Exercicis: Límits a l'infinit x → ±∞

Calcula el límit de la funció polinòmica següent quan la variable independent creix indefinidament:

$$\lim_{x \to +\infty} (-3x^4 + 5x^2 - 10x + 1)$$

Explica en quin terme t'has basat per determinar el resultat i per què els altres termes no influeixen en el valor del límit.

Observa la gràfica de la funció $f(x)$ i determina, de manera visual, el valor dels límits a l'infinit. Indica també l'equació de l'asímptota horitzontal si existeix.

1. a) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to -\infty} f(x)$

Una empresa de reciclatge de components electrònics estima que el cost total (en milers d'euros) per processar $x$ tones de material ve donat per la funció:

$$C(x) = \frac{12x + 45}{3x + 2}$$

Cap a quin valor tendeix el cost per tona quan la quantitat de material processat és extremadament gran? Interpreta el resultat en termes d'«economia d'escala».

Determina el valor dels límits següents basant-te en la comparació dels graus dels polinomis:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x + 8}{2x^2 + 1}$

1. b) $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3 + 2x}{x^4 - 5}$

El nombre de seguidors d'un nou «influencer» en una xarxa social, mesurat en milers, evoluciona segons la funció:

$$S(t) = \frac{100t^2}{2t^2 + 50}$$

on $t$ és el temps transcorregut en mesos des que va obrir el seu compte. Dibuixa un esquema de la situació i calcula quants seguidors tindrà a llarg termini (quan $t \to +\infty$).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Calcula el límit de la funció racional següent que conté radicals, simplificant l'expressió mitjançant l'ús de potències efectives:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{9x^2 + 5}}{2x - 1}$$

Donades les funcions $f(x) = 2^x$ i $g(x) = x^{10} + 500x^2$, raona quina de les dues funcions creix més ràpidament quan $x \to +\infty$ utilitzant l'escala d'infinits. A partir de la teva resposta, dedueix el valor del límit següent:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{10} + 500x^2}{2^x}$$

Completa la taula de valors següent per a la funció $f(x) = \left( \frac{x+1}{x} \right)^x$ i utilitza els resultats obtinguts per conjecturar cap a quin nombre famós tendeix la funció quan $x$ es fa molt gran.

$x$	$10$	$100$	$1000$	$10000$
$f(x)$	$2,5937$	$2,7048$	$2,7169$	$2,7181$

Escriu el resultat utilitzant la notació de límits:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = \dots$$

En Marcos està resolent el següent límit a l'infinit:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^3 - 2^x}{4x^3 + \ln(x)}$$

Al seu examen escriu la següent justificació: «Com que el grau polinòmic més gran que apareix tant al numerador com al denominador és 3, ens fixem en els coeficients líders de $x^3$; per tant, el límit és $\frac{5}{4}$».

1. a) Explica amb detall per què el raonament d'en Marcos és conceptualment erroni, indicant quines famílies de funcions intervenen en l'expressió i quina és la jerarquia d'infinits entre elles quan $x \to +\infty$.
2. b) Resol correctament el límit justificant quin terme imposa el seu ritme de creixement al numerador i quin al denominador.

Considera la funció $f(x) = \left(\frac{x+3}{x+1}\right)^{2x}$. Es vol estudiar el seu comportament asimptòtic quan $x \to +\infty$.

1. a) Fes una estimació qualitativa raonada abans d'aplicar fórmules: observa que per a valors grans de $x$, la base $\frac{x+3}{x+1}$ és estrictament més gran que 1 però molt propera a 1 (per exemple, per a $x = 100$, val $\frac{103}{101} \approx 1{,}0198$), mentre que l'exponent $2x$ creix indefinidament. Esperes intuïtivament que el límit sigui 1, menor que 1 o major que 1? Justifica la teva resposta.
2. b) Resol formalment el límit $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ identificant el tipus d'indeterminació i aplicant la fórmula $\lim g(x)^{h(x)} = e^{\lim h(x)\cdot(g(x)-1)}$.
3. c) Expressa el valor exacte obtingut en funció del nombre $e$ i comprova si la teva estimació inicial era encertada tenint en compte que $e \approx 2{,}718$.

