Exercicis: Distàncies en l'espai

En un entorn de desenvolupament d'un videojoc en 3D, dos objectes estan situats en els punts $A(2, -3, 1)$ i $B(6, 1, 1)$, on les unitats són en metres. Calcula la distància que separa tots dos objectes per programar una col·lisió si aquesta és menor de 5 metres.

Una antena emissora de telefonia es troba en el punt $P(1, 2, -3)$. Es sap que el senyal és interceptat de forma òptima per un panell reflector pla que té per equació $\pi: 3x - 4z + 2 = 0$. Determina la distància mínima que ha de recórrer l'ona des de l'antena fins al panell.

En el disseny d'una sala d'exposicions, el sòl i el sostre s'han modelat com dos plans paral·lels d'equacions $\pi_1: x - 2y + 2z - 4 = 0$ i $\pi_2: x - 2y + 2z + 11 = 0$. Troba l'altura de la sala.

El ganxo d'una grua d'obra està suspès en la posició $Q(4, -3, 12)$. Els tècnics necessiten conèixer la distància del ganxo a l'eix de cotes (eix $OZ$). Calcula aquesta distància per verificar l'espai lliure de gir de la grua respecte de l'eix vertical de referència.

Considera el punt $A(1, 5, -2)$ i la recta $r$ definida per les seves equacions paramètriques:

Troba la distància del punt $A$ a la recta $r$ aplicant la fórmula del producte vectorial.

Un sensor de profunditat làser es troba en el punt $S(5, -7, 4)$. El làser apunta directament cap a la paret lateral, representada pel pla coordenat $XZ$. A quina distància es troba el sensor d'aquesta paret?

S'ha instal·lat un raïl metàl·lic per a un robot industrial que segueix la trajectòria de la recta:

Si el sòl de la fàbrica és el pla $\pi: x - 2z + 5 = 0$, comprova primer que el raïl és paral·lel al sòl i calcula després la distància de seguretat a la qual es troba el raïl d'aquest.

Calcula les coordenades dels punts de l'eix d'abscisses (eix $OX$) la distància dels quals al punt $P(3, 2, 2)$ és exactament de $\sqrt{8}$ unitats. Explica per què obtens una única solució geomètricament.

En un examen de 2n de Batxillerat es demana calcular la distància entre els dos plans paral·lels $\pi_1: 2x - 2y + z - 6 = 0$ i $\pi_2: 4x - 4y + 2z + 8 = 0$. En Lucas escriu en el seu examen la resolució següent:

«Com que els plans són paral·lels, resto directament els termes independents i divideixo entre el mòdul del vector normal de $\pi_1$:

1. Localitza l'error conceptual que comet en Lucas en aplicar la fórmula directament amb els coeficients donats.

2. Explica geomètricament per què la fórmula simplificada de la resta de termes independents només és vàlida quan les equacions tenen exactament el mateix vector normal (o com es resoldria de manera segura triant un punt d'un dels plans).

3. Corregeix el càlcul i troba la distància real i exacta entre $\pi_1$ i $\pi_2$.

Es considera el punt $P(4, 3, 7)$ i la recta vertical $r \equiv \begin{cases} x = 1 \\ y = -1 \end{cases}$, que és paral·lela a l'eix $Z$.

1. Estima i raona: Abans d'aplicar cap fórmula, analitza la posició de $P$ i de la recta $r$. Raona per què la cota (coordenada $z$) de $P$ no ha d'influir en la distància mínima a la recta vertical $r$, i fes una deducció del valor exacte que hauria de tenir aquesta distància basant-te únicament en les coordenades $x$ i $y$ projectades en el pla $z = 0$.

2. Comprova: Escriu la recta $r$ en forma contínua o paramètrica, tria un punt $A \in r$, el seu vector director $\vec{v}$, i calcula formalment la distància aplicant la fórmula tridimensional del producte vectorial: $d(P, r) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$. Comprova si el resultat coincideix amb la teva deducció prèvia i raona quina magnitud geomètrica representa el vector $\vec{AP} \times \vec{v}$ en aquest context.

