Límites en el infinito x → ±∞
En 1º ya sabes comparar grados de polinomios y de funciones racionales cuando $x\to\pm\infty$. Ahora el reto es más fino: comparar infinitos de naturaleza distinta (una exponencial contra un polinomio, un logaritmo contra una raíz) y resolver indeterminaciones que ya no se arreglan solo mirando grados.
Repaso: polinomios y racionales, ahora con parámetros
En EvAU estas reglas casi siempre vienen con un parámetro desconocido que hay que despejar a partir de una condición sobre el límite.
Determina el valor de los siguientes límites basándote en la comparación de los grados de los polinomios: a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x + 8}{2x^2 + 1}$ b)…
Determina el valor de los siguientes límites basándote en la comparación de los grados de los polinomios:
- a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x + 8}{2x^2 + 1}$
- b) $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3 + 2x}{x^4 - 5}$
Dada la función racional $f(x) = \dfrac{ax^2 + 3x - 5}{2x^2 - k}$, calcula los valores de los parámetros reales $a$ y $k$ sabiendo que la función tiene una asíntota…
Dada la función racional $f(x) = \dfrac{ax^2 + 3x - 5}{2x^2 - k}$, calcula los valores de los parámetros reales $a$ y $k$ sabiendo que la función tiene una asíntota horizontal en $y = 3$ y que su gráfica pasa por el punto $(1, -2)$. Una vez hallados, comprueba si el límite cuando $x \to -\infty$ coincide con el límite cuando $x \to +\infty$.
Jerarquía de infinitos: exponencial, polinomio y logaritmo
Cuando $x\to+\infty$, no todos los "infinitos" crecen igual de rápido. Hay un orden fijo que conviene memorizar: si divides el que crece más rápido entre el que crece más despacio, el límite es $+\infty$; al revés, es $0$.
Dadas las funciones $f(x) = 2^x$ y $g(x) = x^{10} + 500x^2$, razona cuál de las dos funciones crece más rápidamente cuando $x \to +\infty$ utilizando la escala de…
Dadas las funciones $f(x) = 2^x$ y $g(x) = x^{10} + 500x^2$, razona cuál de las dos funciones crece más rápidamente cuando $x \to +\infty$ utilizando la escala de infinitos. A partir de tu respuesta, deduce el valor del siguiente límite:
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{10} + 500x^2}{2^x}$$Dadas las funciones $f(x) = e^x$, $g(x) = x^{10}$ y $h(x) = \ln(x)$, ordena los siguientes límites de menor a mayor valor según el orden de magnitud de los infinitos…
Dadas las funciones $f(x) = e^x$, $g(x) = x^{10}$ y $h(x) = \ln(x)$, ordena los siguientes límites de menor a mayor valor según el orden de magnitud de los infinitos involucrados cuando $x \to +\infty$:
-
$L_1 = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{g(x)}{f(x)}$
-
$L_2 = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{g(x)}{h(x)}$
-
$L_3 = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{h(x)}{f(x)}$
El número $e$ como límite: indeterminación $1^\infty$
Hay un límite especial que aparece una y otra vez al estudiar crecimientos (interés compuesto, poblaciones, desintegración): una base que tiende a $1$ elevada a un exponente que tiende a $\infty$. Esa forma, $1^\infty$, es indeterminada y se resuelve con el número $e$.
Completa la siguiente tabla de valores para la función $f(x) = \left( \frac{x+1}{x} \right)^x$ y utiliza los resultados obtenidos para conjeturar a qué número famoso…
Completa la siguiente tabla de valores para la función $f(x) = \left( \frac{x+1}{x} \right)^x$ y utiliza los resultados obtenidos para conjeturar a qué número famoso tiende la función cuando $x$ se hace muy grande.
| $x$ | $10$ | $100$ | $1000$ | $10000$ |
|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $2,5937$ | $2,7048$ | $2,7169$ | $2,7181$ |
Escribe el resultado utilizando la notación de límites:
$$\lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = \dots$$Determina el valor del siguiente límite utilizando la relación con el número $e$. Debes transformar la expresión para que aparezca la forma de la definición de dicha…
Determina el valor del siguiente límite utilizando la relación con el número $e$. Debes transformar la expresión para que aparezca la forma de la definición de dicha constante:
$$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{2x + 5}{2x - 1} \right)^{x+3}$$Raíces: la técnica del conjugado para $\infty-\infty$
Cuando aparece una resta de raíces que, por separado, tienden las dos a $+\infty$ o las dos a $-\infty$, no puedes restar directamente: hay que multiplicar y dividir por el conjugado para convertir la resta en un cociente.
Resuelve el siguiente límite que involucra una diferencia de funciones irracionales. Recuerda utilizar la técnica del conjugado para deshacer la indeterminación de tipo…
Resuelve el siguiente límite que involucra una diferencia de funciones irracionales. Recuerda utilizar la técnica del conjugado para deshacer la indeterminación de tipo $[\infty - \infty]$:
$$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 5x} - \sqrt{x^2 - 3x} \right)$$Estudia el límite en el infinito negativo de la siguiente función racional que contiene un valor absoluto y una raíz cuadrada: $$f(x) = \frac{|3x - 2| + \sqrt{x^2 +…
Estudia el límite en el infinito negativo de la siguiente función racional que contiene un valor absoluto y una raíz cuadrada:
$$f(x) = \frac{|3x - 2| + \sqrt{x^2 + 5x}}{2x - 7}$$Es decir, calcula $\lim_{x \to -\infty} f(x)$. Ten especial cuidado con el signo de la variable $x$ al introducir o extraer factores de la raíz cuadrada y al deshacer el valor absoluto.
Calcula el límite de la sucesión de funciones dada por la siguiente raíz anidada: $$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} - \sqrt{x} \right)$$ Este…
Calcula el límite de la sucesión de funciones dada por la siguiente raíz anidada:
$$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} - \sqrt{x} \right)$$Este ejercicio requiere un uso preciso de la técnica de la conjugada y un análisis cuidadoso de la potencia dominante dentro de los radicales.