Donada la funció racional $f(x) = \dfrac{ax^2 + 3x - 5}{2x^2 - k}$, calcula els valors dels paràmetres reals $a$ i $k$ sabent que la funció té una asímptota horitzontal en $y = 3$ i que la seva gràfica passa pel punt $(1, -2)$. Una vegada trobats, comprova si el límit quan $x \to -\infty$ coincideix amb el límit quan $x \to +\infty$.

Calcula el límit de la funció següent quan la variable $x$ tendeix a $+\infty$. Per resoldre'l, identifica primer el terme dominant tant al numerador com al denominador:

$$L = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{9x^4 + 2x^2 - 1}}{2x^2 - 5x + 3}$$

Un servidor de videojocs ha estimat que el nombre d'usuaris connectats simultàniament durant el primer any segueix la funció $U(t) = \dfrac{500t^2 + 1000}{0,2t^2 + 5}$, on $t$ és el temps en mesos.

1. a) Què passa amb el nombre d'usuaris si el temps creix indefinidament?
2. b) Interpreta el resultat en termes d'asímptotes horitzontals.

Resol el límit següent que involucra una diferència de funcions irracionals. Recorda utilitzar la tècnica del conjugat per desfer la indeterminació de tipus $[\infty - \infty]$:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 5x} - \sqrt{x^2 - 3x} \right)$$

Determina el valor del límit següent utilitzant la relació amb el nombre $e$. Has de transformar l'expressió perquè aparegui la forma de la definició d'aquesta constant:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{2x + 5}{2x - 1} \right)^{x+3}$$

Donades les funcions $f(x) = e^x$, $g(x) = x^{10}$ i $h(x) = \ln(x)$, ordena els límits següents de menor a major valor segons l'ordre de magnitud dels infinits involucrats quan $x \to +\infty$:

1. $L_1 = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{g(x)}{f(x)}$

2. $L_2 = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{g(x)}{h(x)}$

3. $L_3 = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{h(x)}{f(x)}$

Calcula el límit quan $x \to -\infty$ de la funció següent. Para especial atenció al tractament dels signes quan la variable negativa surt o entra en una arrel d'índex parell:

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x - 2}{\sqrt{4x^2 + 1}}$$

Troba el valor dels paràmetres $a$ i $b$ perquè es compleixi la igualtat següent:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2 + 1}{x - 1} - ax - b \right) = 0$$

Aquest tipus de límit és fonamental per al càlcul de les asímptotes obliqües que estudiaràs en temes posteriors.

L'Institut Nacional d'Estadística (INE), dins dels seus informes sobre digitalització territorial, analitza la cobertura de banda ampla ultraràpida en municipis rurals de menys de 5.000 habitants a Espanya. El percentatge estimat de llars rurals amb accés a aquesta xarxa en funció del temps es modelitza mitjançant la funció:

$$P(t) = \frac{88t^2 + 120t}{t^2 + 2t + 5}$$

on $t$ és el temps transcorregut en anys des de la implantació de l'estratègia estatal ($t = 0$, corresponent a l'any 2018).

1. a) Calcula el percentatge de llars rurals que disposava de connexió a l'inici del pla ($t = 0$) i interpreta el resultat.
2. b) Determina i raona matemàticament el valor de $\lim_{t \to +\infty} P(t)$ comparant els graus del numerador i del denominador, i explica quin significat pràctic té aquest límit per a la cohesió territorial.
3. c) Una operadora va afirmar a la premsa que aquest model garanteix que, amb el pas dels anys, s'assolirà la cobertura universal ($100\,\%$) en aquestes zones rurals. A partir dels resultats analítics obtinguts, refuta o corrobora aquesta afirmació amb arguments matemàtics.