Un coet de sondeig segueix una trajectòria lineal definida per la recta $r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$. El coet ha d'enviar un senyal a l'estació de seguiment situada en el punt $P(5, -1, 4)$. Calcula la distància mínima a la qual passarà el coet de l'estació de seguiment durant el seu vol.

S'estan dissenyant les estructures de suport d'un pavelló. Dues de les bigues principals es modelitzen mitjançant les rectes $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{-1}$ i $s \equiv \frac{x}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z}{3}$. Determina la distància mínima que separa les dues bigues per comprovar si cal instal·lar un connector de seguretat entre elles.

En una excavació arqueològica, s'ha determinat que el terra original d'una estança es troba sobre el pla $\pi \equiv 2x - y + 2z - 6 = 0$. Un equip de sensors es desplaça sobre una guia metàl·lica representada per la recta $r \equiv \begin{cases} x = \mu \\ y = 4\mu - 1 \\ z = \mu + 1 \end{cases}$.

1. a) Comprova que la guia és paral·lela al terra de l'estança.
2. b) Calcula la distància constant a la qual es troben els sensors del terra.

Troba les coordenades dels punts de la recta $r \equiv x = y = z$ que es troben a una distància de $2\sqrt{3}$ unitats del pla $\pi \equiv x + 2y - 2z + 1 = 0$.

Determina el lloc geomètric dels punts de l'espai que equidisten dels punts $A(1, -2, 3)$ i $B(3, 0, 1)$. Quina figura geomètrica representa? Calcula la distància des de l'origen de coordenades a aquest lloc geomètric.

Considera el cub d'aresta 4 unitats amb un vèrtex a l'origen $(0,0,0)$ i les seves arestes situades sobre els eixos positius de coordenades. Calcula la distància des del vèrtex $V(4, 4, 4)$ a la diagonal del cub que uneix els punts $(4, 0, 0)$ i $(0, 4, 0)$.

Un feix de llum làser surt del punt $A(1, 1, 1)$ en la direcció del vector $\vec{v} = (1, 0, 2)$. Volem col·locar un mirall pla paral·lel al pla $XY$ de manera que la distància del punt $A$ al mirall sigui de 5 unitats.

1. a) Troba les dues possibles equacions dels plans que contenen el mirall.
2. b) Calcula la distància des de l'origen a cadascun d'aquests plans.

Calcula el valor del paràmetre $k$ perquè la distància entre els plans paral·lels $\pi_1 \equiv 2x + 2y - z + 3 = 0$ i $\pi_2 \equiv 4x + 4y - 2z + k = 0$ sigui de 3 unitats. Explica per què hi ha dos possibles valors per a $k$.

Es vol projectar una galeria subterrània de ventilació l'eix central de la qual segueix la recta:

Per protegir-la, es construiran dues pantalles planes paral·leles a la família de plans amb vector normal $\vec{n} = (2, 1, -2)$.

1. Explica raonadament per què, si la recta $r$ no fos paral·lela als plans d'aquesta família, no tindria sentit plantejar la cerca de plans de la família que es trobin a una distància constant no nul·la de la recta. Comprova analíticament que en aquest cas $r$ sí que és paral·lela a aquests plans.

2. Escriu l'equació general de la família de plans paral·lels $\pi_D \equiv 2x + y - 2z + D = 0$ i determina els dos valors possibles del paràmetre $D$ perquè la distància de la recta $r$ al pla corresponent sigui exactament de $5\text{ metres}$.

3. A partir dels valors de $D$ trobats, dedueix directament (sense tornar a aplicar la fórmula de distància) quina és la distància que separa les dues pantalles planes entre si, justificant la teva resposta.

