Exercicis: Asímptotes d'una funció

Observa la gràfica següent que representa el consum de memòria RAM (en GB) d'un servidor de processos en funció del temps $t$ (en segons). Determina, de forma intuïtiva, el valor dels límits laterals en l'instant $t = 4$ i raona si existeix el límit global en aquest punt.

Un dron d'inspecció tècnica segueix una trajectòria d'aproximació a una antena la altura de la qual ve donada per la funció $H(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$, on $x$ és la distància horitzontal al centre de control. Calcula el límit de l'altura quan el dron es troba molt a prop de $x = 3$ metres.

(Nota: Encara que la funció no estigui definida a $x=3$, estudia el límit simplificant l'expressió).

Calcula els límits directes següents per substitució, que representen la velocitat d'una partícula en metres per segon en diferents instants $t$:

1. a) $\lim_{t \to 2} (t^2 + 3t - 1)$

1. b) $\lim_{t \to 0} \frac{e^t + 1}{t + 2}$

Donada la funció racional $f(x) = \frac{5}{x - 2}$, que descriu la intensitat d'un camp magnètic en relació amb la distància $x$ a un cable conductor:

1. a) Determina el domini de la funció.
2. b) Calcula els límits laterals $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ i $\lim_{x \to 2^+} f(x)$.
3. c) Indica l'equació de la seva asímptota vertical.

En un estudi biològic, el nombre d'individus d'una població de bacteris (en milers) segueix el model $P(t) = \frac{4t + 10}{t + 2}$, on $t$ és el temps en hores.

1. a) Calcula $\lim_{t \to +\infty} P(t)$ per conèixer la població a llarg termini.
2. b) Quin tipus d'asímptota representa aquest resultat? Escriu la seva equació.

Troba totes les asímptotes (verticals i horitzontals) de la funció $f(x) = \frac{3x - 6}{x + 1}$. Per fer-ho:

1. Identifica el valor de $x$ que anul·la el denominador.

2. Calcula el límit de la funció quan $x \to \infty$.

Determina el comportament a l'infinit de les funcions polinòmiques següents, indicant si tendeixen a $+\infty$ o $-\infty$:

1. a) $f(x) = -2x^3 + 5x - 1$ quan $x \to +\infty$

1. b) $g(x) = x^4 - 100x^2$ quan $x \to -\infty$

Donada la funció $f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 4}$, que modela l'eficiència d'un panell fotovoltaic en funció de la radiació rebuda $x$, justifica mitjançant el càlcul de límits si la funció té alguna asímptota horitzontal i representa-la gràficament de manera esquemàtica.

En un examen de Matemàtiques II, es demana analitzar les asímptotes de la funció $f(x) = \dfrac{x^2 - x - 2}{x^2 - 4}$. En Lucas lliura el següent desenvolupament:

«Com que el denominador s'anul·la a $x = 2$ i a $x = -2$, la funció té obligatòriament dues asímptotes verticals: les rectes $x = 2$ i $x = -2$. A més, com que $\lim_{x \to \infty} f(x) = 1$, la recta $y = 1$ és asímptota horitzontal i, per tant, la gràfica de la funció mai no podrà tallar aquesta recta $y = 1$».

1. a) Identifica i explica els dos errors conceptuals comesos per en Lucas en el seu raonament.
2. b) Corregeix l'exercici: calcula els límits laterals pertinents a $x = -2$ per caracteritzar la vertadera asímptota vertical, explica què passa exactament a $x = 2$ i comprova algebraicament si la corba talla o no la recta $y = 1$.

Considera la funció racional $f(x) = \dfrac{3x^2 - 5x}{x^2 + 1}$.

1. a) Estima: Abans d'aplicar cap regla formal de límits, observa els termes de major grau del numerador i del denominador. Prediu raonadament cap a quin valor numèric tendirà la funció quan $x$ prengui valors positius molt grans (per exemple, $x = 1000$). Dedueix també de manera intuïtiva si la corba s'aproximarà a aquest valor per sobre o per sota, analitzant l'efecte del terme $-5x$.
2. b) Comprova: Calcula formalment l'equació de l'asímptota horitzontal mitjançant els límits quan $x \to +\infty$ i quan $x \to -\infty$. Tot seguit, estudia analíticament la posició relativa de la gràfica respecte a l'asímptota calculant el signe de la diferència $f(x) - y_{\text{asímptota}}$. Valora si els resultats confirmen o corregeixen la teva estimació inicial.

