Sucesiones; límite de una sucesión

Dada la sucesión $a_n = \frac{3n + 2}{n + 1}$, demuestra mediante la definición formal de límite ($\varepsilon$ y $N$) que su límite es $L = 3$.

Para ello, para un valor de $\varepsilon = 0,001$, determina a partir de qué término $N$ de la sucesión se cumple que $|a_n - L| < \varepsilon$.

En el estudio de algoritmos de computación, es fundamental conocer la velocidad a la que crecen ciertas funciones. Calcula el límite de la siguiente sucesión comparando los órdenes de infinitud de los diferentes términos (factoriales, exponenciales y potencias):

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n! + 10^n}{n^n - 5^n}$$

Explica razonadamente qué término domina en el numerador y cuál en el denominador para justificar tu resultado.

Dadas las siguientes sucesiones, utiliza la jerarquía de infinitos para determinar, sin realizar operaciones algebraicas extensas, cuál es el valor de su límite cuando $n \to \infty$:

1. a) $b_n = \frac{n^5 + 10^6}{\ln(n^2 + 1) + 0,5^n}$

1. b) $c_n = \frac{\sqrt{n^3 + 4n}}{2n + \sqrt[3]{n^5}}$

1. c) $d_n = \frac{1,02^n}{n^{1000} + 5n}$

Utilizando la comparación de órdenes de infinitud (exponencial frente a polinómica), halla el límite de la sucesión:

$$e_n = \frac{3^n}{n^{10} + 500}$$

Utiliza el Teorema del Sándwich (o Teorema de la existencia de límite por acotación) para hallar el valor del límite de la sucesión $a_n$ definida por la siguiente suma de fracciones:

$$a_n = \frac{n}{n^2+1} + \frac{n}{n^2+2} + \frac{n}{n^2+3} + \dots + \frac{n}{n^2+n}$$

Se define una sucesión de forma recurrente mediante la fórmula:

$$a_1 = \sqrt{6}$$ $$a_{n+1} = \sqrt{6 + a_n}$$

Suponiendo que la sucesión es convergente (puedes visualizar su comportamiento en el diagrama de abajo), calcula el valor exacto de su límite $L = \lim_{n \to \infty} a_n$.

Estudia el comportamiento de la sucesión recurrente definida por:

$a_1 = 2$

$a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{4}{a_n} \right)$

Si suponemos que la sucesión es convergente y que su límite es $L$ ($L > 0$), calcula dicho valor resolviendo la ecuación $L = \frac{1}{2} \left( L + \frac{4}{L} \right)$. ¿A qué constante irracional famosa corresponde este resultado?

Un dron de vigilancia está programado para realizar una serie de saltos en línea recta. En el primer segundo recorre $d$ metros. En cada segundo posterior, recorre una distancia que es la mitad de la distancia recorrida en el segundo anterior más un metro extra para compensar el viento. Si $x_n$ es la distancia total acumulada tras $n$ segundos:

1. a) Encuentra la expresión del término general de la distancia recorrida en cada segundo $a_n$.
2. b) Determina la distancia que recorrerá el dron en un segundo dado cuando $n$ tiende a infinito (es decir, el límite de la sucesión de distancias parciales).

Calcula el valor del siguiente límite de una sucesión que presenta una indeterminación del tipo $1^\infty$, prestando especial atención a la manipulación algebraica de la base y el exponente:

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n^2 + 5n - 1}{2n^2 - 3n + 2} \right)^{\frac{n^2 + 1}{2n - 3}}$$

Determina el límite de la siguiente sucesión, la cual involucra una diferencia de raíces de distinto índice (cúbica y cuadrada). Para resolverlo, deberás forzar la aparición de un factor común o utilizar la técnica de sumar y restar un término intermedio que permita separar la expresión en dos límites tratables:

$$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt[3]{n^3 + 3n^2} - \sqrt{n^2 - 4n} \right)$$

Halla los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que se cumpla la siguiente igualdad entre el límite de la sucesión y el valor indicado:

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^2 + 5n + 1}{n - 2} - an - b \right) = 0$$