Exercicis: Angles entre rectes i plans en l'espai

Un arquitecte està dissenyant la coberta inclinada d'un pavelló esportiu. En el seu projecte, l'estructura de suport principal segueix la direcció de la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{2}$, mentre que el terra del pavelló es troba sobre el pla horitzontal $\pi: z = 0$. Calcula l'angle que forma la biga de suport amb el terra.

La trajectòria d'un dron de vigilància ve definida per la recta $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3\lambda \end{cases}$. El dron ha de travessar un panell de cristall blindat situat en el pla $\pi: 2x + y - z + 4 = 0$. Determina l'angle d'incidència (l'angle que forma la trajectòria amb el pla) amb què el dron impactarà en el cristall.

Calcula l'angle que forma la recta $r$ que passa pels punts $A(1, 0, 1)$ i $B(2, 1, 2)$ amb el pla d'equació general $\pi: x + y + 1 = 0$.

Donada la recta $s: \frac{x}{1} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z+2}{2}$ i el pla $\pi: 3x - 2y + z - 5 = 0$, comprova si la recta i el pla són paral·lels o si, per contra, es tallen formant un angle determinat. En cas que es tallin, calcula aquest angle.

Un raig làser surt de l'origen de coordenades $O(0, 0, 0)$ en la direcció del vector $\vec{v} = (1, 1, 1)$. Es considera una paret plana l'equació de la qual és $\pi: x - 2y + z = 0$. Quin angle forma el feix de llum amb la superfície de la paret?

Troba l'angle que forma la recta $r: \begin{cases} x + y = 2 \\ z = 1 \end{cases}$ amb el pla coordenat $OXY$ ($z = 0$). Explica breument el significat geomètric del resultat obtingut.

Determina el valor del paràmetre $k$ perquè la recta $r: \frac{x-1}{k} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{-1}$ sigui perpendicular al pla $\pi: 2x + 4y - 2z + 7 = 0$. Quin és l'angle que formen en aquest cas?

Calcula el sinus de l'angle que forma la recta $r$, definida com la intersecció dels plans $\pi_1: x - y = 0$ i $\pi_2: y - z = 0$, amb el pla $\pi_3: x + y + 2z - 4 = 0$. (Sugeriment: Obtén primer el vector director de la recta $r$ mitjançant el producte vectorial dels normals de $\pi_1$ i $\pi_2$).

En Marcos s'enfronta al problema d'examen següent: «Calcula l'angle $\alpha$ que forma la recta $r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{0} = \frac{z}{0}$ amb el pla $\pi: x + \sqrt{3}y - 7 = 0$». En el seu desenvolupament escriu:

«Extrec el vector director de la recta $\vec v = (1, 0, 0)$ i el vector normal del pla $\vec n = (1, \sqrt{3}, 0)$. Aplico la fórmula del producte escalar:

Per tant, $\alpha = \arccos(1/2) = 60^\circ$».

1. a) Assenyala l'error conceptual que ha comès en Marcos i explica geomètricament per què la raó trigonomètrica adequada entre una recta i un pla és el sinus i no el cosinus.
2. b) Corregeix el procediment i troba el valor real de l'angle $\alpha$.
3. c) Si el producte escalar entre $\vec v$ i $\vec n$ hagués estat igual a $0$, quina posició relativa tindrien la recta i el pla? Quin angle formarien?

Considera la recta $r$ que passa per l'origen de coordenades $O(0, 0, 0)$ i pel punt $A(1, 1, 8)$, i el pla horitzontal del terra $\pi: z = 0$.

