Exercicis: Indeterminations

Observa la gràfica següent de la funció $f(x)$ i determina, de manera intuïtiva, el valor dels límits indicats. Si algun límit no existeix o és infinit, especifica-ho clarament.

1. a) $\lim_{x \to -2} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 0} f(x)$
3. c) $\lim_{x \to 3} f(x)$
4. d) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$

Calcula els límits següents de funcions polinòmiques quan la variable $x$ tendeix a infinit. Recorda identificar el terme dominant en cada cas:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} (-2x^3 + 5x^2 - 1)$
2. b) $\lim_{x \to -\infty} (x^4 - 100x^2)$
3. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 5}{10}$

Resol la indeterminació de tipus $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ en els límits següents de funcions racionals, comparant els graus del numerador i del denominador:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x + 2}{2x^2 + 1}$
2. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x + 5}{x^2 - 3}$
3. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - 1}{x^2 + 10x}$

Calcula el límit de la funció $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ quan $x$ tendeix a $3$.

Ajuda: Observa que en substituir directament obtenim una indeterminació del tipus $\left[\frac{0}{0}\right]$. Prova de factoritzar el numerador per a simplificar l'expressió.

Donada la funció racional $f(x) = \frac{2}{x-4}$, estudia el seu comportament a les proximitats de la seva asímptota vertical calculant els límits laterals:

1. a) $\lim_{x \to 4^-} \frac{2}{x-4}$
2. b) $\lim_{x \to 4^+} \frac{2}{x-4}$

Indica raonadament si existeix el límit global en $x = 4$.

En l'estudi d'algorismes informàtics, és crucial saber quina funció creix més ràpid. Basant-te en la jerarquia d'infinits, assigna el valor dels límits següents ($0$, $+\infty$ o $-\infty$):

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x}$
2. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^{10}}$
3. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 1}{\ln(x)}$

Un equip de científics està monitoritzant el creixement d'una població de bacteris en un laboratori. La població (en milions) segueix el model donat per la funció:

on $t$ és el temps en hores des de l'inici de l'experiment. La gràfica mostra l'evolució de la població durant les primeres 20 hores.

Quina serà la població de bacteris si l'experiment es prolongués indefinidament? Calcula per a això $\lim_{t \to +\infty} P(t)$.

Calcula el valor del límit següent que dona lloc a la indeterminació del tipus $[1^\infty]$ utilitzant la fórmula abreujada del nombre $e$:

En Mateo està resolent el límit $\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x+5}{x+2}\right)^{3x}$ en un examen i escriu en el seu desenvolupament el següent:

«Com que $\lim_{x \to +\infty} \frac{x+5}{x+2} = 1$ i el nombre $1$ elevat a qualsevol potència sempre resulta $1$, el límit no presenta cap dificultat i val directament $1^\infty = 1$».

1. a) Explica amb les teves pròpies paraules per què la deducció d'en Mateo és conceptualment errònia. En la teva resposta has d'aclarir què significa amb exactitud que una expressió sigui una «indeterminació» i quines dues tendències oposades entren en conflicte en aquest cas concret.
2. b) Corregeix l'exercici mostrant el procediment algebraic formal i calcula el valor real i exacte del límit.

Donada la funció $f(x) = \frac{4 \cdot 3^x - 5x^6}{2 \cdot 3^x + 7x^2 + 1}$:

1. a) Abans de fer qualsevol càlcul algebraic formal, estima el valor de $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ basant-te exclusivament en la jerarquia d'infinits. Justifica quins termes són dominants en el numerador i en el denominador quan $x$ pren valors prou grans i quin és el pes relatiu de les potències enfront de les funcions exponencials.
2. b) Comprova formalment la teva estimació calculant el límit mitjançant l'extracció de factor comú del terme dominant en el numerador i en el denominador per resoldre la indeterminació $\frac{\infty}{\infty}$.
3. c) Raona si el resultat obtingut en l'apartat anterior continuaria sent el mateix si el límit s'avalués cap a $-\infty$, és a dir, en calcular $\lim_{x \to -\infty} f(x)$. Justifica la teva conclusió analitzant el comportament de $3^x$ quan $x \to -\infty$.

