Exercicis: Continuïtat d'una funció en un interval. Classificació de discontinuïtats. Teoremes de Bolzano i Weierstrass

Observa la gràfica de la funció $f(x)$ representada a continuació i identifica els punts de discontinuïtat. Per a cadascun d'ells, indica de quin tipus es tracta (evitable, de salt finit o de salt infinit).

Calcula el valor del paràmetre $k$ perquè la funció següent definida a trossos sigui contínua en tot el conjunt dels nombres reals:

Donada la funció racional $f(x) = \frac{x-3}{x^2-9}$, estudia la seva continuïtat en els punts $x = 3$ i $x = -3$. En cas que existeixin discontinuïtats, classifica-les raonadament calculant els seus límits laterals.

Considera la funció $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 2}$.

1. Demostra que la funció no és contínua a $x = 2$.

2. Quin valor hauria de prendre $f(2)$ perquè la discontinuïtat fos evitable i la funció resultés contínua en aquest punt?

Comprova si la funció $f(x) = x^3 - 3x + 1$ compleix les hipòtesis del Teorema de Bolzano en l'interval $[0, 1]$. Pots assegurar que existeix almenys una arrel de l'equació $x^3 - 3x + 1 = 0$ en aquest interval? Justifica la teva resposta.

Un senderista inicia una ruta en un refugi a 1200 metres d'altitud ($t=0$). Després de 4 hores de marxa, es troba en un mirador a 1800 metres d'altitud. Suposant que la funció que descriu la seva altitud respecte al temps, $A(t)$, és contínua:

1. Explica, utilitzant el Teorema dels Valors Intermedis (Darboux), si el senderista ha passat en algun moment per la cota dels 1500 metres.

2. Podem assegurar que ha passat pels 2000 metres?

Raona si la funció $f(x) = \frac{1}{x}$ ateny obligatòriament un màxim i un mínim absolut en els intervals següents basant-te en el Teorema de Weierstrass:

1. En l'interval tancat $[1, 5]$.

2. En l'interval obert $(0, 1)$.

Estudia la continuïtat lateral de la funció següent en els extrems de l'interval $[0, 4]$:

Indica si la funció és contínua a $x=1$ comparant els seus límits laterals.

Per estudiar si la funció $f(x) = \frac{x+1}{x-2}$ s'anul·la a l'interval $[1, 4]$, l'Alejandro escriu el següent al seu examen:

«Calculem els extrems de l'interval: $f(1) = \frac{1+1}{1-2} = -2 < 0$ i $f(4) = \frac{4+1}{4-2} = \frac{5}{2} > 0$. Com que tenen signes oposats, pel Teorema de Bolzano existeix almenys un valor $c \in (1, 4)$ tal que $f(c) = 0$. A més, a $x = 2$ la funció presenta una discontinuïtat删除 evitable perquè només falla en un punt aïllat del denominador».

1. a) Explica de manera raonada quin error greu comet l'Alejandro en aplicar el Teorema de Bolzano i comprova analíticament si l'equació $f(x) = 0$ té realment alguna solució dins de l'interval $(1, 4)$.
2. b) Classifica amb rigor la discontinuïtat de $f(x)$ a $x = 2$ calculant els límits laterals pertinents i indica quina hipòtesi incomplerta impedia aplicar el teorema.

Construeix l'expressió analítica d'una funció a trossos $g(x)$, amb domini a tot $\mathbb{R}$, que compleixi simultàniament les tres condicions següents:

1) Presenta una discontinuïtat evitable a $x = -2$, amb $\lim_{x \to -2} g(x) = 3$.

2) Presenta una discontinuïtat de salt finit a $x = 1$, de manera que la longitud del salt entre els seus límits laterals sigui exactament de 4 unitats.

3) És contínua a qualsevol altre punt de $\mathbb{R}$.

Justifica analíticament que la funció que has dissenyat satisfà cadascuna de les condicions calculant els límits laterals corresponents i els valors de la funció en aquests punts.

Sigui la funció $f(x)$ definida a trossos com:

La figura mostra els tres trams de definició (canvien en $x=2$ i en $x=4$) i l'interval $[1, 5]$.

1. a) Calcula els valors de $a$, $b$ i $k$ perquè la funció sigui contínua en tot el seu domini $\mathbb{R}$.

