Asíntotas de una función

Un dron de inspección técnica sigue una trayectoria de aproximación a una antena cuya altura viene dada por la función $H(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$, donde $x$ es la distancia horizontal al centro de control. Calcula el límite de la altura cuando el dron se encuentra muy cerca de $x = 3$ metros.

(Nota: Aunque la función no esté definida en $x=3$, estudia el límite simplificando la expresión).

Dada la función racional $f(x) = \dfrac{ax^2 + 5x - 3}{2x^2 - 8}$, determina el valor del parámetro real $a$ sabiendo que la función tiene una asíntota horizontal en la recta $y = 3$. Una vez hallado el valor de $a$, calcula los límites laterales de la función en sus asíntotas verticales y explica el comportamiento de la gráfica en esos puntos.

Un equipo de ingenieros está monitorizando la temperatura $T$ (en grados Celsius) de un nuevo procesador gráfico en función del tiempo $t$ (en minutos) desde su encendido. La función viene dada por:

Calcula la temperatura inicial del procesador y determina mediante el cálculo de límites si la temperatura se estabiliza a largo plazo. ¿Qué tipo de asíntota representa este valor de estabilización?

Se considera la función $f(x) = \sqrt{x^2 + 4x} - x$.

1. a) Calcula $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$.
2. b) Comprueba si existe una asíntota horizontal cuando $x$ tiende a $+\infty$.
3. c) Investiga qué ocurre con el límite de la función cuando $x \to -\infty$. ¿Existe alguna asíntota en esa rama?

Halla la ecuación de la asíntota oblicua de la función $f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x - 2}$. Para completar el estudio, indica la posición relativa de la curva respecto a dicha asíntota cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$.

Considera la función $f(x)$ definida mediante el uso de valores absolutos para modelar la trayectoria de un dron de vigilancia:

Estudia la existencia de asíntotas oblicuas en esta función. En caso de que existan, calcula sus ecuaciones y analiza la posición de la curva respecto a dichas asíntotas tanto en $+\infty$ como en $-\infty$.

Un satélite de comunicaciones sigue una órbita cuya perturbación gravitatoria se describe por la función $g(x)$. Se requiere que el satélite no se aleje indefinidamente de una trayectoria lineal prevista. La función es:

Halla los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que la función tenga una asíntota horizontal en $y = 2$ cuando $x \to +\infty$.

Estudia el dominio y todas las asíntotas de la siguiente función logarítmica:

Determina los límites laterales en cada uno de los puntos donde la función no está definida y esboza gráficamente el comportamiento de la función cerca de sus asíntotas verticales.

Se está diseñando un nuevo algoritmo de compresión de datos para una plataforma de streaming. El tiempo de respuesta del sistema, en milisegundos, viene modelado por la función $T(x)$, donde $x$ representa la carga de trabajo en terabytes:

Sabiendo que, para que el sistema sea estable bajo cargas extremas, el límite del tiempo de respuesta cuando la carga tiende a infinito debe ser exactamente $e^4$, determina razonadamente el valor del parámetro $a$.

Dada la función dependiente de los parámetros $k$ y $m$:

Calcula los valores de $k$ y $m$ para que $f(x)$ tenga una asíntota oblicua que pase por el punto $(0, 2)$ y cuya pendiente sea $3$. Una vez hallados, comprueba si la función posee alguna asíntota vertical y justifica si es evitable o no.