Donada la funció racional $f(x) = \dfrac{ax^2 + 5x - 3}{2x^2 - 8}$, determina el valor del paràmetre real $a$ sabent que la funció té una asímptota horitzontal a la recta $y = 3$. Una vegada trobat el valor de $a$, calcula els límits laterals de la funció en les seves asímptotes verticals i explica el comportament de la gràfica en aquests punts.

Un equip d'enginyers està monitorant la temperatura $T$ (en graus Celsius) d'un nou processador gràfic en funció del temps $t$ (en minuts) des que s'ha encès. La funció ve donada per:

Calcula la temperatura inicial del processador i determina mitjançant el càlcul de límits si la temperatura s'estabilitza a llarg termini. Quin tipus d'asímptota representa aquest valor d'estabilització?

Observa la gràfica següent d'una funció $f(x)$ (cada marca dels eixos correspon a una unitat). Suposa que les dues branques continuen fora del requadre amb la tendència que mostren. A partir de la informació visual, determina el valor dels límits següents i les equacions de totes les seves asímptotes:

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$

1. b) $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x)$ i $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} f(x)$

1. c) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$

Troba l'equació de l'asímptota obliqua de la funció $f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x - 2}$. Per completar l'estudi, indica la posició relativa de la corba respecte a aquesta asímptota quan $x \to +\infty$ i quan $x \to -\infty$.

Calcula el valor del límit següent que dona lloc a una indeterminació del tipus $1^\infty$ utilitzant la relació amb el nombre $e$:

Es considera la funció $f(x) = \sqrt{x^2 + 4x} - x$.

1. a) Calcula $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$.
2. b) Comprova si existeix una asímptota horitzontal quan $x$ tendeix a $+\infty$.
3. c) Investiga què passa amb el límit de la funció quan $x \to -\infty$. Existeix alguna asímptota en aquesta branca?

Donada la funció $f(x) = \dfrac{x^2 - k}{x^2 - 4x + 4}$:

1. a) Determina si existeix algun valor de $k$ perquè la funció tingui una discontinuïtat evitable a $x = 2$.
2. b) Si $k = 9$, estudia l'existència d'asimptotes verticals i descriu el comportament de la funció a prop d'aquestes mitjançant límits laterals.

Calcula els límits següents resolent les indeterminacions corresponents:

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$

1. b) $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$

Per trobar l'asímptota obliqua de la funció racional $f(x) = \dfrac{2x^3 - 3x^2 + 5}{x^2 - 1}$ i estudiar la posició de la corba respecte d'aquesta, dues companyes de classe proposen estratègies diferents:

• Estratègia A (Divisió algebraica): Realitzar la divisió euclidiana del numerador entre el denominador per expressar la funció com a $f(x) = mx + n + \dfrac{R(x)}{Q(x)}$.

• Estratègia B (Límits analítics): Calcular els coeficients mitjançant les fórmules $m = \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x}$ i $n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx]$.

1. a) Aplica l'Estratègia A: obtén el quocient i el residu simplificat, i indica directament l'equació de la recta asímptota i la posició relativa de la corba a $+\infty$ i a $-\infty$.
2. b) Aplica l'Estratègia B: calcula detalladament els dos límits fins a arribar a la mateixa equació.
3. c) Compara els dos camins: justifica quina de les dues estratègies és més eficient en aquest cas particular per determinar la posició relativa de la corba i explica en quin tipus de funcions l'Estratègia A queda totalment inutilitzada, i és indispensable recórrer a l'Estratègia B.

Dissenya l'expressió analítica d'una funció racional $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ que satisfaci simultàniament les següents quatre condicions:

1. Té una única asímptota vertical a la recta $x = 3$, complint-se que $\lim_{x \to 3^-} f(x) = -\infty$ i $\lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty$.

2. Presenta una discontinuïtat evitable en el punt d'abscissa $x = -1$.

3. Posseeix una asímptota obliqua d'equació $y = 2x - 1$.

4. Talla l'eix d'ordenades en el punt $(0, -2)$.

1. a) Dedueix de manera raonada quins han de ser els graus mínims dels polinomis $P(x)$ i $Q(x)$.
2. b) Construeix pas a pas els polinomis $P(x)$ i $Q(x)$, justificant com garanteixes cadascuna de les condicions fixades.

S'està dissenyant un nou algorisme de compressió de dades per a una plataforma de streaming. El temps de resposta del sistema, en mil·lisegons, ve modelat per la funció $T(x)$, on $x$ representa la càrrega de treball en terabytes:

Sabent que, perquè el sistema sigui estable sota càrregues extremes, el límit del temps de resposta quan la càrrega tendeix a infinit ha de ser exactament $e^4$, determina raonadament el valor del paràmetre $a$.