1. b) Un cop trobats, raona si la funció compleix les hipòtesis del Teorema de Weierstrass en l'interval $[1, 5]$.

Estudia la continuïtat de la funció següent i classifica raonadament tots els seus punts de discontinuïtat:

Indica si alguna de les discontinuïtats és evitable i, en aquest cas, redefineix la funció en aquest punt perquè resulti contínua.

Un dissenyador gràfic està traçant la trajectòria d'un objecte en una animació. L'altura $h$ en metres respecte al temps $t$ (en segons) ve donada per:

1. a) Indica el domini de la trajectòria.
2. b) Estudia la continuïtat a $t = 3$. Quin tipus de discontinuïtat presenta? Interpreta el resultat en el context de l'animació (hi ha un salt, desapareix l'objecte o se'n va a l'infinit?).
3. c) És possible que l'objecte atenyi una altura de $0$ metres en algun instant de l'interval $[0, 2]$? Justifica la teva resposta fent servir el Teorema de Bolzano.

Demostra, utilitzant el Teorema de Bolzano, que les gràfiques de les funcions $f(x) = e^x - 2$ i $g(x) = \cos(x)$ es tallen en almenys un punt dins de l'interval $[0, \pi]$. Explica detalladament els passos i les hipòtesis necessàries per aplicar el teorema.

Donada la funció $f(x) = x^3 + x - 5$, justifica si existeix algun valor $c \in [1, 2]$ tal que $f(c) = -1$. Quin teorema garanteix aquest resultat? Enuncia aquest teorema i comprova que se'n compleixen les hipòtesis.

Es sap que una funció $f(x)$ és contínua en l'interval tancat $[0, 4]$. Si $f(0) = 1$ i $f(4) = 1$, es pot assegurar que existeix un punt $c \in (0, 4)$ tal que $f(c) = 0$? Posa un exemple gràfic d'una funció que compleixi les condicions però que no tingui arrels en aquest interval i explica per què no contradiu el Teorema de Bolzano.

Donada la funció $f(x) = \frac{k \cdot \sin(x)}{x}$ per a $x \neq 0$:

1. a) Troba el valor de $k$ sabent que $\lim_{x \to 0} f(x) = 5$.
2. b) Amb aquest valor de $k$, defineix $f(0)$ perquè la funció sigui contínua a $x = 0$.
3. c) Justifica si la funció resultant és contínua en l'interval $[0, 2\pi]$. Podem assegurar que ateny un valor màxim absolut en aquest interval?

Un dron s'enlaira des de terra ($y=0$) i segueix una trajectòria donada per la funció d'alçària $h(t) = t^2 \cdot e^{-t} + \ln(t+1)$, on $t$ és el temps en minuts.

Demostra que en algun instant entre el minut $1$ i el minut $6$ de vol, el dron es troba exactament a una alçària de $2$ metres. Utilitza per a fer-ho el teorema dels valors intermedis (Darboux).

La temperatura $T$ (en graus Celsius) registrada per una estació meteorològica d'AEMET en una zona de muntanya durant una jornada hivernal de 12 hores ve modelitzada per la funció:

on $t$ representa el temps transcorregut en hores des de les $08:00$ del matí ($t = 0$).

1. a) Sense necessitat de calcular derivades, justifica raonadament si es pot assegurar que en algun instant entre les $08:00$ i les $20:00$ ($t = 12$) els termòmetres van marcar exactament $0^\circ\text{C}$. Enuncia el teorema en què et bases i comprova detalladament el compliment de totes les seves hipòtesis.
2. b) Permeten els teoremes de continuïtat garantir que al llarg d'aquestes 12 hores va existir almenys un instant de temperatura màxima absoluta i un altre de temperatura mínima absoluta? Cita el teorema corresponent, comprova les seves hipòtesis i interpreta el seu significat pràctic.

Considera la funció polinòmica $f(x) = x^3 + 5x - 3$ definida a l'interval tancat $[0, 1]$.