Calcula el límit següent resolent la indeterminació de tipus $\frac{0}{0}$ mitjançant l'ús de la tècnica del conjugat:

Determina el valor del límit a l'infinit analitzant el grau dels termes dominants al numerador i al denominador. Tingues especial cura amb les potències dins de les arrels:

Resol la següent indeterminació de tipus $\infty - \infty$. Per a fer-ho, realitza l'operació algebraica prèvia i simplifica l'expressió resultant:

En el desenvolupament d'una nova xarxa social, el nombre d'usuaris actius (en milions) segueix la funció $U(t) = \left(\frac{2t+3}{2t-1}\right)^{t+1}$, on $t$ és el temps en mesos des del llançament (amb $t>\frac{1}{2}$). Calcula a quin valor tendeix el nombre d'usuaris quan el temps creix indefinidament ($t \to +\infty$).

Troba el valor dels paràmetres reals $a$ i $b$ perquè el límit següent sigui finit i valgui $4$:

Donada la gràfica següent de la funció $f(x)$, analitza visualment i calcula de forma analítica els límits laterals en els punts de discontinuïtat per a determinar si existeix el límit global en $x = 2$:

Calcula el valor de $a$ perquè el límit en $x = 2$ sigui únic i la funció no presenti cap salt.

Utilitza la comparació d'ordres d'infinits per a resoldre els límits següents sense necessitat de realitzar operacions extenses. Justifica la teva resposta indicant quina funció "domina" l'altra:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x^5}{100x^6 - \ln(x)}$

1. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^7 + 1}}{x^3 \cdot \ln(x)}$

Calcula el valor del límit exponencial següent que dona lloc a una indeterminació del tipus $1^\infty$. Expressa el resultat en funció del nombre $e$:

Un equip de sociologia utilitza projeccions de l'Instituto Nacional de Estadística (INE) per modelitzar l'evolució demogràfica d'una comarca rural a Aragó. La població $P(t)$, expressada en milers d'habitants, s'estima en funció del temps $t$ (en anys transcorreguts des de 2024) mitjançant la funció:

1. a) Analitza la tendència demogràfica a llarg termini ($t \to +\infty$) identificant quin tipus d'indeterminació sorgeix en cadascun dels dos termes de $P(t)$.
2. b) Resol raonadament totes dues indeterminacions utilitzant les tècniques corresponents (comparació de graus en la funció racional i tècnica del conjugat en l'expressió amb arrels).
3. c) Interpreta el valor numèric obtingut per a $\lim_{t \to +\infty} P(t)$: tendeix la comarca a la despoblació total, a un creixement indefinit o a l'estabilitat demogràfica? Indica a quin nombre concret d'habitants tendirà la comarca segons aquest model.

Per resoldre el límit $\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2 + 4x}{x^2 + x + 1} \right)^{2x}$, dos estudiants de 2n de Batxillerat proposen camins diferents després de constatar que es tracta d'una indeterminació del tipus $1^\infty$:

• Mètode A (Construcció canònica del nombre $e$): Expressar la base en la forma $1 + \frac{1}{g(x)}$, forçar en l'exponent la presència de $g(x)$ multiplicant i dividint per aplicar la definició fonamental $\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^u = e$, i calcular el límit de l'exponent resultant.

• Mètode B (Fórmula directa de la potència): Utilitzar la identitat general $\lim_{x \to a} [u(x)]^{v(x)} = e^{\lim_{x \to a} v(x) \cdot (u(x) - 1)}$.

1. a) Resol el límit desenvolupant detalladament tots els passos del Mètode A.
2. b) Resol el mateix límit aplicant el Mètode B i confirma que tots dos resultats coincideixen.
3. c) Compara tots dos camins analitzant la càrrega de càlcul algebraic i el risc de cometre errors de signe en manipular fraccions algebraiques. Justifica quin dels dos mètodes resulta més eficient i segur en una prova de temps limitat com les PAU.

