Cálculo de límites

Resuelve la indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$ simplificando la fracción mediante la factorización de los polinomios (puedes usar identidades notables o la regla de Ruffini):

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 2x}$$

Calcula el siguiente límite resolviendo la indeterminación de tipo $\infty - \infty$ mediante el uso de la expresión conjugada:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 6x} - x \right)$$

Representa gráficamente de forma esquemática qué significa este resultado respecto a la distancia entre la función radical y la recta $y = x$.

Calcula el límite en el punto $x = 0$ de la siguiente expresión trigonométrica, utilizando infinitésimos equivalentes o identidades trigonométricas conocidas:

$$\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \text{tg}(3x)}{\cos(x) - 1}$$

Pista: Recuerda que para valores muy pequeños de $x$, $\text{tg}(ax) \approx ax$ y $1 - \cos(x) \approx \frac{x^2}{2}$.

Basándote en la comparación de órdenes de infinitud, determina el valor de los siguientes límites sin realizar operaciones complejas:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^{10}}$

1. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^2}$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{2^x}{3^x}$

Estudia el comportamiento de la función $f(x) = \left( \cos x \right)^{1/x^2}$ cuando $x$ se aproxima a cero. Para ello, calcula:

$$\lim_{x \to 0} (\cos x)^{1/x^2}$$

Explica por qué este límite da lugar a una indeterminación del tipo $1^\infty$ y resuelve utilizando logaritmos neperianos o la fórmula específica para este tipo de límites.

Un servidor de videojuegos multijugador ha detectado que el número de usuarios activos, $N(t)$, en miles, sigue un modelo de crecimiento de tipo exponencial en función del tiempo $t$ (en meses) definido por la expresión:

$$N(t) = \left( \frac{3t^2 + 5t + 1}{3t^2 + 2t} \right)^{2t}$$

Calcula el límite de usuarios activos cuando el tiempo tiende a infinito ($t \to +\infty$). ¿Se estabiliza la población de jugadores en un valor finito o crece indefinidamente?

Sea la función $g(x) = \dfrac{x^3 - 2x^2 + k}{x^2 - 4}$. Calcula el valor de $k$ para que el límite de la función cuando $x \to 2$ sea finito. Una vez hallado $k$, calcula dicho límite y clasifica el tipo de discontinuidad que presenta la función en $x = 2$ y en $x = -2$.

Dada la función racional que depende de un parámetro $k \in \mathbb{R}$:

$$f(x) = \frac{x^3 - kx^2 + 4}{x-2}$$

Halla el valor de $k$ para que el límite $\lim_{x \to 2} f(x)$ sea finito. Una vez encontrado dicho valor, calcula el valor del límite.

Calcula el valor del siguiente límite aplicando la comparación de infinitos o la Regla de L'Hôpital, analizando detalladamente el orden de magnitud de cada término:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x^{10}}{2e^x - \ln(x^5 + 1)}$$

¿Qué término domina el crecimiento de la función en el numerador y cuál en el denominador?

Calcula el valor de los siguientes límites comparando los órdenes de infinitud de las funciones involucradas (exponenciales, potencias y logaritmos):

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x^10 + 5)}{x}$

1. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{3^x}{x^2 + 100x}$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x^5}{2e^x - \sqrt{x}}$