Exercicis: Càlcul de límits

Donada la gràfica de la funció $f(x)$ que es mostra a continuació, identifica de forma visual el valor dels límits següents:

1. a) $\lim_{x \to 2^-} f(x)$

1. b) $\lim_{x \to 2^+} f(x)$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$

Calcula el límit a l'infinit de la funció polinòmica següent, que representa l'evolució dels beneficis d'una startup tecnològica (en milers d'euros) al llarg del temps $x$:

$$\lim_{x \to +\infty} ( -2x^3 + 50x^2 - 100 )$$

Indica quin és el terme dominant i justifica per què el signe del coeficient principal determina el comportament final de la funció.

Un servidor de videojocs gestiona el nombre de jugadors connectats mitjançant la funció $P(x) = \frac{6x^2 + 20}{2x^2 + 5}$, on $x$ és el temps en hores des del llançament d'un esdeveniment. Calcula el límit de jugadors quan el temps tendeix a infinit:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{6x^2 + 20}{2x^2 + 5}$$

En un laboratori de química, la concentració d'un reactiu en una mescla (en mg/l) segueix la funció $C(t) = \frac{5t + 8}{t^2 + 2}$, sent $t$ el temps en minuts. Determina a quin valor tendeix la concentració a llarg termini calculant:

$$\lim_{t \to +\infty} \frac{5t + 8}{t^2 + 2}$$

Calcula els límits laterals de la funció $f(x) = \frac{3}{x - 5}$ en el punt on s'anul·la el denominador. Per a això, estudia la tendència de $f(x)$ quan t'acostes per l'esquerra i per la dreta, fixant-te en el signe del numerador i del denominador:

1. a) $\lim_{x \to 5^-} \frac{3}{x - 5}$

1. b) $\lim_{x \to 5^+} \frac{3}{x - 5}$

L'esquema mostra els eixos, l'asímptota vertical $x=5$ i el sentit en què ens hi acostem per cada costat:

Resol la indeterminació de tipus $\frac{0}{0}$ simplificant la fracció mitjançant la factorització dels polinomis (pots utilitzar identitats notables o la regla de Ruffini):

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 2x}$$

Basant-te en la comparació d'ordres d'infinitud, determina el valor dels límits següents sense realitzar operacions complexes:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^{10}}$

1. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^2}$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{2^x}{3^x}$

L'altitud d'un dron de reconeixement (en metres) respecte a la distància horitzontal $x$ recorreguda ve donada per la funció $h(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$. Encara que el dron no pot estar físicament en la posició $x = 3$ per una restricció del programari, calcula el límit de l'altitud quan s'aproxima a aquest punt:

$$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$$

En Mateo està resolent a la pissarra el límit següent amb indeterminació del tipus $1^\infty$:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{2x + 5}{2x + 1} \right)^{3x}$$

Per resoldre'l, fa el procediment següent:

1. Comprova que $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 5}{2x + 1} = 1$ i que l'exponent tendeix a $+\infty$.

2. Aplica la fórmula de l'exponent auxiliar:

$$L = \lim_{x \to +\infty} 3x \cdot \left( \frac{2x + 5}{2x + 1} - 1 \right) = \lim_{x \to +\infty} 3x \cdot \left( \frac{4}{2x + 1} \right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{12x}{2x + 1} = 6$$

1. Conclou: «Com que el resultat del càlcul dóna $6$, el límit original val $6$».

1. a) Localitza i explica detalladament l'error conceptual que ha comès en Mateo en la seva conclusió final. Justifica què representa en realitat el valor $L = 6$ recorrent a la definició i deducció del nombre $e$.
2. b) Escriu el valor correcte del límit.

Es planteja analitzar el comportament asimptòtic del quocient següent a l'infinit:

$$L = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{10} + 500 \cdot x^2}{1,02^x}$$

1. a) Estima: Abans d'aplicar cap regla algebraica, reflexiona sobre el numerador i el denominador. El numerador conté una potència de grau elevat ($x^{10}$), mentre que el denominador té una base exponencial molt propera a $1$ ($1,02$). Raona intuïtivament si consideres que la fracció tendirà a $0$, a un nombre real positiu o a $+\infty$ quan $x$ assoleixi valors de l'ordre de $x = 10\,000$.
2. b) Comprova: Aplica formalment la jerarquia d'infinits ($\ln x \ll x^k \ll a^x$ amb $a > 1$) per deduir el valor exacte de $L$. Valora si la teva estimació prèvia era correcta i justifica per què el ritme multiplicatiu constant d'una exponencial sempre s'imposa a qualsevol polinomi per gran que sigui el seu grau.

Un sensor de precisió en un laboratori de nanotecnologia mesura la força d'atracció entre dues partícules. La intensitat del senyal $S$ en funció de la distància $x$ (en nanòmetres) ve expressada per la funció següent:

$$S(x) = \frac{\sqrt{x+5} - 3}{x-4}$$

La figura mostra la gràfica de $S(x)$: per a $x=4$ la funció no està definida (punt amb el cercle buit).