Considera la funció $f(x)$, definida mitjançant un valor absolut, que modela la trajectòria d'un dron de vigilància:

Estudia l'existència d'asímptotes obliqües en aquesta funció. En cas que existeixin, calcula'n les equacions i analitza la posició de la corba respecte a aquestes asímptotes tant en $+\infty$ com en $-\infty$.

Un satèl·lit de comunicacions segueix una òrbita la pertorbació gravitatòria de la qual es descriu per la funció $g(x)$. Es requereix que el satèl·lit no s'allunyi indefinidament d'una trajectòria lineal prevista. La funció és:

Troba els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$ perquè la funció tingui una asímptota horitzontal a $y = 2$ quan $x \to +\infty$.

Donada la funció dependent dels paràmetres $k$ i $m$:

Calcula els valors de $k$ i $m$ perquè $f(x)$ tingui una asímptota obliqua que passi pel punt $(0, 2)$ i el pendent de la qual sigui $3$. Una vegada trobats, comprova si la funció té alguna asímptota vertical i justifica si és evitable o no.

En l'estudi de la propagació d'un virus informàtic en una xarxa social, s'ha determinat que el nombre de nodes infectats $N(t)$ després d'un temps $t$ (en hores) segueix la funció:

Analitza el comportament de la infecció a llarg termini calculant $\lim_{t \to +\infty} N(t)$. Presenta la funció alguna asímptota horitzontal? Justifica la teva resposta aplicant les jerarquies d'infinits corresponents.

Estudia el domini i totes les asímptotes de la funció logarítmica següent:

Determina els límits laterals en cadascun dels punts on la funció no està definida i esboça gràficament el comportament de la funció a prop de les seves asímptotes verticals.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Calcula el valor del límit següent utilitzant la regla de L'Hôpital després de realitzar les transformacions necessàries per resoldre la indeterminació:

A partir del resultat obtingut, indica si la funció $f(x) = \frac{sen(x) - x}{x^2 \cdot sen(x)}$ té una asímptota vertical a l'origen.

Sigui la funció $f(x)$ definida a trossos:

1. Troba el valor de $k$ perquè la funció tingui una discontinuïtat de salt finit a $x = 2$.

2. Per al valor de $k$ obtingut a l'apartat anterior, determina el valor de $a$ perquè la funció tingui una asímptota horitzontal $y = 3$ quan $x \to +\infty$.

En el marc de la transició energètica a Espanya, es modelitza el cost mitjà de generació elèctrica de dues instal·lacions en funció de l'energia mensual produïda $x$ (en milers de MWh, amb $x > 0$):

• Una planta termosolar amb emmagatzematge a Extremadura té un cost mitjà unitari (en euros/MWh) modelitzat per: $$C_1(x) = \dfrac{35x + \sqrt{16x^2 + 20x + 9}}{x}$$

• Un parc eòlic marí flotant experimental presenta un cost mitjà unitari modelitzat per: $$C_2(x) = \dfrac{2x^2 + 15x + 8}{x + 1}$$

1. a) Estudia raonadament el comportament de $C_1(x)$ davant de nivells mínims de producció ($x \to 0^+$) i determina la seva asímptota horitzontal quan la producció creix a gran escala ($x \to +\infty$). Interpreta el significat físic i de gestió d'ambdues asímptotes.
2. b) Determina analíticament l'asímptota de $C_2(x)$ quan $x \to +\infty$ (horitzontal o obliqua) obtenint la seva equació completa.
3. c) Explica raonadament quin dels dos models descriu una tecnologia amb rendiments d'escala sostenibles a llarg termini i quin presentarà costos unitaris creixents en expandir la producció, basant-te en la tipologia de les seves asímptotes.

Considera la família de funcions definida per a tot nombre real per l'expressió:

on $a$ i $b$ són paràmetres reals.

1. a) Determina de manera raonada els valors d'$a$ i $b$ perquè la gràfica de $f(x)$ presenti una asímptota horitzontal a $+\infty$ que tingui per equació $y = 4$.
2. b) Amb els valors d'$a$ i $b$ fixats en l'apartat anterior, demostra que la funció no té asímptota horitzontal a $-\infty$, sinó una asímptota obliqua. Calcula rigorosament la seva equació $y = mx + n$, parant una atenció especial al tractament algebraic del radical quan $x \to -\infty$ en extreure factor comú.
3. c) Justifica per què aquesta funció no pot tenir cap asímptota vertical en tot el conjunt dels nombres reals $\mathbb{R}$.