troba la primitiva $F(x)$ de la funció $f(x) = \dfrac{1}{\cos^2(3x)} + 5^{2x}$ sabent que $F(0) = 1$.

Calcula la integral indefinida de la funció següent utilitzant la descomposició per linealitat i l'ajust de la derivada de l'exponent:

$I = \displaystyle\int \left( 2x \cdot e^{x^2+3} - \dfrac{5}{1+4x^2} \right) \, dx$

Donada la funció $f(x) = \dfrac{\sin(x)}{\sqrt{1 + \cos(x)}}$, calcula la seva primitiva general. Comprova el teu resultat derivant la funció obtinguda.

Determina els coeficients reals $a$ i $b$ de la funció $f(x) = a\cdot x + \dfrac{b}{x^2}$ (definida per a $x > 0$) sabent que la seva família de primitives compleix les dues condicions següents:

1. La recta tangent a la gràfica de qualsevol de les seves primitives en el punt d'abscissa $x = 1$ és horitzontal (pendent nul).

2. La primitiva específica $F_0(x)$ que passa pel punt $(1, 7)$ verifica a més que $F_0(2) = 11$.

1. a) Planteja el sistema d'equacions que permet trobar els valors d'$a$ i $b$, interpretant geomètricament la relació entre la derivada d'una primitiva i la funció integrand.
2. b) Troba la funció $f(x)$ i l'expressió analítica completa de la primitiva particular $F_0(x)$.

En un parc eòlic situat a Galícia, els tècnics d'operació modelitzen la potència neta generada, és a dir, la taxa de variació instantània de l'energia acumulada, $P'(t)$ (en $\text{MW}$), durant un interval de seguiment de 9 hores ($t \in [1, 9]$) mitjançant la funció:

on $t$ és el temps transcorregut en hores.

1. a) Descompon algebraicament el quocient en una suma de potències elementals de la forma $k\cdot t^n$ i esmenta quina regla d'integració immediata s'aplica a cada terme.
2. b) Troba la família completa de primitives $P(t)$ que descriuen l'energia acumulada en funció del temps.
3. c) Si a la primera hora de mesurament ($t = 1$) els comptadors registraven una energia acumulada de $15\text{ MWh}$, troba la constant d'integració $C$ i determina l'energia acumulada quan han transcorregut $4$ hores ($t = 4$).

Un enginyer de so està analitzant el senyal d'un nou sintetitzador. La taxa de variació de la intensitat de l'ona respecte al temps, $t$, ve donada per la funció $f'(t) = \dfrac{e^{2t} + 3e^t}{e^t + 1}$.

Sabent que per a un temps $t = 0$ la intensitat de l'ona és de $10$ unitats, determina l'expressió analítica de la intensitat $f(t)$ realitzant les manipulacions algebraiques necessàries per resoldre la integral.

Calcula la família de primitives de la funció trigonomètrica següent utilitzant identitats fonamentals per transformar l'integrand en una suma d'integrals immediates:

Determina la funció $f(x)$ la derivada segona de la qual és $f''(x) = \dfrac{12x^2 - 4}{(x^2 + 1)^3}$.

Es sap que la gràfica de $f(x)$ té un punt d'inflexió d'abscissa positiva en el qual la recta tangent és horitzontal, i que la gràfica de $f(x)$ passa pel punt $(0, 5)$.

Nota: Aquest exercici requereix un maneig expert de la regla de la cadena en sentit invers per a funcions racionals.

Una empresa de logística estudia el desgast dels pneumàtics de la seva flota. La velocitat de desgast $V(x)$ (en mm per cada 1000 km) depèn de la càrrega $x$ (en tones) segons la funció:

$V(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{4 - (x - 3)^2}}$

Troba la funció de desgast acumulat $D(x)$, sabent que per a una càrrega de $3$ tones ($x = 3$) el desgast és zero.

Troba la integral indefinida de la funció racional següent completant el quadrat al denominador per identificar una estructura d'arctangent:

Donada la funció $f(x) = |x - 2| \cdot e^x$, troba la primitiva $F(x)$ que verifica que $F(0) = 1$.

Recorda que perquè $F(x)$ sigui una primitiva en tot el seu domini, ha de ser una funció contínua, per la qual cosa hauràs d'ajustar les constants d'integració en els diferents trams.

Determina els valors dels paràmetres $A, B$ i $C$ perquè la funció $F(x) = (Ax^2 + B) \sin(2x) + Cx \cos(2x)$ sigui una primitiva de $f(x) = x^2 \cos(2x)$.

Planteja el sistema d'equacions derivant $F(x)$ i igualant coeficients.

Calcula la integral indefinida de la funció:

Aquest exercici avalua la capacitat de reconèixer l'estructura $g(u(x)) \cdot u'(x)$ quan hi ha múltiples funcions compostes.

Dos estudiants de 2n de Batxillerat, l'Alba i l'Hugo, debaten sobre quin és el mètode més adequat per resoldre la integral indefinida $I = \int \frac{x^2 + 3}{x^2 + 1}\, dx$:

• L'Alba sosté que sempre s'ha de fer la divisió euclidiana de polinomis per expressar la fracció impròpia de la forma $\frac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$.

• L'Hugo afirma que és més ràpid utilitzar l'artifici algebraic de sumar i restar $1$ al numerador: $x^2 + 3 = (x^2 + 1) + 2$, per separar directament la fracció en dues integrals immediates.

• Un tercer company, en Daniel, proposa pujar el denominador com a $(x^2 + 1)^{-1}$ i aplicar directament la regla de la potència: $\int u^n = \frac{u^{n+1}}{n+1}$.

1. a) Justifica rigorosament per què la proposta d'en Daniel és un error matemàtic greu, indicant quin element diferencial li falta a l'integrand per poder aplicar una regla de tipus potencial o logarítmica.
2. b) Desenvolupa de manera completa els procediments de l'Alba i de l'Hugo, demostrant que tots dos condueixen a la mateixa descomposició. Raona quin dels dos mètodes és més eficient i presenta menys risc d'error en aquest cas concret.
3. c) Calcula la primitiva particular $F(x)$ que compleix la condició $F(1) = \frac{\pi}{2} + 3$.

Es vol reconstruir analíticament una funció $f(x)$ i una de les seves primitives, $F(x)$, a partir de les propietats geomètriques següents observades en la família de corbes:

1. La recta tangent a qualsevol primitiva en un punt d'abscissa $x$ té pendent estrictament positiu si $x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$ i pendent estrictament negatiu si $x \in (0, 2)$.

2. La derivada segona de qualsevol primitiva és una funció lineal $F''(x) = \alpha x + \beta$ la gràfica de la qual talla l'eix d'abscisses a $x = 1$.

3. Hi ha una primitiva específica $F_1(x)$ el mínim relatiu de la qual s'assoleix a una alçada de $-3$ unitats i que a més talla l'eix $X$ en el punt $(3, 0)$.

1. a) Tradueix raonadament les condicions 1 i 2 per demostrar que la funció integrand ha de ser un polinomi de segon grau de la forma $f(x) = k(x^2 - 2x)$ amb $k > 0$.
2. b) Obtén mitjançant descomposició elemental la família de primitives $F(x)$ en funció dels paràmetres $k$ i de la constant $C$.
3. c) Fes servir la condició 3 per deduir de manera unívoca els valors de $k$ i de $C$, i escriu les fórmules definitives de $f(x)$ i de la primitiva particular $F_1(x)$.