Calcula el valor al qual tendeix el senyal quan la distància $x$ s'aproxima a $4$ nanòmetres. Explica quina tècnica matemàtica has utilitzat per resoldre la indeterminació.

En l'estudi de la propagació d'una notícia a les xarxes socials, s'estima que el nombre d'usuaris assolits $U$ (en milers) després de $t$ hores segueix l'expressió:

$$U(t) = \frac{5t^2 - 3t + 2}{2t^2 + \sqrt{t^4 + 1}}$$

Calcula el límit d'usuaris assolits quan el temps creix indefinidament ($t \to +\infty$). Presenta la funció alguna asímptota horitzontal? Justifica la teva resposta comparant els graus dels termes dominants.

Calcula el límit següent resolent la indeterminació de tipus $\infty - \infty$ mitjançant l'ús de l'expressió conjugada:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 6x} - x \right)$$

Representa gràficament de forma esquemàtica què significa aquest resultat respecte a la distància entre la funció radical i la recta $y = x$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Donada la funció racional que depèn d'un paràmetre $k \in \mathbb{R}$:

$$f(x) = \frac{x^3 - kx^2 + 4}{x-2}$$

Troba el valor de $k$ perquè el límit $\lim_{x \to 2} f(x)$ sigui finit. Una vegada trobat aquest valor, calcula el valor del límit.

El creixement d'una població d'ocells en una reserva natural protegida es regeix per la llei de capitalització composta contínua idealitzada següent:

$$P(t) = \left( \frac{3t + 5}{3t - 2} \right)^{2t}$$

Calcula el límit de la població quan el temps $t$ tendeix a infinit. Expressa el resultat en funció del nombre $e$.

Calcula el valor dels límits següents comparant els ordres d'infinitud de les funcions involucrades (exponencials, potències i logaritmes):

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x^{10} + 5)}{x}$

1. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{3^x}{x^2 + 100x}$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x^5}{2e^x - \sqrt{x}}$

Es considera la funció $f(x)$ definida a trossos:

$$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x - 3} & \text{si } x < 3 \\ \sqrt{2x + a} & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$$

Calcula el valor del paràmetre $a$ perquè existeixi el límit de la funció en el punt $x = 3$. Quin és el valor d'aquest límit?

Calcula el límit en el punt $x = 0$ de la següent expressió trigonomètrica, utilitzant infinitèsims equivalents o identitats trigonomètriques conegudes:

$$\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \text{tg}(3x)}{\cos(x) - 1}$$

L'Institut Nacional d'Estadística (INE) projecta l'evolució demogràfica d'una comarca rural de la província de Zamora afectada per la despoblació. El nombre d'habitants, $P(t)$ (en milers de persones), transcorreguts $t$ anys des de 2024, es modelitza mitjançant la funció:

$$P(t) = \frac{15t + 8}{\sqrt{4t^2 + 7t + 1} + t}$$

1. a) Calcula la població estimada en l'instant inicial $t = 0$ i interpreta la xifra exacta d'habitants.
2. b) Calcula $\lim_{t \to +\infty} P(t)$. Per resoldre la indeterminació $\frac{\infty}{\infty}$, divideix numerador i denominador de manera explícita entre la màxima potència de $t$, justificant algebraicament com s'introdueix aquest factor dins de l'arrel quadrada.
3. c) A partir del límit trobat, interpreta si la comarca tendeix a quedar deserta a llarg termini o si el seu cens s'estabilitza en un valor límit finit. Expressa aquest valor en nombre concret de veïns.

Se sap que el límit següent existeix i és un nombre real finit i no nul:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + ax} - (1 + 2x)}{b \cdot x^2} = -\frac{3}{2}$$

on $a$ i $b$ són paràmetres reals constants amb $b \neq 0$.

1. a) Multiplica i divideix el quocient per l'expressió conjugada $\sqrt{1 + ax} + (1 + 2x)$ i desenvolupa el numerador agrupant els termes segons les potències decreixents de $x$.
2. b) Tenint en compte que el denominador té un factor quadràtic $x^2$, raona per què és imprescindible que el terme lineal en $x$ del numerador s'anul·li perquè el límit no divergeixi a infinit. Determina a partir d'aquesta deducció el valor obligatori d'$a$.
3. c) Amb el valor d'$a$ ja fixat, simplifica la fracció eliminant la indeterminació $\frac{0}{0}$ i troba el valor de $b$ necessari perquè el límit valgui exactament $-\frac{3}{2}$.

Un servidor de videojocs multijugador ha detectat que el nombre d'usuaris actius, $N(t)$, en milers, segueix un model de creixement de tipus exponencial en funció del temps $t$ (en mesos) definit per l'expressió:

$$N(t) = \left( \frac{3t^2 + 5t + 1}{3t^2 + 2t} \right)^{2t}$$

Calcula el límit d'usuaris actius quan el temps tendeix a infinit ($t \to +\infty$). S'estabilitza la població de jugadors en un valor finit o creix indefinidament?

