Distancias en el espacio

En un entorno de desarrollo de un videojuego en 3D, dos objetos están situados en los puntos $A(2, -3, 1)$ y $B(6, 1, 1)$, donde las unidades están en metros. Calcula la distancia que separa a ambos objetos para programar una colisión si esta es menor de 5 metros.

Calcula las coordenadas de los puntos del eje de abscisas (eje $OX$) cuya distancia al punto $P(3, 2, 2)$ es exactamente de $\sqrt{8}$ unidades. Explica por qué obtienes dos soluciones geográficamente.

Una antena emisora de telefonía se encuentra en el punto $P(1, 2, -3)$. Se sabe que la señal es interceptada de forma óptima por un panel reflector plano cuya ecuación es $\pi: 3x - 4z + 2 = 0$. Determina la distancia mínima que debe recorrer la onda desde la antena hasta el panel.

Un sensor de profundidad láser se encuentra en el punto $S(5, -7, 4)$. El láser apunta directamente hacia la pared lateral, representada por el plano coordenado $XZ$. ¿A qué distancia se encuentra el sensor de dicha pared?

Halla las coordenadas de los puntos de la recta $r \equiv x = y = z$ que se encuentran a una distancia de $2\sqrt{3}$ unidades del plano $\pi \equiv x + 2y - 2z + 1 = 0$.

El gancho de una grúa de obra está suspendido en la posición $Q(4, -3, 12)$. Los técnicos necesitan conocer la distancia del gancho al eje de cotas (eje $OZ$). Calcula dicha distancia para verificar el espacio libre de giro de la grúa respecto al eje vertical de referencia.

Considera el punto $A(1, 5, -2)$ y la recta $r$ definida por sus ecuaciones paramétricas:

Halla la distancia del punto $A$ a la recta $r$ aplicando la fórmula del producto vectorial.

Un cohete de sondeo sigue una trayectoria lineal definida por la recta $r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$. El cohete debe enviar una señal a la estación de seguimiento situada en el punto $P(5, -1, 4)$. Calcula la distancia mínima a la que pasará el cohete de la estación de seguimiento durante su vuelo.

Se están diseñando las estructuras de soporte de un pabellón. Dos de las vigas principales se modelizan mediante las rectas $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{-1}$ y $s \equiv \frac{x}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z}{3}$. Determina la distancia mínima que separa a ambas vigas para comprobar si es necesario instalar un conector de seguridad entre ellas.

Dos satélites de comunicaciones siguen trayectorias lineales en el espacio (medidas en cientos de kilómetros) representadas por las rectas $r$ y $s$:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$ y $s: \frac{x-3}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-k}{1}$

Se pide:

1. Determinar el valor del parámetro $k$ para que la distancia mínima entre las dos trayectorias sea exactamente de $\sqrt{6}$ unidades (600 km).

2. Para el valor de $k$ obtenido en el apartado anterior, calcula los puntos de cada trayectoria donde se alcanza dicha distancia mínima (puntos de la perpendicular común).

En el diseño de una sala de exposiciones, el suelo y el techo se han modelado como dos planos paralelos de ecuaciones $\pi_1: x - 2y + 2z - 4 = 0$ y $\pi_2: x - 2y + 2z + 11 = 0$. Halla la altura de la sala.

Se ha instalado un raíl metálico para un robot industrial que sigue la trayectoria de la recta:

Si el suelo de la fábrica es el plano $\pi: x - 2z + 5 = 0$, comprueba primero que el raíl es paralelo al suelo y calcula después la distancia de seguridad a la que se encuentra el raíl del mismo.

Calcula el valor del parámetro $k$ para que la distancia entre los planos paralelos $\pi_1 \equiv 2x + 2y - z + 3 = 0$ y $\pi_2 \equiv 4x + 4y - 2z + k = 0$ sea de 3 unidades. Explica por qué existen dos posibles valores para $k$.