El gestor de navegació aèria d'Espanya (ENAIRE) monitora al seu centre de control la trajectòria de dues aeronaus en ruta comercial dins de l'espai aeri peninsular. Prenent com a referència un sistema cartesià amb distàncies en quilòmetres, les trajectòries rectilínies d'ambdós vols venen descrites per:

1. Demostra analíticament que les trajectòries no són paral·leles ni es tallen en cap punt (és a dir, que es creuen en l'espai).

2. El protocol de seguretat aèria exigeix activar un avís preventiu si la distància mínima teòrica entre les trajectòries lineals és inferior a $8\text{ km}$. Calcula la distància mínima entre les dues rectes utilitzant la fórmula del producte mixt i el producte vectorial, i determina si el centre de control ha d'emetre aquest avís.

3. Des del punt de vista del moviment real dels avions, raona per què una distància entre trajectòries de menys de $8\text{ km}$ no implica obligatòriament un risc imminent de col·lisió física, indicant quina magnitud cinemàtica addicional s'hauria de considerar per saber si els dos avions coincideixen a prop del punt de màxima aproximació.

Dos satèl·lits de comunicacions segueixen trajectòries lineals en l'espai (mesurades en centenars de quilòmetres) representades per les rectes $r$ i $s$:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$ i $s: \frac{x-3}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-k}{1}$

Es demana:

1. Determinar els valors del paràmetre $k$ perquè la distància mínima entre les dues trajectòries sigui exactament de $\sqrt{6}$ unitats (600 km).

2. Per a cada valor de $k$ obtingut en l'apartat anterior, calcula els punts de cada trajectòria on s'assoleix la dita distància mínima (punts de la perpendicular comuna).

Una empresa de logística utilitza drons per al transport de paquets. Un dron es desplaça des del punt $A(1, 0, 2)$ en línia recta cap al punt $B(5, 4, 10)$. En el centre de la zona d'operacions hi ha una antena emissora situada en el punt $P(3, 5, 1)$.

Calcula:

1. El punt exacte de la trajectòria del dron que es troba a la distància mínima de l'antena.

2. Si el senyal de l'antena té un abast de $5$ unitats, determina durant quin interval del seu trajecte (valors del paràmetre $\lambda$) el dron té cobertura.

Es considera un pla $\pi$ que passa pel punt $M(1, 0, 3)$ i és perpendicular a la recta $r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{1}$.

1. Troba l'equació de l'esfera que és tangent al pla $\pi$ i té el seu centre en el punt $C(4, 5, 2)$.

2. Calcula la distància des de l'origen de coordenades al punt de tangència entre l'esfera i el pla.

Un arquitecte dissenya una estructura avantguardista composta per dos cables tensats. En un sistema de referència cartesià, el primer cable coincideix amb la recta $r$ que passa per $A(1, 1, 1)$ i $B(2, 3, 0)$. El segon cable segueix la direcció del vector $\vec{u} = (1, 0, 1)$ i passa pel punt $C(0, 2, 2)$.

Calcula:

1. La distància mínima entre els dos cables.

2. L'equació de la recta que representa un reforç metàl·lic que uneix tots dos cables pel camí més curt possible (perpendicular comuna).

Troba les coordenades dels punts de la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-3}{-1}$ que equidisten dels plans:

$\pi_1: x + 2y - 2z + 1 = 0$

$\pi_2: 8x - 4y + z - 5 = 0$

Analitza si existeix algun punt a la recta la distància del qual a tots dos plans sigui nul·la i explica'n el significat geomètric.

Sigui el punt $P(1, 2, -1)$ i la recta $r: \begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - z = 4 \end{cases}$.

1. Calcula el punt simètric de $P$ respecte de la recta $r$. Anomenem-lo $P'$.

2. Determina la distància de $P'$ al pla $\pi: 2x - 3y + z + 10 = 0$.

3. Quin és el volum del tetraedre format pel punt $P$, la seva projecció sobre la recta $r$, i els punts d'intersecció del pla $\pi$ amb els eixos $OX$ i $OY$?