Per a calcular el límit a l'infinit:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^4 + 6x^2} - x^2 \right)$$

dos estudiants proposen estratègies diferents:

• Mètode A (Marta): Extreure factor comú de la màxima potència dins de l'arrel: $\sqrt{x^4\left(1 + \frac{6}{x^2}\right)} - x^2 = x^2\sqrt{1 + \frac{6}{x^2}} - x^2 = x^2\left(\sqrt{1 + \frac{6}{x^2}} - 1\right)$. Com que $\frac{6}{x^2} \to 0$, substitueix $\sqrt{1+0}-1 = 0$ i conclou que el resultat és $\infty \cdot 0 = 0$.

• Mètode B (Sergio): Identificar una indeterminació del tipus $\infty - \infty$ entre termes del mateix ordre i multiplicar i dividir per l'expressió conjugada $\sqrt{x^4 + 6x^2} + x^2$.

1. a) Analitza críticament el Mètode A: explica per què no és matemàticament vàlid substituir només una part de l'expressió pel seu límit parcial mantenint una altra part variable, i recorda quina naturalesa té l'expressió $\infty \cdot 0$.
2. b) Desenvolupa detalladament el Mètode B i obtén el valor correcte del límit.
3. c) A partir de la comparació d'ambdós mètodes, estableix un criteri general: en quines condicions és imprescindible recórrer al conjugat en lloc de limitar-se a comparar els termes dominants de cada sumand?

Calcula els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$ perquè es verifiqui la igualtat següent a l'infinit:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{4x^2 + ax + 1} - \sqrt{4x^2 - 3x + b} \right) = \frac{5}{4}$$

Per a resoldre'l, considera l'ús de l'expressió conjugada i l'anàlisi dels termes dominants al numerador i denominador resultants.

S'està analitzant la propagació d'una notícia falsa en una xarxa social. El nombre d'usuaris afectats $N(t)$ després de $t$ hores ve donat per la funció:

$$N(t) = \frac{e^{0,5t} + 10t^4}{2e^{0,5t} + \ln(t^2 + 1)}$$

Determina el comportament de la funció a llarg termini, és a dir, calcula $\lim_{t \to +\infty} N(t)$. Justifica la teva resposta basant-te en la comparació d'ordres d'infinits (exponencial davant de polinòmica i logarítmica).

Troba el valor del paràmetre $k \in \mathbb{R}$ perquè el límit següent de tipus $1^\infty$ sigui igual a $\sqrt[3]{e^2}$:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{3x^2 + kx - 1}{3x^2 + 2} \right)^{\frac{x^2 + 1}{x}}$$

Assegura't d'aplicar correctament la fórmula per a la resolució de la indeterminació del tipus nombre $e$.

Estudia el límit a l'infinit negatiu de la funció racional següent que conté un valor absolut i una arrel quadrada:

$$f(x) = \frac{|3x - 2| + \sqrt{x^2 + 5x}}{2x - 7}$$

És a dir, calcula $\lim_{x \to -\infty} f(x)$. Tingues especial cura amb el signe de la variable $x$ en introduir o extreure factors de l'arrel quadrada i en desfer el valor absolut.

Un prototip de motor de propulsió iònica per a satèl·lits té un consum d'energia $E(x)$ en joules que depèn de la velocitat $x$ (en km/s) segons l'expressió:

$$E(x) = \sqrt{x^2 + 4x + 2} - x$$

La figura mostra la gràfica de $E(x)$ per a $0 \le x \le 20$.

Calcula l'energia límit que consumeix el motor quan la velocitat tendeix a infinit. Interpreta gràficament si el consum s'estabilitza o si continua creixent indefinidament mitjançant el càlcul de l'asímptota horitzontal si existís.

