Continuidad en un intervalo. Clasificación de discontinuidades. Teoremas de Bolzano y Weierstrass

Estudia la continuidad lateral de la siguiente función en los extremos del intervalo $[0, 4]$:

Indica si la función es continua en $x=1$ comparando sus límites laterales.

Calcula el valor del parámetro $k$ para que la siguiente función definida a trozos sea continua en todo el conjunto de los números reales:

Dada la función $f(x) = x^3 + x - 5$, justifica si existe algún valor $c \in [1, 2]$ tal que $f(c) = -1$. ¿Qué teorema garantiza este resultado? Enuncia dicho teorema y comprueba que se cumplen sus hipótesis.

Dada la función racional $f(x) = \frac{x-3}{x^2-9}$, estudia su continuidad en los puntos $x = 3$ y $x = -3$. En caso de que existan discontinuidades, clasifícalas razonadamente calculando sus límites laterales.

Comprueba si la función $f(x) = x^3 - 3x + 1$ cumple las hipótesis del Teorema de Bolzano en el intervalo $[0, 1]$. ¿Puedes asegurar que existe al menos una raíz de la ecuación $x^3 - 3x + 1 = 0$ en dicho intervalo? Justifica tu respuesta.

Un equipo de ingenieros está probando dos nuevos modelos de drones de vigilancia, $D_1$ y $D_2$. La altura (en metros) del dron $D_1$ respecto al suelo viene dada por la función $h_1(t) = t \cdot \ln(t+1)$, mientras que la altura del dron $D_2$ sigue la función $h_2(t) = 10 \cdot e^{-t} + 5$, donde $t$ es el tiempo en minutos desde el despegue ($t \geq 0$).

Utiliza el Teorema de Bolzano para demostrar que existe un instante $t_0 \in [2, 5]$ en el que ambos drones se encuentran exactamente a la misma altura. Justifica detalladamente si podrías asegurar, mediante el Teorema de Weierstrass, que la diferencia de alturas entre ambos drones alcanza un valor máximo en ese intervalo de tiempo.

Se considera una función continua $f:[0, 1] \to [0, 1]$. Es decir, el dominio es el intervalo $[0, 1]$ y todas sus imágenes también están contenidas en $[0, 1]$.

Demuestra, haciendo uso del Teorema de Bolzano, que existe al menos un punto $c \in [0, 1]$ tal que $f(c) = c$ (un punto fijo de la función). Pista: Considera la función auxiliar $g(x) = f(x) - x$. Explica gráficamente qué significa este resultado en términos de la intersección de la gráfica de $f(x)$ con la bisectriz del primer cuadrante.

Razona si la función $f(x) = \frac{1}{x}$ alcanza obligatoriamente un máximo y un mínimo absoluto en los siguientes intervalos basándote en el Teorema de Weierstrass:

1. En el intervalo cerrado $[1, 5]$.

2. En el intervalo abierto $(0, 1)$.

Sea la función $f(x)$ definida a trozos como:

Calcula los valores de $a$, $b$ y $k$ para que la función sea continua en todo su dominio $\mathbb{R}$. Una vez hallados, razona si la función cumple las hipótesis del Teorema de Weierstrass en el intervalo $[1, 5]$.

Sea la función $f(x) = |x^2 - 4| \cdot e^{-|x|}$.

1. Expresa la función sin valores absolutos.

2. Estudia su continuidad en los puntos donde se anulan los argumentos de los valores absolutos.

3. Utilizando el Teorema de Weierstrass, demuestra que la función alcanza un máximo absoluto en el intervalo cerrando $[-3, 3]$.

4. ¿Presenta la función alguna asíntota horizontal? Relaciona este hecho con el comportamiento de la función a largo plazo.

Demuestra razonadamente que la ecuación $\sqrt{x^4 + 1} = 2x^2 \cdot \cos(x)$ tiene al menos dos soluciones reales en el intervalo $[-\pi, \pi]$. Para ello, define una función auxiliar adecuada y aplica los teoremas de continuidad necesarios. ¿Es posible afirmar que existe un valor máximo absoluto para la función $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x^4+1} - 2x^2\cos(x)}$ en el intervalo $[0, \pi/4]$? Justifica tu respuesta basándote en el Teorema de Weierstrass.

Dada la función $f(x) = \frac{1}{1 + 2^{1/x}}$, se pide:

1. Hallar el dominio de la función.

2. Calcular los límites laterales en el punto donde la función no está definida.

3. Clasificar la discontinuidad encontrada.

4. ¿Es posible aplicar el Teorema de Bolzano en el intervalo $[-1, 1]$ para demostrar que existe un valor donde $f(x) = 0,5$? Razona si la falta de continuidad en un punto invalida la aplicación del teorema aunque los valores en los extremos sugieran que debería existir dicho punto.