1. a) Estima: Abans de fer cap càlcul trigonomètric, analitza les components del vector director $\vec{OA} = (1, 1, 8)$. Si un punt ascendeix $8$ unitats en vertical mentre només avança $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} \approx 1,41$ unitats en el pla horitzontal, esperes raonablement que l'angle $\alpha$ de la recta amb el terra estigui més a prop de $15^\circ$, de $45^\circ$ o de $80^\circ$? Justifica qualitativament la teva predicció.
2. b) Calcula: Obtén analíticament el valor exacte de $\sin\alpha$ utilitzant els vectors corresponents i calcula el valor de $\alpha$ arrodonit al minut de grau més pròxim.
3. c) Comprova: Compara el resultat amb la teva estimació inicial. Raona què li passaria a l'angle $\alpha$ si la cota $z$ del punt $A$ augmentés indefinidament mantenint constants la seva abscissa i la seva ordenada.

Calcula l'angle agut que forma la recta $r$, que passa pels punts $A(1, 0, -2)$ i $B(3, -1, 1)$, amb el pla $\pi$ d'equació general $2x + y - 3z + 4 = 0$. Expressa el resultat en graus, minuts i segons.

Donada la recta $r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2\lambda \\ z = -1 - \lambda \end{cases}$ i el pla $\pi \equiv x + ky + 2z - 1 = 0$, determina el valor del paràmetre real $k$ sabent que l'angle que formen la recta i el pla és de $30^\circ$.

Un estudi d'arquitectura dissenya una claraboia en una teulada inclinada representada pel pla $\pi \equiv 3x + 4y + z - 12 = 0$. Un raig de llum incideix seguint la direcció de la recta $s \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z+2}{2}$.

Calcula l'angle $\alpha$ que forma el raig de llum amb el pla de la teulada i l'angle d'incidència $\beta$ que forma amb la normal al pla.

Determina l'equació implícita del pla $\pi$ que conté la recta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z}{1}$ i és perpendicular al pla $\sigma \equiv x - y + z + 3 = 0$. Una vegada trobat, comprova quin és l'angle que forma la recta $r$ amb aquest pla $\pi$. Era previsible el resultat? Raona la teva resposta.

Considera el cub d'aresta 1 unitat amb un vèrtex a l'origen $(0,0,0)$ i arestes sobre els eixos de coordenades positius. Sigui $d$ la recta que conté la diagonal principal del cub (la que uneix $(0,0,0)$ amb $(1,1,1)$).

Troba l'angle que forma aquesta diagonal $d$ amb la cara del cub que es troba en el pla $XY$.

Troba l'angle que forma la recta $r$, definida com la intersecció dels plans $\pi_1 \equiv x - y = 0$ i $\pi_2 \equiv 2y + z = 1$, amb el pla $\alpha \equiv 3x - z = 0$.

S'ha instal·lat un panell solar representat pel pla $\pi \equiv x + y + az + d = 0$. Es sap que el panell passa pel punt $P(1, 2, 1)$ i que per maximitzar la seva eficiència ha de formar un angle de $60^\circ$ amb l'eix $OZ$ (la vertical).

Calcula els possibles valors del paràmetre $a$ (suposa $a > 0$).

Calcula l'angle que forma la recta $r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{-1}$ amb cadascun dels plans coordenats. Sumen $180^\circ$ aquests tres angles? Justifica la teva resposta utilitzant els conceptes de vectors directors i normals.

En una explotació agroenergètica de regadiu a la província de Jaén, s'instal·la una placa solar orientada per maximitzar la captació estival. En el sistema de coordenades fixat (amb cotes en metres i el terra situat en el pla horitzontal $z = 0$), el panell fotovoltaic descansa sobre el pla $\pi: 2x - y + 2z - 6 = 0$.

Per reforçar l'estructura contra el vent, s'ancora una barra rectilínia d'acer $r$ que uneix el punt del terra $A(1, 0, 0)$ amb el vèrtex superior de l'estructura $B(3, 2, 4)$.

1. a) Determina les equacions contínues de la recta $r$ que modelitza la barra i les components d'un vector normal $\vec n$ al pla $\pi$ del panell.
2. b) Calcula l'angle $\alpha \in [0^\circ, 90^\circ]$ que forma la barra amb la superfície plana del panell solar.
3. c) La memòria tècnica del projecte adverteix que, per evitar tensions d'estripada en els ancoratges del panell, la barra de reforç ha d'incidir sobre la superfície amb un angle estrictament superior a $20^\circ$. Dictamina justificadament si la instal·lació executada compleix aquesta prescripció tècnica.

