Ángulos entre rectas y planos en el espacio
Un rayo láser sale de un satélite y tiene que chocar con un panel receptor en la Tierra con una inclinación exacta, ni más vertical ni más rasante. Ese ángulo —el que forma una trayectoria rectilínea con una superficie plana— aparece en antenas, tejados, paneles solares y brazos robóticos. Vas a calcularlo siempre con la misma idea: comparar el vector director de la recta con el vector normal del plano.
El ángulo entre una recta y un plano
Un arquitecto está diseñando la cubierta inclinada de un pabellón deportivo. En su proyecto, la estructura de soporte principal sigue la dirección de la recta…
Un arquitecto está diseñando la cubierta inclinada de un pabellón deportivo. En su proyecto, la estructura de soporte principal sigue la dirección de la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{2}$, mientras que el suelo del pabellón se encuentra sobre el plano horizontal $\pi: z = 0$. Calcula el ángulo que forma la viga de soporte con el suelo.
Calcula el ángulo que forma la recta $r$ que pasa por los puntos $A(1, 0, 1)$ y $B(2, 1, 2)$ con el plano de ecuación general $\pi: x + y + 1 = 0$.
Calcula el ángulo que forma la recta $r$ que pasa por los puntos $A(1, 0, 1)$ y $B(2, 1, 2)$ con el plano de ecuación general $\pi: x + y + 1 = 0$.
Calcula el ángulo agudo que forma la recta $r$, que pasa por los puntos $A(1, 0, -2)$ y $B(3, -1, 1)$, con el plano $\pi$ de ecuación general $2x + y - 3z + 4 = 0$.…
Calcula el ángulo agudo que forma la recta $r$, que pasa por los puntos $A(1, 0, -2)$ y $B(3, -1, 1)$, con el plano $\pi$ de ecuación general $2x + y - 3z + 4 = 0$. Expresa el resultado en grados, minutos y segundos.
Casos particulares: perpendicular o paralela
Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta $r: \frac{x-1}{k} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{-1}$ sea perpendicular al plano $\pi: 2x + 4y - 2z + 7 = 0$. ¿Cuál es…
Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta $r: \frac{x-1}{k} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{-1}$ sea perpendicular al plano $\pi: 2x + 4y - 2z + 7 = 0$. ¿Cuál es el ángulo que forman en este caso?
Dada la recta $r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2\lambda \\ z = -1 - \lambda \end{cases}$ y el plano $\pi \equiv x + ky + 2z - 1 = 0$, determina el valor…
Dada la recta $r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2\lambda \\ z = -1 - \lambda \end{cases}$ y el plano $\pi \equiv x + ky + 2z - 1 = 0$, determina el valor del parámetro real $k$ sabiendo que el ángulo que forman la recta y el plano es de $30^\circ$.
La recta como intersección de dos planos
Calcula el seno del ángulo que forma la recta $r$, definida como la intersección de los planos $\pi_1: x - y = 0$ y $\pi_2: y - z = 0$, con el plano…
Calcula el seno del ángulo que forma la recta $r$, definida como la intersección de los planos $\pi_1: x - y = 0$ y $\pi_2: y - z = 0$, con el plano $\pi_3: x + y + 2z - 4 = 0$. (Sugerencia: Obtén primero el vector director de la recta $r$ mediante el producto vectorial de los normales de $\pi_1$ y $\pi_2$).
Halla el ángulo que forma la recta $r$, definida como la intersección de los planos $\pi_1 \equiv x - y = 0$ y $\pi_2 \equiv 2y + z = 1$, con el plano…
Halla el ángulo que forma la recta $r$, definida como la intersección de los planos $\pi_1 \equiv x - y = 0$ y $\pi_2 \equiv 2y + z = 1$, con el plano $\alpha \equiv 3x - z = 0$.
Ángulo con los planos coordenados y con un eje
Se ha instalado un panel solar representado por el plano $\pi \equiv x + y + az + d = 0$. Se sabe que el panel pasa por el punto $P(1, 2, 1)$ y que para maximizar su…
Se ha instalado un panel solar representado por el plano $\pi \equiv x + y + az + d = 0$. Se sabe que el panel pasa por el punto $P(1, 2, 1)$ y que para maximizar su eficiencia debe formar un ángulo de $60^\circ$ con el eje $OZ$ (la vertical).
Calcula los posibles valores del parámetro $a$ (supón $a > 0$).
Calcula el ángulo que forma la recta $r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{-1}$ con cada uno de los planos coordenados. ¿Suman $180^\circ$ estos tres…
Calcula el ángulo que forma la recta $r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{-1}$ con cada uno de los planos coordenados. ¿Suman $180^\circ$ estos tres ángulos? Justifica tu respuesta utilizando los conceptos de vectores directores y normales.