Un raig làser parteix del punt $A(5, 2, 6)$ i es reflecteix en un mirall pla representat pel pla coordenat $XY$ ($z=0$). El raig reflectit ha de passar pel punt $B(1, 4, 2)$.

Es demana:

1. Trobar les coordenades del punt d'impacte $C$ del làser sobre el mirall.

2. Calcular la distància total recorreguda pel raig des del punt $A$ fins al punt $B$. (Nota: la distància mínima s'obté mitjançant el punt simètric).

Donada la família de plans $\pi_a: ax + (a-1)y + z + (a-2) = 0$, on $a \in \mathbb{R}$:

1. Demostra que tots els plans de la família contenen una mateixa recta comuna $r$. Troba les equacions d'aquesta recta.

2. Calcula la distància del punt $Q(2, -1, 0)$ a la recta $r$.

3. Determina el valor de $a$ per al qual el pla $\pi_a$ es troba a una distància de $\frac{1}{\sqrt{2}}$ unitats del punt $P(0, 0, 0)$.

Es tenen el punt $P(2, -1, 3)$ i la recta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z+1}{-2}$. Un exercici proposa resoldre dues qüestions successives:

(a) Calcular la distància del punt $P$ a la recta $r$.

(b) Trobar les coordenades del punt $P'$, simètric de $P$ respecte de $r$.

Dos estudiants debaten sobre l'estratègia de resolució:

• La Lucía proposa resoldre (a) mitjançant la fórmula del producte vectorial $d(P, r) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$, i després resoldre (b) determinant la projecció ortogonal $M$ de $P$ sobre $r$.

• En Carlos sosté que fer servir la fórmula del producte vectorial en aquest exercici és una mala elecció metodològica que genera càlculs redundants, i que és més eficient començar directament buscant la projecció ortogonal $M$.

Es demana:

1. Valora críticament ambdues postures: explica per què el mètode de la Lucía duplica l'esforç de càlcul i demostra com l'obtenció prèvia de la projecció ortogonal $M$ permet respondre de manera immediata als apartats (a) i (b).

2. Seguint el mètode proposat per en Carlos (mitjançant un punt genèric de la recta o construint el pla perpendicular auxiliar a $r$ que passa per $P$), troba les coordenades de la projecció ortogonal $M$, dedueix a partir d'aquest la distància exacta $d(P, r)$ i calcula les coordenades del punt simètric $P'$.

Dos plans secants $\pi_1 \equiv 2x - y + 2z - 1 = 0$ i $\pi_2 \equiv x + 2y - 2z + 5 = 0$ es tallen al llarg d'una recta a l'espai, dividint-lo en quatre regions angulars diedres.

1. Utilitzant la definició analítica de distància d'un punt a un pla, planteja la condició geomètrica que ha de complir qualsevol punt $X(x, y, z)$ de l'espai per equidistar de tots dos plans: $d(X, \pi_1) = d(X, \pi_2)$.

2. Desenvolupa l'equació resultant aplicant les propietats del valor absolut i obtén les equacions generals dels dos plans bisectors resultants, $\sigma_1$ i $\sigma_2$.

3. A partir dels vectors normals de $\sigma_1$ i $\sigma_2$, comprova algebraicament que tots dos plans bisectors són perpendiculars entre si.

4. Generalitza el resultat anterior per a qualsevol parell de plans secants: si dos plans tenen vectors normals unitaris $\vec{u}$ i $\vec{v}$ (amb $\vec{u} \neq \pm \vec{v}$), demostra mitjançant propietats del producte escalar que els vectors directors normals dels plans bisectors, $\vec{n}_1 = \vec{u} + \vec{v}$ i $\vec{n}_2 = \vec{u} - \vec{v}$, són sempre ortogonals, explicant el significat geomètric d'aquest fet.