Es projecta dissenyar una rampa rectilínia de càrrega $r$ que parteixi del punt d'ancoratge $P(1, 0, 2)$. Per limitacions arquitectòniques de la nau industrial, la trajectòria de la rampa ha de quedar totalment continguda en el pla vertical $\pi_1: x = 1$ i, a més, els protocols d'ergonomia exigeixen que ascendeixi formant un angle exacte de $30^\circ$ amb el terra horitzontal $\pi_2: z = 0$.

1. a) A partir de la condició de pertinença al pla $\pi_1: x = 1$, dedueix quina component del vector director $\vec v = (v_1, v_2, v_3)$ queda anul·lada obligatòriament.
2. b) Planteja l'equació de l'angle entre recta i pla amb $\pi_2: z = 0$ per trobar les components dels possibles vectors directors $\vec v$ (assumint, per fixar l'escala, que la component vertical és $v_3 = 1$).
3. c) Escriu les equacions contínues de les dues rectes diferents que resolen el problema i raona geomètricament per què apareixen exactament dues solucions simètriques respecte a la recta vertical que passa per $P$.

Un feix de llum làser incideix des d'un satèl·lit seguint la trajectòria de la recta $r$, que passa pel punt $A(1, 0, 2)$ i té com a vector director $\vec{v}(k, 1, 1)$. L'objectiu és que el raig impacti sobre una estació receptora situada en un pla $\pi$ d'equació $2x - y + z = 5$. Determina els valors del paràmetre real $k$ perquè l'angle que forma la trajectòria del làser amb el pla receptor sigui exactament de $30^\circ$.

En el disseny d'un auditori d'avantguarda, es projecta una biga de suport que segueix la direcció de la recta $s$, definida per la intersecció dels plans:

$s \equiv \begin{cases} x + y - z = 0 \\ 2x - y + 3z = 1 \end{cases}$

Es vol que aquesta biga formi un angle $\alpha$ amb el pla de la façana principal $\pi \equiv x + ay + z = 3$. Si se sap que $\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{6}}{6}$, calcula el valor del coeficient $a$ de la façana.

Un braç robòtic industrial en una planta d'assemblatge s'ha de desplaçar sobre una guia rectilínia $r$ que passa per l'origen de coordenades $O(0,0,0)$ i pel punt $P(1, -1, 0)$. El braç ha d'operar sobre una placa metàl·lica inclinada que coincideix amb el pla $\pi$ que conté els punts $A(2, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$ i $C(0, 0, 2)$. Calcula l'angle que forma la trajectòria del robot amb la placa de treball.

Una partícula carregada es mou en un accelerador seguint la recta $r$ que passa pel punt $M(2, 3, -1)$ i és paral·lela a la recta $s \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{2}$. En entrar en una zona amb un camp magnètic, la partícula creua un pla $\pi$ que és perpendicular a la recta $t \equiv (x,y,z) = (1, 0, 0) + \lambda(1, -2, 2)$. Determina l'angle d'entrada de la partícula en aquest camp magnètic (angle entre $r$ i $\pi$).

Es considera una piràmide la base de la qual és el pla $XY$ ($z=0$) i l'aresta lateral principal de la qual està sobre la recta $r$ que uneix el vèrtex superior $V(2, 2, 5)$ amb el punt de la base $P(0, 0, 0)$.

1. a) Troba l'angle que forma aquesta aresta amb el pla de la base.
2. b) Si volguéssim inclinar el pla de la base perquè l'angle amb l'aresta fos de $90^\circ$, quina hauria de ser l'equació del nou pla de la base si ha de continuar passant per l'origen?

Troba l'equació de la recta $r$ que passa pel punt $Q(1, 1, 1)$, és paral·lela al pla $\alpha \equiv x - y + z = 2$ i forma un angle de $45^\circ$ amb el pla $\beta \equiv x + y = 0$. És única aquesta recta? Justifica raonadament la teva resposta utilitzant el concepte de vectors directors.