Calcula el valor del límit següent analitzant la jerarquia dels infinits involucrats. Has de justificar raonadament quin terme domina al numerador i al denominador abans de donar el resultat final:

Determina els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$ perquè es compleixi la igualtat següent:

És a dir, el límit ha de ser un nombre real finit i valer $-\dfrac{1}{2}$. Un cop trobats $a$ i $b$, comprova que el límit val realment $-\dfrac{1}{2}$.

En el disseny d'una nova antena de telecomunicacions, la intensitat del senyal $I$ en funció de la distància $d$ al repetidor ve donada per l'expressió:

Calcula la intensitat límit del senyal quan la distància $d$ tendeix a infinit (indeterminació del tipus $1^\infty$).

Resol el límit següent utilitzant la tècnica del doble conjugat per resoldre la indeterminació $\frac{0}{0}$:

Sigui la funció definida per trams:

Troba els valors de $a$ i $k$ perquè existeixin els límits laterals en $x=1$ i aquests siguin iguals a $2$. Quin tipus de discontinuïtat presenta la funció en $x=1$ si no definim $f(1)$?

Calcula el valor de la següent expressió que presenta una indeterminació del tipus $\infty - \infty$ amb arrels de diferent ordre:

Un equip d'enginyers aeroespacials estudia la pressió $P$ (en pascals) a l'interior d'un conducte de ventilació. La pressió depèn de la velocitat del flux d'aire $v$ segons la fórmula:

Estudia el comportament de la pressió quan la velocitat $v$ s'aproxima a $3$ m/s. En cas que el límit sigui indeterminat, resol-lo i indica si la pressió tendeix a un valor estable.

Donada la funció $g(x) = \frac{|x-1|}{x^2-1} \cdot e^{\frac{1}{x-1}}$, analitza l'existència dels límits laterals quan $x \to 1$. Identifica les indeterminacions que apareixen a cada costat i classifica el tipus de discontinuïtat en aquest punt.

Es considera la funció dependent de dos paràmetres reals $a$ i $b$ definida per $f(x) = \sqrt{9x^2 - 12x + 7} - (ax + b)$.

1. a) Determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè es verifiqui la igualtat:

1. b) Demostra analíticament que si $a \ne 3$, és impossible que el límit de $f(x)$ quan $x \to +\infty$ sigui un valor finit. Distingeix raonadament els casos $a < 3$ (diferenciant si $a \le 0$ o si $0 < a < 3$) i $a > 3$, explicant el resultat que s'obté en cada situació.
2. c) Fixant el valor de $a$ trobat a l'apartat a), calcula quin valor ha de prendre el paràmetre $b$ perquè el límit sigui exactament $-4$, és a dir, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -4$.

Considera el límit següent amb arrels de diferent índex:

1. a) [Estima]: Fes una aproximació asimptòtica intuïtiva abans d'operar. Sabent que per a valors molt grans de $x$ es verifica que $\sqrt[3]{8x^3+12x^2} = 2x\left(1+\frac{3}{2x}\right)^{1/3}$ i $\sqrt{4x^2-8x} = 2x\left(1-\frac{2}{x}\right)^{1/2}$, i utilitzant l'aproximació lineal $(1+u)^\alpha \approx 1 + \alpha u$ quan $u \to 0$, conjectura raonadament el valor final del límit.
2. b) [Comprova]: Resol el límit formalment mitjançant la tècnica del terme intermedi: introdueix $C(x) = 2x$ sumant i restant aquesta expressió per descompondre el límit en la suma de dues indeterminacions de tipus $\infty - \infty$ independents:

Resol cada bloc aplicant el conjugat corresponent al seu índex (la identitat $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$ per a l'arrel cúbica i el conjugat quadràtic estàndard per a l'arrel quadrada).

1. c) Compara el resultat analític amb la conjectura obtinguda a l'apartat a) i explica per què l'elecció de qualsevol altre terme intermedi lineal diferent de $2x$ (per exemple, prendre $C(x) = x$ o $C(x) = 3x$) no permetria resoldre la indeterminació global.