Exercicis: Successions; límit d'una successió

Donada la successió el terme general de la qual és $a_n = \frac{1}{n^2}$, amb $n = 1, 2, 3, \dots$

1. a) Escriu els quatre primers termes de la successió.

1. b) Raona, de manera intuïtiva, quin és el valor del seu límit quan $n$ tendeix a infinit:

$$\lim_{n \to \infty} a_n$$

Calcula el límit de la successió racional següent comparant els graus del numerador i del denominador:

$$a_n = \frac{5n^2 - 3n + 1}{2n^2 + 7}$$

Determina el valor del límit de la successió $b_n$ quan $n$ creix indefinidament:

$$b_n = \frac{100n + 50}{n^2 - 1}$$

En una xarxa social, el nombre de "m'agrada" d'una publicació en les primeres hores segueix la progressió $c_n = \frac{4n^2}{n+2}$, on $n$ és el nombre d'hores des de la publicació. Què passa amb la quantitat de "m'agrada" a molt llarg termini? Calcula:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{4n^2}{n+2}$$

Calcula el límit de la successió següent, que involucra una arrel quadrada, analitzant el terme de grau més gran:

$$d_n = \frac{\sqrt{9n^2 + n}}{2n - 3}$$

La gràfica mostra alguns dels seus primers termes (a partir de $n=3$).

Utilitzant la comparació d'ordres d'infinitud (exponencial enfront de polinòmica), troba el límit de la successió:

$$e_n = \frac{3^n}{n^{10} + 500}$$

S'estima que el valor d'un ordinador portàtil després de $n$ anys ve donat per la successió $v_n = 1200 \cdot (0,8)^n$. Calcula el límit d'aquesta successió i interpreta què significa el resultat en el context de la devaluació de l'equip.

$$\lim_{n \to \infty} 1200 \cdot (0,8)^n$$

A la figura es representen, per a $n=1,2,\dots,10$, els termes de dues successions: els punts blaus corresponen a $a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ i els punts verds a

$$x_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n}$$

1. a) Identifica quina de les dues successions de la figura (blava o verda) correspon a la definició del número $e$ i escriu el seu límit.

1. b) Calcula $\displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n$ (els punts verds), raonant a partir de la definició de $e$, i comprova que el resultat és coherent amb la tendència que s'observa a la figura.

En un examen de Matemàtiques II, en Marcos ha de calcular el límit de la successió següent:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{5^n + n!}{2\cdot n! - 3^n}$$

Per resoldre'l, en Marcos escriu el desenvolupament següent:

«Al numerador, $5^n$ és una funció exponencial amb base 5, per la qual cosa domina sobre $n!$. Al denominador passa el mateix amb $3^n$, que domina sobre $2\cdot n!$. Per tant, el límit equival a $\lim_{n \to \infty} \frac{5^n}{-3^n} = -\lim_{n \to \infty} \left(\frac{5}{3}\right)^n = -\infty$».

1. a) Identifica i explica detalladament l'error conceptual que comet en Marcos en relació amb la jerarquia d'infinits ($\log n \ll n^k \ll a^n \ll n! \ll n^n$).
2. b) Corregeix la seva resolució: treu factor comú al numerador i al denominador del terme que veritablement domina a l'infinit i calcula el valor correcte del límit.

Donada la successió de terme general:

$$a_n = \frac{6n^2 + \cos(n)\cdot \sqrt{n}}{2n^2 + 5}$$

1. a) Estima: Analitza quins termes creixen amb més rapidesa al numerador i al denominador quan $n$ tendeix a infinit. Tenint en compte que els valors de la funció cosinus oscil·len fitats a l'interval $[-1, 1]$, fes una estimació intuïtiva i raonada del valor al qual ha de convergir la successió abans d'efectuar càlculs formals.
2. b) Comprova: Demostra formalment la teva estimació aplicant el teorema de l'entrepà. Per fer-ho, construeix dues successions senzilles $b_n$ i $c_n$ que verifiquin la desigualtat $b_n \le a_n \le c_n$ per a tot $n \ge 1$, calcula $\lim_{n \to \infty} b_n$ i $\lim_{n \to \infty} c_n$, i confirma si el resultat obtingut coincideix amb el valor estimat.

Calcula el límit de la successió següent analitzant els graus dels polinomis i justificant el resultat mitjançant la comparació dels termes de major grau:

$a_n = \frac{(3n - 1)^2 \cdot (n + 2)}{(2n + 3)^3 - 5n}$

Donades les successions següents, utilitza la jerarquia d'infinits per a determinar, sense realitzar operacions algebraiques extenses, quin és el valor del seu límit quan $n \to \infty$:

1. a) $b_n = \frac{n^5 + 10^6}{\ln(n^2 + 1) + 0,5^n}$

1. b) $c_n = \frac{\sqrt{n^3 + 4n}}{2n + \sqrt[3]{n^5}}$

1. c) $d_n = \frac{1,02^n}{n^{1000} + 5n}$

Resol el límit de la successió $a_n = \sqrt{4n^2 + 3n - 1} - 2n$.