Un panell solar es col·loca sobre una estructura metàl·lica. El panell està contingut en el pla $\pi \equiv x + y + z = 1$. Els raigs del sol al migdia segueixen la direcció de la recta $r$ que passa pel punt $S(10, 10, 10)$ i és perpendicular al pla d'inclinació del terreny $\sigma \equiv 2x - y = 0$.

1. a) Calcula l'angle d'incidència dels raigs solars sobre el panell.
2. b) Si per obtenir la màxima eficiència l'angle ha de ser de $90^\circ$, determina un vector normal per a un nou panell que compleixi aquesta condició.

Calcula l'angle que forma la recta $r$ amb el pla $\pi$, sabent que $r$ és la recta que conté la mediana que parteix del vèrtex $A$ en el triangle de vèrtexs $A(1, 2, 1)$, $B(3, 0, 1)$ i $C(1, 4, 3)$, i que el pla $\pi$ és el pla que conté els punts $B$, $C$ i l'origen de coordenades $O(0, 0, 0)$.

Donada la recta $r: \frac{x-3}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-4}{2}$ i el pla horitzontal $XY$ d'equació general $\pi: z = 0$.

Per trobar l'angle $\alpha$ que forma la recta $r$ amb aquest pla, dos estudiants de 2n de Batxillerat proposen camins alternatius:

• Estratègia A (Angle recta-pla): Utilitzar el vector normal del pla $\vec n = (0, 0, 1)$ i el vector director $\vec v = (2, -1, 2)$ mitjançant la fórmula directa $\sin\alpha = \frac{|\vec v \cdot \vec n|}{|\vec v|\cdot|\vec n|}$.

• Estratègia B (Angle complementari amb l'eix $OZ$): Tractar l'eix vertical $OZ$ com una recta de vector director $\vec u = (0, 0, 1)$, calcular l'angle entre rectes $\beta$ mitjançant $\cos\beta = \frac{|\vec v \cdot \vec u|}{|\vec v|\cdot|\vec u|}$ i finalment obtenir $\alpha = 90^\circ - \beta$.

1. a) Desenvolupa completament els dos mètodes numèricament i comprova que proporcionen exactament la mateixa mesura per a $\alpha$.
2. b) Demostra analíticament que la fórmula de l'Estratègia A es dedueix de l'Estratègia B aplicant la identitat trigonomètrica $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, explicant el paper del complementari en la definició mètrica.
3. c) Avalua críticament els dos procediments: si el pla del problema no fos horitzontal sinó un pla oblic qualsevol (per exemple, $\pi': 2x - 3y + z = 5$), quin desavantatge insalvable o sobrecost operatiu presentaria l'Estratègia B respecte a l'Estratègia A? Justifica quin és el mètode general preferible.

Considera la recta $s$ definida per la intersecció de plans:

i la recta $r$ donada en forma contínua:

Es defineix el feix de plans secants en la recta $s$, l'equació del qual ve donada per $\pi_\lambda: (x - z) + \lambda(y - 3) = 0$ amb $\lambda \in \mathbb{R}$, al qual s'afegeix el pla complementari $\pi_\infty: y - 3 = 0$.

1. a) Troba els valors de $\lambda$ per als quals l'angle $\alpha$ format per la recta $r$ i el pla $\pi_\lambda$ és exactament de $45^\circ$. Escriu l'equació general de cadascun dels plans obtinguts.
2. b) Comprova analíticament si el pla complementari $\pi_\infty: y - 3 = 0$ forma també $45^\circ$ amb $r$.
3. c) Raona geomètricament si existeix algun pla dins d'aquest feix que pugui ser estrictament perpendicular a la recta $r$. Per a fer-ho, analitza la condició necessària que haurien de complir els vectors directors d'ambdues rectes $\vec v_s$ i $\vec v_r$, sense necessitat de resoldre sistemes d'equacions complexos.