Indeterminaciones

Observa la siguiente gráfica de la función $f(x)$ y determina, de manera intuitiva, el valor de los límites indicados. Si algún límite no existe o es infinito, especifícalo claramente.

1. a) $\lim_{x \to -2} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 0} f(x)$
3. c) $\lim_{x \to 3} f(x)$
4. d) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$

Resuelve la indeterminación de tipo $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ en los siguientes límites de funciones racionales, comparando los grados del numerador y del denominador:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x + 2}{2x^2 + 1}$
2. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x + 5}{x^2 - 3}$
3. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - 1}{x^2 + 10x}$

Determina el valor del límite al infinito analizando el grado de los términos dominantes en el numerador y el denominador. Ten especial cuidado con las potencias dentro de las raíces:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{9x^2 + 2x - 1} + 2x}{\sqrt[3]{x^3 + 5x^2}}$$

Utiliza la comparación de órdenes de infinitos para resolver los siguientes límites sin necesidad de realizar operaciones extensas. Justifica tu respuesta indicando qué función "domina" a la otra:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x^5}{100x^6 - \ln(x)}$

1. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^7 + 1}}{x^3 \cdot \ln(x)}$

Resuelve el siguiente límite utilizando la técnica del doble conjugado para resolver la indeterminación $\frac{0}{0}$:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{\sqrt{4+x} - 2}$$

Calcula el valor de la siguiente expresión que presenta una indeterminación del tipo $\infty - \infty$ con raíces de distinto orden:

$$\lim_{x \to +\infty} \left[ \sqrt{x^2 + 4x} - \sqrt[3]{x^3 - 6x^2} \right]$$

Pista: Suma y resta un término intermedio adecuado para separar el límite en dos partes manejables.

Resuelve la siguiente indeterminación de tipo $\infty - \infty$. Para ello, realiza la operación algebraica previa y simplifica la expresión resultante:

$$\lim_{x \to 1} \left( \frac{6}{x^2 - 1} - \frac{3}{x - 1} \right)$$

En el desarrollo de una nueva red social, el número de usuarios activos (en millones) sigue la función $U(t) = \left(\frac{2t+3}{2t-1}\right)^{t+1}$, donde $t$ es el tiempo en meses desde su lanzamiento. Calcula a qué valor tiende el número de usuarios cuando el tiempo crece indefinidamente ($t \to +\infty$).

Calcula el valor del siguiente límite exponencial que da lugar a una indeterminación del tipo $1^\infty$. Expresa el resultado en función del número $e$:

$$\lim_{x \to 0} (1 + \sin(x))^{\frac{2}{x}}$$

Calcula el valor del siguiente límite que da lugar a la indeterminación del tipo $[1^\infty]$ utilizando la fórmula abreviada del número $e$:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{3x}$$

Determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que el siguiente límite sea un número real finito y distinto de cero. Una vez hallados, calcula el valor de dicho límite:

$$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2 + ax + b} - 2}{x^2 - 5x + 6}$$

Halla el valor de los parámetros reales $a$ y $b$ para que el siguiente límite sea finito y valga $4$:

$$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + ax + 1} - \sqrt{x^2 + bx}$$