1. a) Estima: Observant els valors de $f(0)$ i $f(1)$, així com el pes relatiu del terme lineal $5x$ enfront del cúbic $x^3$ a l'interval $[0, 1]$, raona intuïtivament en quin dels dos subintervals, $[0;\, 0,5]$ o $[0,5;\, 1]$, és més probable que es trobi l'arrel de la funció.
2. b) Comprova: Aplica rigorosament el Teorema de Bolzano per localitzar amb certesa l'arrel en un dels dos subintervals anteriors. Per a fer-ho, enuncia les seves hipòtesis, avalua $f$ al punt mitjà $x = 0,5$ i conclou justificadament.
3. c) Valora si la teva estimació inicial va coincidir amb el resultat obtingut i raona si és possible que la funció tingui més d'una solució a l'interval global $[0, 1]$ atenent a la monotonia de $f(x)$.

Donada la funció $f(x)$ definida a trossos mitjançant l'expressió següent:

1. a) Determina els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$ perquè la funció sigui contínua en tot el seu domini.

1. b) En el cas que $b=1$, classifica el tipus de discontinuïtat que presenta la funció en $x=0$ en funció del valor de $a$.

Un equip d'enginyers està provant dos nous models de drons de vigilància, $D_1$ i $D_2$. L'altura (en metres) del dron $D_1$ respecte al terra ve donada per la funció $h_1(t) = t \cdot \ln(t+1)$, mentre que l'altura del dron $D_2$ segueix la funció $h_2(t) = 10 \cdot e^{-t} + 5$, on $t$ és el temps en minuts des de l'enlairament ($t \geq 0$).

Utilitza el Teorema de Bolzano per demostrar que existeix un instant $t_0 \in [2, 5]$ en el qual tots dos drons es troben exactament a la mateixa altura. Justifica detalladament si podries assegurar, mitjançant el Teorema de Weierstrass, que la diferència d'altures entre tots dos drons ateny un valor màxim en aquest interval de temps.

Considera la família de funcions dependents del paràmetre $k \in \mathbb{R}$:

Analitza i classifica totes les discontinuïtats de $f(x)$ en funció dels possibles valors de $k$. Indica específicament per a quins valors de $k$ alguna de les discontinuïtats és evitable i redefineix la funció en aquest punt perquè sigui contínua.

Demostra raonadament que l'equació $\sqrt{x^4 + 1} = 3x^2 \cdot \cos(x)$ té almenys dues solucions reals en l'interval $[-\pi, \pi]$. Per fer-ho, defineix una funció auxiliar adequada i aplica els teoremes de continuïtat necessaris. És possible afirmar que existeix un valor màxim absolut per a la funció $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x^4+1} - 3x^2\cos(x)}$ en l'interval $[0, \pi/4]$? Justifica la teva resposta basant-te en el Teorema de Weierstrass.

Estudia la continuïtat de la funció següent en el seu domini de definició:

Determina els punts on la funció presenta discontinuïtats i classifica-les. Investiga si la funció compleix les hipòtesis del Teorema de Bolzano en l'interval $[0,5; 2]$ per assegurar l'existència d'una arrel.

Sigui la funció $f(x) = |x^2 - 4| \cdot e^{-|x|}$. La figura mostra la seva gràfica com a suport visual.

1. a) Expressa la funció sense valors absoluts, és a dir, definida a trossos.

1. b) Estudia la seva continuïtat en els punts on s'anul·len els arguments dels valors absoluts.

1. c) Utilitzant el Teorema de Weierstrass, demostra que la funció assoleix un màxim absolut en l'interval tancat $[-3, 3]$.

1. d) Presenta la funció alguna asímptota horitzontal? Relaciona aquest fet amb el comportament de la funció a llarg termini.

Es considera una funció contínua $f:[0, 1] \to [0, 1]$. És a dir, el domini és l'interval $[0, 1]$ i totes les seves imatges també estan contingudes a $[0, 1]$.

Demostra, fent ús del Teorema de Bolzano, que existeix almenys un punt $c \in [0, 1]$ tal que $f(c) = c$ (un punt fix de la funció). Pista: Considera la funció auxiliar $g(x) = f(x) - x$. Explica gràficament què significa aquest resultat en termes de la intersecció de la gràfica de $f(x)$ amb la bisectriu del primer quadrant.