Per visualitzar-ne el comportament, a la figura es representen els vuit primers termes $a_1, a_2, \dots, a_8$. Observa cap a quin valor semblen acostar-se i després justifica el resultat amb el càlcul del límit (per exemple, multiplicant i dividint pel conjugat).

Un inversor analitza el creixement d'una criptomoneda l'evolució diària de la qual segueix la llei d'una successió de tipus exponencial. El valor relatiu després de $n$ dies ve donat per:

$V_n = \left( \frac{5n^2 + 3n}{5n^2 - 2} \right)^{n+1}$

Calcula el valor a què tendeix la moneda a llarg termini utilitzant la relació amb el nombre $e$.

Troba el valor dels paràmetres reals $k$ i $t$ perquè es verifiqui la igualtat següent:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{kn + 5}{3n - 1} \right)^n = e^t$

Sabent que el límit de la base és $1$ i que el resultat final és $e^2$.

Estudia el comportament de la successió recurrent definida per:

$a_1 = 2$

$a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{2}{a_n} \right)$

Si suposem que la successió és convergent i que el seu límit és $L$ ($L > 0$), calcula aquest valor resolent l'equació $L = \frac{1}{2} \left( L + \frac{2}{L} \right)$. A quina constant irracional famosa correspon aquest resultat?

En un laboratori de biotecnologia, el nombre de bacteris d'una soca (en milions) després de $n$ hores es modelitza mitjançant la successió:

$P_n = \frac{12n^2 + \text{sen}(n)}{3n^2 + 500}$

Determina la població de bacteris quan el temps tendeix a infinit. Raona què passa amb el terme $\text{sen}(n)$ en el càlcul del límit.

Calcula el límit de la successió següent, que presenta una resta de fraccions amb diferent denominador:

$a_n = \frac{2n^2 + 1}{n - 1} - \frac{2n^3 + 5}{n^2 + 2}$

Indica si la successió és divergent o convergent després de resoldre la indeterminació $\infty - \infty$.

L'Institut Nacional d'Estadística (INE) estudia l'evolució demogràfica d'un municipi rural a la comarca de Molina de Aragón (Guadalajara). El nombre d'habitants a l'inici de l'any $n+1$, denotat per $P_{n+1}$, es modelitza a partir de la població de l'any previ $P_n$ mitjançant la relació de recurrència següent:

$$P_{n+1} = 0,95\cdot P_n + 30$$

El coeficient $0,95$ modelitza una pèrdua neta anual del $5\,\%$ pel balanç vegetatiu i migratori, mentre que la constant $30$ representa els nous residents que s'empadronen cada any atrets per incentius al teletreball.

1. a) Si a l'any inicial el cens és de $P_1 = 800$ habitants, calcula de manera justificada la població dels tres anys següents ($P_2$, $P_3$ i $P_4$) arrodonint els resultats a nombres enters, i indica la tendència immediata que observes.
2. b) Sabent que la successió és convergent i que el seu límit finit $L = \lim_{n \to \infty} P_n$ satisfà l'equació de punt fix $L = f(L)$, calcula a quina quantitat d'habitants tendirà la població del municipi a llarg termini.
3. c) Interpreta el valor de $L$ en el context sociodemogràfic del problema: s'acabarà despoblant completament la localitat o assolirà un equilibri demogràfic estable? Justifica la teva resposta.

Considera la successió donada per:

$$a_n = \left(\frac{3n + a}{3n - 1}\right)^{b\cdot n + 2}$$

on $a$ i $b$ són constants reals fixes, amb $b > 0$.

1. a) Justifica que la base de la potència tendeix a $1$ i l'exponent a $+\infty$ quan $n \to \infty$, identificant el tipus d'indeterminació que presenta la successió.
2. b) Problema invers: Determina els valors exactes dels paràmetres $a$ i $b$ sabent que la successió convergeix al nombre real $e^4$ i que tots dos satisfan la relació lineal $a - 2b = 1$. Mostra tot el procediment aplicant l'equivalència $\lim_{n \to \infty} (u_n)^{v_n} = e^L$, amb $L = \lim_{n \to \infty} v_n \cdot (u_n - 1)$.
3. c) Amb els valors trobats, calcula raonadament el límit de la successió auxiliar $s_n = \ln(a_n)$ justificant la propietat de límits i continuïtat que utilitzes.

Calcula el valor del límit següent d'una successió que presenta una indeterminació del tipus $1^\infty$, prestant especial atenció a la manipulació algebraica de la base i l'exponent:

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n^2 + 5n - 1}{2n^2 - 3n + 2} \right)^{\frac{n^2 + 1}{2n - 3}}$$

Determina el límit de la successió següent, la qual involucra una diferència d'arrels de diferent índex (cúbica i quadrada). Per a resoldre'l, hauràs de forçar l'aparició d'un factor comú o utilitzar la tècnica de sumar i restar un terme intermedi que permeti separar l'expressió en dos límits tractables:

$$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt[3]{n^3 + 3n^2} - \sqrt{n^2 - 4n} \right)$$

En l'estudi d'algorismes de computació, és fonamental conèixer la velocitat a la qual creixen certes funcions. Calcula el límit de la successió següent comparant els ordres d'infinitud dels diferents termes (factorials, exponencials i potències):

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n! + 10^n}{n^n - 5^n}$$

Explica raonadament quin terme domina al numerador i quin al denominador per a justificar el teu resultat.