En el disseny d'una nova rampa per a un skatepark, els enginyers necessiten assegurar que la transició entre dos trams de la pista sigui suau (contínua). L'altura de la rampa $h(x)$ en metres ve donada per la funció següent:

$$h(x) = \begin{cases} \dfrac{\ln(1 + kx)}{x} & \text{si } x > 0 \\ \cos(x) + a & \text{si } x \le 0 \end{cases}$$

Determina els valors dels paràmetres $k$ i $a$ perquè existeixi el $\displaystyle \lim_{x \to 0} h(x)$ i aquest sigui igual a l'altura inicial de la rampa, que és $2$ metres.

Calcula el valor del límit següent aplicant la comparació d'infinits o la Regla de L'Hôpital, analitzant detalladament l'ordre de magnitud de cada terme:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x^{10}}{2e^x - \ln(x^5 + 1)}$$

Quin terme domina el creixement de la funció al numerador i quin al denominador?

Un satèl·lit descriu una trajectòria la distància radial de la qual al centre d'un planeta, en milers de quilòmetres, ve donada per $d(x) = \sqrt{x^2 + ax} - \sqrt{x^2 - 1}$, on $x$ representa el temps de missió. Sabent que al cap de molt de temps ($x \to +\infty$) la distància s'estabilitza en $4$ mil quilòmetres, determina el valor de la constant orbital $a$.

Determina raonadament el valor dels paràmetres $a$ i $b$ (sent $a, b \in \mathbb{R}$) perquè es verifiqui la igualtat de límits següent:

$$\lim_{x \to 0} \frac{ax^2 + bx + 1 - e^x}{x^2} = 3$$

Estudia el comportament de la funció $f(x) = \left( \cos x \right)^{1/x^2}$ quan $x$ s'aproxima a zero. Per a fer-ho, calcula:

$$\lim_{x \to 0} (\cos x)^{1/x^2}$$

Explica per què aquest límit dona lloc a una indeterminació del tipus $1^\infty$ i resol utilitzant logaritmes neperians o la fórmula específica per a aquest tipus de límits.

Sigui la funció $g(x) = \dfrac{x^3 - 2x^2 + k}{x^2 - 4}$.

1. a) Calcula el valor de $k$ perquè el límit de la funció quan $x \to 2$ sigui finit.

1. b) Un cop trobat $k$, calcula aquest límit.

1. c) Classifica el tipus de discontinuïtat que presenta la funció en $x = 2$ i en $x = -2$.

Calcula el valor del límit de la successió següent, que apareix sovint en problemes d'interès compost continu i probabilitat:

$$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + n} - n \right)^n$$

Nota: Aquest exercici requereix un tractament acurat de la indeterminació interna abans d'avaluar la potència general.

Per calcular el límit indeterminat $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + 6x} - 1}{\tan(2x)}$, es plantegen dos camins teòrics:

• Via A (Conjugat cúbic i infinitèsims equivalents): Utilitzar la identitat $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ per racionalitzar el numerador i aplicar l'equivalència trigonomètrica adequada al denominador.

• Via B (Regla de L'Hôpital): Comprovar que es compleixen les condicions de derivabilitat i indeterminació i derivar numerador i denominador.

1. a) Desenvolupa completament la resolució mitjançant la Via A. Explica per què és vàlid substituir $\tan(2x)$ pel seu infinitèsim equivalent en aquest cas concret i no ho seria si estigués dins d'una resta.
2. b) Desenvolupa la resolució mitjançant la Via B, calculant detalladament la derivada de l'arrel cúbica i avaluant el límit resultant.
3. c) Avalua els dos mètodes: quin presenta menys risc d'error en l'àlgebra d'examen? Explica així mateix per què un canvi de variable del tipus $t = \sqrt[3]{1 + 6x}$ resultaria notablement més feixuc a causa de la presència de la funció trigonomètrica.

En una prova d'avaluació, la Irene ha de resoldre el límit:

$$\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \sin x - 2(1 - \cos x)}{x^4}$$

La Irene redacta la resposta següent:

«Com que $x \to 0$, aplico els infinitèsims coneguts: $\sin x \sim x$ i $(1 - \cos x) \sim \frac{x^2}{2}$. Substituint al numerador obtinc:

$$x \cdot (x) - 2 \cdot \left(\frac{x^2}{2}\right) = x^2 - x^2 = 0$$

Com que el numerador es fa zero, el límit és igual a $0$».

1. a) Explica de manera rigorosa l'error conceptual de la Irene. Per què la substitució d'infinitèsims equivalents en sumes o restes pot conduir a una cancel·lació enganyosa dels termes principals?
2. b) Demostra que el límit no és zero calculant el seu valor exacte mitjançant l'aplicació reiterada de la Regla de L'Hôpital (justificant a cada pas per què es compleixen les hipòtesis del teorema).
3. c) A partir del resultat real, explica quin era veritablement el primer terme no nul del numerador i per què l'aproximació de la Irene va eliminar la informació rellevant del límit.