Calcula el valor de la següent expressió límit, resolent la indeterminació $\infty - \infty$ mitjançant la simplificació a una sola fracció i l'estudi dels graus dels polinomis:

$$\lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{2x^2 + 5}{x - 1} - \frac{2x^3 - 3x}{x^2 + 1} \right]$$

Una vegada obtinguda la forma racional simple, indica si la funció presenta una asímptota horitzontal o obliqua basant-te en el resultat del límit.

Calcula el límit de la successió de funcions donada per la següent arrel niada:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} - \sqrt{x} \right)$$

Aquest exercici requereix un ús precís de la tècnica de la conjugada i una anàlisi acurada de la potència dominant dins dels radicals.

Donada la funció $f(x) = \frac{ax^3 + bx^2 + 1}{2x^2 - 4}$, determina els valors dels coeficients reals $a$ i $b$ sabent que la funció té una asímptota obliqua el pendent de la qual és $m = 3$ i que el límit de la funció quan $x$ tendeix a $+\infty$ després de restar-li la seva component de pendent (és a dir, el terme $n$ de l'asímptota $y=mx+n$) és $4$.

En altres paraules, resol per a $a$ i $b$ sabent que:

1. $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 3$

2. $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - 3x] = 4$

Troba els valors dels paràmetres reals $a$, $b$ i $c$ perquè la funció:

$$f(x) = \sqrt{4x^2 + ax + 1} - (bx + c)$$

verifiqui simultàniament les dues condicions asimptòtiques següents:

1) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$

2) $\lim_{x \to -\infty} \left( f(x) + 4x \right) = 3$

Per a resoldre el problema ordenadament:

1. a) Analitza la condició (1) quan $x \to +\infty$: dedueix raonadament quin valor constant ha de prendre $b$ perquè el límit no sigui infinit i, aplicant la tècnica del conjugat, obtén una relació lineal entre $a$ i $c$.
2. b) Analitza la condició (2) quan $x \to -\infty$: fes el canvi de variable formal $x = -t$ (amb $t \to +\infty$), tenint en compte que $\sqrt{x^2} = |x| = -x = t$, aplica la tècnica corresponent i obtén una segona equació amb $a$ i $c$.
3. c) Resol el sistema plantejat, escriu l'expressió analítica definitiva de la funció $f(x)$ i comprova la consistència dels resultats.

En Carlos ha de calcular el següent límit a l'infinit negatiu:

$$\lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{x^2 - 4x} + x \right)$$

Al seu quadern desenvolupa els següents passos:

1. Aplica el canvi de variable $x = -t$ amb $t \to +\infty$: $\lim_{t \to +\infty} \left( \sqrt{(-t)^2 - 4(-t)} + (-t) \right) = \lim_{t \to +\infty} \left( \sqrt{t^2 + 4t} - t \right)$.

2. Raona: «Quan $t \to +\infty$, el terme $4t$ és insignificant enfront de $t^2$, per la qual cosa $\sqrt{t^2 + 4t} \approx \sqrt{t^2} = t$».

3. Conclou: «Per tant, el límit és $\lim_{t \to +\infty} (t - t) = 0$».

La seva professora li indica que el pas 1 és correcte, però que la conclusió final és falsa i que el límit real és 2.

1. a) Assenyala l'error conceptual comès en el pas 2: explica per què aproximar l'arrel quadrada únicament pel seu terme de major grau produeix una pèrdua crítica d'informació quan es resten infinits del mateix ordre.
2. b) Corregeix el càlcul resolent el límit resultant del pas 1 mitjançant el procediment rigorós del conjugat fins a justificar l'obtenció del valor 2.
3. c) En Carlos pregunta: «Per què en un quocient com $\lim_{t \to +\infty} \frac{\sqrt{t^2 + 4t}}{3t}$ sí que és perfectament lícit menysprear el $4t$ i aproximar l'arrel per $t$ per donar $\frac{1}{3}$, mentre que en la resta no està permès?». Respon a en Carlos distingint amb rigor matemàtic el comportament de les aproximacions asimptòtiques en quocients enfront de sumes o restes amb cancel·lació.