Donada la funció $f(x) = \frac{1}{1 + 2^{1/x}}$, es demana:

1. Trobar el domini de la funció.

2. Calcular els límits laterals en el punt on la funció no està definida.

3. Classificar la discontinuïtat trobada.

4. És possible aplicar el Teorema de Bolzano en l'interval $[-1, 1]$ per demostrar que existeix un valor on $f(x) = 0,5$? Raona si la falta de continuïtat en un punt invalida l'aplicació del teorema encara que els valors en els extrems suggereixin que hauria d'existir aquest punt.

Es vol demostrar que l'equació $\cos(x) = x^2 - 2$ posseeix almenys dues solucions reals diferents a l'interval tancat $[-\pi, \pi]$. Per abordar la demostració, es proposen dues estratègies:

• Mètode A: Definir la funció auxiliar $h(x) = x^2 - 2 - \cos(x)$, analitzar la seva simetria (paritat) i aplicar el Teorema de Bolzano en subintervals adequats de $[0, \pi]$ per deduir l'existència de totes dues solucions.

• Mètode B: Intentar aïllar algebraicament la variable $x$ mitjançant transformacions trigonomètriques directes i la funció inversa $\arccos(x)$ per calcular els valors exactes dels punts de tall.

1. a) Compara raonadament tots dos mètodes. Justifica per què el Mètode B resulta inviable a la pràctica per a aquesta equació transcendent i explica els avantatges del Mètode A.
2. b) Desenvolupa de manera completa i rigorosa el Mètode A: comprova les hipòtesis del Teorema de Bolzano, selecciona un subinterval adequat dins de $[0, \pi]$ on s'apreciï el canvi de signe i conclou per què existeixen necessàriament almenys dues arrels simètriques a $[-\pi, \pi]$.

Per aprofundir en la necessitat de les hipòtesis dels teoremes fonamentals de la continuïtat, resol les qüestions següents de construcció analítica:

1. a) Dissenya l'expressió analítica d'una funció $f:[0, 4] \to \mathbb{R}$ que verifiqui alhora: $f(0) = -2$, $f(4) = 3$, $f(x) \neq 0$ per a tot $x \in [0, 4]$ (és a dir, no té arrels a l'interval) i presenta una única discontinuïtat a $x = 2$. Classifica aquesta discontinuïtat i explica per què l'absència d'arrels no contradiu el Teorema de Bolzano.
2. b) És possible definir una funció $g:[0, 4] \to \mathbb{R}$ en aquest mateix interval tancat i fitat que NO assoleixi ni màxim absolut ni mínim absolut? Si creus que és impossible, demostra per què; si creus que és possible, construeix un exemple analític explícit d'aquesta funció $g(x)$, calcula el seu conjunt imatge i explica quina hipòtesi del Teorema de Weierstrass s'ha vulnerat.

Repte del tema. Cap a on convergeix la incertesa? Investiga la llei dels grans nombres i la saturació de processos modelitzant un fenomen real.

1. Recollida i successió: Realitza a GeoGebra o en un full de càlcul una simulació de $n=1000$ repeticions d'un succés aleatori amb $p=0,5$ (o descarrega freqüències de dies de pluja al web d'AEMET). Genera la successió de freqüències relatives $f_n$ i comprova experimentalment com $\lim_{n \to \infty} f_n = p$, connectant successions amb la interpretació freqüentista de la probabilitat.

2. Model i asímptotes: Dissenya una funció contínua a trossos $P(t)$ que modeli aquesta estabilització temporal. Estudia formalment la seva continuïtat a la frontera dels trams i determina les seves asímptotes horitzontals i verticals, extraient conclusions sobre el comportament a llarg termini ($t \to +\infty$).

3. Indeterminacions i L'Hôpital: Planteja la velocitat de convergència calculant la derivada o la taxa de variació mitjançant un límit que presenti una indeterminació $\left[\frac{0}{0}\right]$. Resol-lo aplicant amb rigor la regla de L'Hôpital per obtenir informació sobre el creixement de la funció.

Lliura un breu informe d'una pàgina amb l'enllaç al teu fitxer digital i els desenvolupaments algebraics.

Es valorarà:

• Correcció en el càlcul de límits i indeterminacions mitjançant la regla de L'Hôpital.

• Justificació analítica de la continuïtat en un punt i deducció d'asímptotes.

• Connexió conceptual entre el límit de la successió de freqüències i la probabilitat teòrica.

• Rigor de l'informe i ús adequat de GeoGebra o del full de càlcul.