Utilitza el Teorema del Sandvitx (o Teorema de l'existència de límit per acotació) per a trobar el valor del límit de la successió $a_n$ definida per la suma de fraccions següent:

$$a_n = \frac{n}{n^2+1} + \frac{n}{n^2+2} + \frac{n}{n^2+3} + \dots + \frac{n}{n^2+n}$$

Troba els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$ perquè es compleixi la igualtat següent entre el límit de la successió i el valor indicat:

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^2 + 5n + 1}{n - 2} - an - b \right) = 0$$

Es defineix una successió de forma recurrent mitjançant la fórmula:

$$a_1 = \sqrt{6}$$ $$a_{n+1} = \sqrt{6 + a_n}$$

Suposant que la successió és convergent (pots visualitzar el seu comportament en el diagrama de sota), calcula el valor exacte del seu límit $L = \lim_{n \to \infty} a_n$.

Un dron de vigilància està programat per a realitzar una sèrie de salts en línia recta. En el primer segon recorre $d$ metres. En cada segon posterior, recorre una distància que és la meitat de la distància recorreguda en el segon anterior més un metre extra per a compensar el vent. Si $x_n$ és la distància total acumulada després de $n$ segons:

1. a) Troba l'expressió del terme general de la distància recorreguda en cada segon $a_n$.
2. b) Determina la distància que recorrerà el dron en un segon donat quan $n$ tendeix a infinit (és a dir, $\lim_{n \to \infty} a_n$).

Donada la successió $a_n = \frac{3n + 2}{n + 1}$, demostra mitjançant la definició formal de límit ($\varepsilon$ i $N$) que el seu límit és $L = 3$.

Per a fer-ho, per a un valor de $\varepsilon = 0,001$, determina a partir de quin terme $N$ de la successió es compleix que $|a_n - L| < \varepsilon$.

Es vol trobar el límit de la successió formada per la suma següent de $n$ sumands:

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}} = \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}}$$

Per resoldre'l, dos estudiants de 2n de Batxillerat proposen camins diferents:

• Proposta d'en Javier: «Com que el límit d'una suma és la suma dels límits, calculo el límit de cada sumand quan $n \to \infty$. Com que $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}} = 0$ per a qualsevol $k$, la suma de tots els límits dóna $0 + 0 + \dots + 0 = 0$. Per tant, $\lim_{n \to \infty} S_n = 0$».

• Proposta de l'Elena: «El mètode d'en Javier no és vàlid perquè el nombre de sumands no és fix, sinó que depèn de $n$ i tendeix a infinit. Hem de fitar la suma completa substituint tots els denominadors pel més gran i pel més petit per aplicar després el teorema de l'entrepà».

1. a) Analitza la proposta d'en Javier: explica per què la propietat algebraica del límit d'una suma no es pot aplicar en aquest cas i proposa un contraexemple senzill on una suma de $n$ termes que tendeixen individualment a zero convergeixi a un valor diferent de zero.
2. b) Aplica la proposta de l'Elena: determina de manera raonada dues successions $b_n$ i $c_n$ tals que $b_n \le S_n \le c_n$, calcula els seus límits respectius quan $n \to \infty$ i dedueix el veritable valor de $\lim_{n \to \infty} S_n$.

Considera la successió amb arrels de diferent índex:

$$a_n = \sqrt{n^2 + 6n} - \sqrt[3]{n^3 + 3n^2}$$

1. a) Estima: Per a valors gegantins de $n$, aproxima el comportament de cada terme completant quadrats i cubs: observa que $n^2 + 6n = (n+3)^2 - 9 \approx (n+3)^2$ i que $n^3 + 3n^2 = (n+1)^3 - (3n+1) \approx (n+1)^3$. A partir d'aquesta aproximació asimptòtica informal, proposa una estimació raonada del límit de la successió abans d'operar.
2. b) Comprova: Demostra rigorosament el valor exacte del límit sumant i restant el terme auxiliar $n$ per transformar l'expressió en la diferència de dos blocs tractables:

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left[ \left(\sqrt{n^2 + 6n} - n\right) - \left(\sqrt[3]{n^3 + 3n^2} - n\right) \right]$$

Multiplica i divideix cada bloc per la seva expressió conjugada corresponent (utilitzant en el bloc cúbic la identitat $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$), calcula el límit de cada part i verifica si el resultat coincideix amb la teva estimació.

1. c) Justifica l'error típic: Explica raonadament per què un procediment que conservi únicament el terme de grau més gran dins de cada radical (fent $\sqrt{n^2} - \sqrt[3]{n^3} = n - n = 0$) condueix a una conclusió errònia, detallant per què en una resta que genera una indeterminació $\infty - \infty$ no està permès ignorar els termes de grau inferior.